专题07 分式方程及其应用【八大题型】(触类旁通)2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列(全国版)
展开TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24351" 【题型1 由分式方程的解求参数】 PAGEREF _Tc24351 \h 2
\l "_Tc14565" 【题型2 解分式方程】 PAGEREF _Tc14565 \h 2
\l "_Tc26351" 【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】 PAGEREF _Tc26351 \h 3
\l "_Tc16233" 【题型4 由分式方程的取值范围求参数】 PAGEREF _Tc16233 \h 3
\l "_Tc4132" 【题型5 由实际问题抽象出分式方程】 PAGEREF _Tc4132 \h 4
\l "_Tc18857" 【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】 PAGEREF _Tc18857 \h 4
\l "_Tc11113" 【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc11113 \h 6
\l "_Tc26348" 【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc26348 \h 8
【知识点 分式方程及其应用】
1.定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解法
①将分式方程化成整式方程(去分母,即等号两边同乘以最简公分母);
②解整式方程(去括号;移项;合并同类项;系数化为1或其它解法);
③检验:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根。
3.分式方程与实际问题
解有关分式方程的实际问题的一般步骤:
第1步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系。
第2步:设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步:列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步:解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步:检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步:答。
【题型1 由分式方程的解求参数】
【例1】(2023·浙江·模拟预测)已知关于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4kx的方程恰好有一个实数解,求k的值及方程的解.
【变式1-1】(2023·山东淄博·统考中考真题)已知x=1是方程m2-x-1x-2=3的解,那么实数m的值为( )
A.-2B.2C.-4D.4
【变式1-2】(2023·黑龙江·统考中考真题)下列分式方程中,解为x=-1的是( )
A.4x-1=1xB.x+1x2-1=0C.2x-1+1x+2=0D.2x+1-1x+2=0
【变式1-3】(2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模)若关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12>x+a2无解,且关于y的分式方程5-ay2-y-1=3y-2有整数解,则满足条件的所有整数a的和为( )
A.10B.12C.16D.14
【题型2 解分式方程】
【例2】(2023·河北·统考中考真题)根据下表中的数据,写出a的值为 .b的值为 .
【变式2-1】(2023·四川·中考真题)关于x的分式方程2x-1-1x+1=11-x的解是 .
【变式2-2】(2023·西藏·统考中考真题)解分式方程:xx+1-1=3x-1.
【变式2-3】(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)小丁和小迪分别解方程xx-2-x-32-x=1过程如下:
你认为小丁和小迪的解法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程.
【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】
【例3】(2023·黑龙江·统考中考真题)若分式方程xx-1-m1-x=2有增根,则m的值为( )
A.1B.-1C.2D.-2
【变式3-1】(2023·河北石家庄·校联考一模)小华想复习分式方程,由于印刷问题,有一个数“?”看不清楚:?x-2+3=12-x.
(1)她把这个数“?”猜成5,请你帮小华解这个分式方程;
(2)小华的妈妈说:“我看到标准答案是:方程的增根是x=2,原分式方程无解”,请你求出原分式方程中“?”代表的数是多少?
【变式3-2】(2023·黑龙江鸡西·校考二模)若关于x的分式方程1x-2+ax-22-x=1有解,则a的取值范围是( )
A.a≠32B.a≠-1C.a=-1D.a≠32且a≠-1
【变式3-3】(2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模)若关于y的分式方程2y+ay-4+2a4-y=5有解,且关于x的一元一次不等式组x+33≤2+3x63x-2
【例4】(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)若分式方程ax+2=1-3x+2的解为负数,则a的取值范围是( )
A.a<-1且a≠-2B.a<0且a≠-2
C.a<-2且a≠-3D.a<-1且a≠-3
【变式4-1】(2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测)若关于x的分式方程x+mx-2+2m2-x=3的解为正实数,则实数m的取值范围是( )
A.m<6且m≠1B.m<3且m≠2C.m<6D.m<6且m≠2
【变式4-2】(2023·河北·统考模拟预测)已知关于x的分式方程mx+6=1,对于方程的解,甲、乙两人有以下说法:甲:当m<4时,方程的解是负数;乙:当m>6时,方程的解是正数.下列判断正确的是( )
A.只有甲对B.只有乙对C.甲、乙都对D.甲、乙都错
【变式4-3】(2023·重庆·统考中考真题)若关于x的不等式组x+23>x2+14x+a
【例5】(2023·四川内江·统考中考真题)用计算机处理数据,为了防止数据输入出错,某研究室安排两名程序操作员各输入一遍,比较两人的输入是否一致,本次操作需输入2640个数据,已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x个数据,根据题意得方程正确的是( )
A.26402x=2640x+2B.26402x=2640x-2
C.26402x=2640x+2×60D.26402x=2640x-2×60
【变式5-1】(2023·广东广州·统考中考真题)随着城际交通的快速发展,某次动车平均提速60kmh,动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同.设动车提速后的平均速度为xkmh,则下列方程正确的是( )
A.360x=480x+60B.360x-60=480xC.360x=480x-60D.360x+60=480x
【变式5-2】(2023·湖北十堰·统考中考真题)为了落实“双减”政策,进一步丰富文体活动,学校准备购进一批篮球和足球,已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元,用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个,如果设每个足球的价格为x元,那么可列方程为( )
A.1500x+20-800x=5B.1500x-20-800x=5C.800x-1500x+20=5D.800x-1500x-20=5
【变式5-3】(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)某运输公司,运送一批货物,甲车每天运送货物总量的14.在甲车运送1天货物后,公司增派乙车运送货物,两车又共同运送货物12天,运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天?设乙车单独运送这批货物需x天,由题意列方程,正确的是( )
A.14+12x=1B.14+1214+1x=1
C.141+12+1x=1D.14+14+121x=1
【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】
【例6】(2023·湖北武汉·统考中考真题)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 .
【变式6-1】(2023·广东深圳·校联考模拟预测)按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道,已知隧道全长2400米,一工程队在修了1400米后,加快了工作进度,每天比原计划多修5米,结果提前10天完成,求原计划每天修多长?
(2)隧道建成后的截面图如图所示,它可以抽象成如图所示的抛物线.已知两个车道宽度OC=OD=4米,人行道地基AC,BD宽均为2米,拱高OM=10.8米.建立如图所示的直角坐标系.
①此抛物线的函数表达式为________.(函数表达式用一般式表示)
②按规定,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米,则此隧道限高________米.
③已知人行道台阶CE,DF高均为0.3米,按照国家标准,人行道宽度不得低于1.25米,该隧道的人行道宽度设计是否达标?说明理由.
+
【变式6-2】(2023·内蒙古·统考中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元,某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同.
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价;
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售,经调查了解到有A,B两个厂家可供选择,两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案:
A厂家:一律打8折出售.
B厂家:若一次性购买礼盒数量超过25盒,超过的部分打7折.该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒,设去A厂家购买应付y1元,去B厂家购买应付y2元,其函数图象如图所示:
①分别求出y1,y2与x之间的函数关系;
②若该商家只在一个厂家购买,怎样买划算?
【变式6-3】(2023·四川凉山·统考一模)某班家委会讨论决定购买A,B两种型号的口罩供班级学生使用,已知A型口罩每包价格a元,B型口罩每包价格比A型少4元,180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包.
(1)求a的值.
(2)经与商家协商,购买A型口罩价格可以优惠,其中每包价格y(元)和购买数量x(包)的函数关系如图所示,B型口罩一律按原价销售.
①求y关于x的函数解析式;
②若家委会计划购买A型、B型共计100包,其中A型不少于30包,且不超过60包.问购买A型口罩多少包时,购买口罩的总金额最少,最少为多少元?
【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】
【例7】(2023·河南南阳·统考一模)2023春节档电影《满江红》热映,进一步激发观众爱国之情.帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年,岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮,雨夜含泪手书前后《出师表》,为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”.
某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件,第一批花了3300元,第二批花了4000元,已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍,且第二批比第一批多购进25个.
(1)求第二批每个挂件的进价;
(2)两批挂件售完后,该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件,经市场调查发现,当售价为每个60元时,每周能卖出40个,若每降价1元,每周多卖10个,由于货源紧缺,每周最多能卖90个,求每个挂件售价定为多少元时,每周可获得最大利润,最大利润是多少?
【变式7-1】(2023·山西吕梁·统考一模)随着新能源汽车的普及,我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一,解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向,从2023年开始,4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地.据测试数据显示,使用6C充电技术,每分钟充电量的续航里程(汽车所能行驶的路程)比采用4C技术提高了50%,若采用6C充电技术,续航里程480公里的充电时间,比采用4C充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟,求采用6C充电技术,每分钟充电量的续航里程为多少公里?
【变式7-2】(2023·云南昭通·统考一模)瑞兔迎春,福满万家吉祥物“兔圆圆”拉开2023央视总台兔年春晚的帷幕.竖直的耳朵、微昂的脑袋、挺起的胸脯等设计巧思,彰显出奋进向上的精气神,某商店用1500元购进了一批“兔圆圆”玩具,过了一段时间,又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元.
(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个?
(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售,全部售完后利润不低于1150元,则每个“兔圆圆”玩具的标价至少是多少元?
【变式7-3】(2023·河南安阳·统考一模)京东发布的《2023春节假期消费趋势》显示:消费者春节期间购物品类更加多元,也在节日之外更“日常化”,其中预制菜成交额同比增长超6倍.春节期间,某超市分别用2000元和1600元购进A,B两类同等数量的预制菜礼盒,已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制菜礼盒每盒便宜20元,A,B两类预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元.
(1)求A,B两类预制菜礼盒的进价各是多少元;
(2)第一次进的货很快销售一空,该超市决定第二次购进A,B两类预制菜礼盒共30盒,且购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍,该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜礼盒后,获得最大利润?并求出最大利润(此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润).
【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】
【例8】(2023·安徽·校联考三模)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽?
【变式8-1】(2023·江西萍乡·校考模拟预测)《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一.它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就.其中有一题,原文:今有不善行者先行一十里,善行者追之一百里,先至不善行者二十里.问善行者几何里及之大意为:现今有不善行者先走10里,善行者再按同路追赶不善行者,当善行者走到100里时,超过不善行者20里.问:善行者走多少里时追上了不善行者?
【变式8-2】(2023·山东·统考中考真题)欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家.在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题:两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市,两人所带鸡蛋个数不等,但卖的钱数相同,第一个农妇说:“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索(克罗索是古代欧洲的一种货币名称),”第二个农妇答道:“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得623个克罗索.”
(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋?
(2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗?
【变式8-3】(2023下·山西·八年级统考阶段练习)张丘建,我国南北朝时期(约公元5世纪)著名的数学家,著有《张丘建算经》.一次宴会上,张丘建出了一道题:“现有一只鹿向西跑,当猎人追至A处时,与鹿所在的B处还差36步(古代:1里=300步);鹿突然向北跑,此时骑马的猎人就沿着AD追去,追了50步至D处与鹿所在的位置C处还差10步(点A、C、D在同一直线上).如果此鹿不向北转,而继续向西跑,猎人需要追多远才能追上此鹿?”,已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值,请解答这个问题.
x结果
代数式
2
n
3x+1
7
b
2x+1x
a
1
小丁:
解:去分母,得x-(x-3)=x-2
去括号,得x-x+3=x-2
合并同类项,得3=x-2
解得x=5
∴原方程的解是x=5
小迪:
解:去分母,得x+(x-3)=1
去括号得x+x-3=1
合并同类项得2x-3=1
解得x=2
经检验,x=2是方程的增根,原方程无解
专题13 一次函数的应用【十大题型】(触类旁通)2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列(全国版): 这是一份专题13 一次函数的应用【十大题型】(触类旁通)2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列(全国版),文件包含专题13一次函数的应用十大题型触类旁通原卷版docx、专题13一次函数的应用十大题型触类旁通解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共72页, 欢迎下载使用。
专题09 不等式(组)及其应用【九大题型】(触类旁通)2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列(全国版): 这是一份专题09 不等式(组)及其应用【九大题型】(触类旁通)2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列(全国版),文件包含专题09不等式组及其应用九大题型触类旁通原卷版docx、专题09不等式组及其应用九大题型触类旁通解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共35页, 欢迎下载使用。
专题08 一元二次方程及其应用【九大题型】(触类旁通)2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列(全国版): 这是一份专题08 一元二次方程及其应用【九大题型】(触类旁通)2024年中考数学一轮复习【触类旁通】系列(全国版),文件包含专题08一元二次方程及其应用九大题型触类旁通原卷版docx、专题08一元二次方程及其应用九大题型触类旁通解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。