专题09 基本图形的平行与垂直（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册）

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空间中直线与平面的位置关系
(1)位置关系：有且只有三种
①直线在平面内——有无数个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③直线与平面平行——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
【点拨】“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
(2)符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α．
(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．
直线与平面平行
1.直线与平面平行的判定定理
（1）定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
（2）图形语言：
（3）符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；即：
（4）作用：证明直线与平面平行
2.直线与平面平行的性质定理
（1）定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
（2）图形语言：
（3）符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
（4）作用：证明两直线平行.
（三）直线与平面垂直
1. 直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
（2）记法：l⊥α
（3）有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足.
（4）图示与画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
2. 直线与平面垂直的判定定理
（1）定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
（2）图形语言
（3）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P⇒l⊥α
（4）作用：判断直线与平面垂直.
3. 直线与平面垂直的性质定理
（1）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行
（2）图形语言：
（3）符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
（4）作用：证明两直线平行.
（四）两平面的位置关系
(1)位置关系：有且只有两种
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线．
(2)符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l．
(3)图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示．
（五）两平面平行
1.判定定理
（1）定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
（2）图形语言：
（3）符号语言：a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β
（3）作用：证明两个平面平行
2.性质定理
（1）定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
（2）图形语言：
（3）符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a∥b__
（4）作用：证明两直线平行
（六）两平面垂直
1.二面角
（1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
（2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.

如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角.
（3）范围：[0，π]
（4）记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q
（5）度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
2.判定定理
（1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
（2）图形语言：
（3）符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
（4）作用：判断两平面垂直
3. 性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
（2）图形语言：
（3）符号语言：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α
（4）作用：证明直线与平面垂直
题型一 平行、垂直相关命题的判定
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若则
B．若则
C．若则
D．若则
【典例2】（2021春·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）设l是直线，是两个不同的平面（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【总结提升】
1.平行关系的转化：线线平行线面平行面面平行
2.垂直关系的转化：
3.垂直、平行关系 的转化
题型二 直线与平面平行的判定与证明
【典例3】（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，、分别是、的中点．证明：平面．
【典例4】（2023春·全国·高一专题练习）如图①，在直角梯形中，，，，为的中点，、、分别为、、的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证：在四棱锥中，平面.
【总结提升】
1.证明线面平行的常用方法与思路
证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．
2.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．
题型三 直线与平面平行的性质及应用
【典例5】（2023春·全国·高一专题练习）正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在和上，并且，平面，则线段的长为______．
【典例6】（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.
(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)求证：.
【总结提升】
1.应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
2.在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
题型四 面面平行的判定与证明
【典例7】（2023春·全国·高一专题练习）（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明;
（2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面.
【典例8】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1平面BCHG.
【总结提升】
1.证明两个平面平行的方法有：
①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；
②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；
③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)；
④借助“传递性”来完成(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
2.面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．
题型五 平面与平面平行的性质及应用
【典例9】（2023·全国·高一专题练习）如图，直线被三个平行平面所截．求证：．
【典例10】（2023·高一课时练习）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长．
【规律方法】
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
题型六 线面垂直的判定与证明
【典例11】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【典例12】（2023·全国·高一专题练习）如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，
(1)求证：.
(2)求证：.
【规律方法】
证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
题型七 线线垂直的判定与证明
【典例13】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
【典例14】（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点．证明：.
【规律方法】
证明线线垂直的基本方法：
(1)证明一条直线垂直于经过另一直线的平面，称之为线面垂直法．
(2)计算两条直线所成角等于90°，称之为计算角度法
题型八 面面垂直的判定与证明
【典例15】（2023·全国·高一专题练习）如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
【典例16】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是的中点.求证：
(1)平面PCE
(2)平面平面
【规律方法】
1.面面垂直判定的两种方法与一个转化
(1)两种方法：
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
(2)一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
2．证面面垂直的思路
(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．
(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理．
题型九 面面垂直性质的应用
【典例17】（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥的五个顶点都在球面O上，底面ABCD是边长为4的正方形，平面平面ABCD，且，则球面O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例18】（2023·全国·高一专题练习）直三棱柱的所有棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．
【规律方法】
1.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．
2.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
题型十 平行、垂直的综合问题
【典例19】（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图1，已知菱形的对角线交于点，四边形是平行四边形.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.
(1)求证：；
(2)在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
【典例20】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)在侧棱PC上是否存在点M，使得平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由．
【规律方法】
1.存在、探索性问题解答策略：
(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．
(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．
2.易错提醒：
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.
（3）解题中注意符号语言的规范应用.
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一单元测试）已知在正方体中，交于点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．
4．（2023·全国·高一专题练习）已知两条不同的直线与两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．（2023·全国·高一专题练习）m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，
②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，
③若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，
④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m，
其中正确的结论个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2020春·江苏徐州·高一校考期中）设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；② ；③ ；④ .其中正确的命题是（ ）
A．①④B．②③
C．①③D．②④
7．（2023春·全国·高一专题练习）如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（ ）
A．B．平面
C．平面D．平面平面
二、多选题
8．（2023·高一单元测试）如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
9.（2023春·全国·高一专题练习）如图，长方体被平面BCFE截成两个几何体，其中E，F分别在和上，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．几何体为棱台D．几何体为棱柱
10．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列判断正确的是（ ）.
A．直线与是异面直线B．平面
C．平面D．
11．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．平面平面
三、填空题
12.（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）在矩形ABCD中，，，现将△CBD沿对角线BD翻折，使得平面ABD与平面CBD垂直，此时A、C两点之间的距离为_____________
四、解答题
13．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论．
14.（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.
(1)证明： 平面；
(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.
15．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：AF平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.
16．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，E为线段上一点．
(1)当∥平面，求证：为的中点；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．