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勾股定理选择、填空题练习
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这是一份勾股定理选择、填空题练习，共41页。
勾股定理选择、填空题 一、单选题 1．下面四组数中是勾股数的一组是（ ） A．6，7，8 B．5，8，18 C．1.5，2，2.5 D．21，28，35 2．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．，， D．30，40，50 3．在中，有两边的长分别为1和2，则第三边的长（ ） A． B． C．或 D．或 4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A．a＝2，b＝4，c＝6 B．a＝4，b＝6，c＝8 C．a＝4，b＝8，c＝10 D．a＝6，b＝8，c＝10 5．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ） A．12 B．13 C．15 D．24 7．已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，， 9．如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以OB为半径画圆，交数轴于点C，则OC的长为（ ） A．3 B． C． D． 10．如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A． B． C． D．2.5 11．如图，在平面直角坐标系中，顶点A，B的坐标分别是，，，则顶点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 12．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为6和8，则的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．14 13．如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，为上一点，且，如果的面积为40，那么的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 15．如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ） A．15cm B．17cm C．18cm D．30cm 16．在以下列线段a、b、c的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A．a＝9 b＝41 c＝40 B．a＝b＝5 c＝5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝11 b＝12 c＝15 17．下列四组线段不能围成直角三角形的是( ) A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝9，b＝12，c＝15 C．，， D．a︰b︰c＝2︰3︰4 18．下列命题中，其逆命题成立的是有（ ） ． ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． A．①③④ B．①②③ C．②④ D．① ④ 19．已知ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则ABC的形状是（ ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 20．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为（ ） A．4.8km B．9.6km C．2.4km D．5km 21．下列各组数据，不是勾股数的是（ ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，， 22．如图，等边的边长为2，则点的坐标为( ) A． B． C． D． 23．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,D 为 AC 上一点，将△ABD 沿 BD 折叠，使点 A 恰好落在 BC 上的 E 处，则折痕 BD 的长是（ ） A．5 B． C．3 D． 24．如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（ ） A．313 B．144 C．169 D．25 25．如图，长方体的高为9m，底面是边长为6m的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为( ) A．10m B．12m C．15m D．20m 26．在中，，，，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 27．如图，一棵大树在离地面6米高的处断裂，树顶落在离树底部的8米处，则大树断裂之前的高度为（ ） A．10米 B．16米 C．15米 D．14米 28．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ） A．121 B．144 C．169 D．196 29．如图有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ） A．2cm B．2cm C．10cm D．13cm 30．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积是（ ） A．8π cm2 B．12π cm2 C．16π cm2 D．18π cm2 31．如图所示，四边形是边长为的正方形，，则数轴上点所表示的数是（ ） A． B． C． D． 32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（ ） A． B．+1 C．+2 D．+3 33．给出下列说法： ①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5； ②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠C＝90°； ③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形； ④△ABC中，若a：b：c＝1：2： ，则这个三角形是直角三角形． 其中，错误的说法的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A． B． C． D． 35．如图，是等边三角形，点D．E分别为边BC．AC上的点，且，点F是BE和AD的交点，，垂足为点G，已知，，则为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 36．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 37．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm． 38．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为________ 39．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为 ___． 40．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行． 41．一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为_____． 42．请写出两组勾股数：________． 43．若三角形三边长之比为，则这个三角形中的最大角的度数是________． 44．已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4，则Rt△ABC的面积为_______． 45．如图，在水塔O的东北方向8m处有一抽水站A，在水塔的东南方向6m处有一建筑物工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为______． 46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD⊥AB于点D，则CD的长为 ___． 47．一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则的长为_________． 48．如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 49．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了_____ cm. 50．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 __________. 51．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m（容器厚度忽略不计）． 52．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有______（填序号） 53．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点D、E，则的长是__________． 54．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为____ 55．如图，在直角坐标系上有两点、，是轴上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上，则点的坐标为__________． 56．已知直角三角形两边长分别为a，b，且，则第三边长为___． 57．如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为______． 58．如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝3，CD＝2，当BD长最大时，△ABC的面积为___． 参考答案： 1．D 【解析】 根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． 解：A、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误； B、52+82≠182，不能构成勾股数，故错误； C、1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误； D、212+282=352，能构成勾股数，故正确． 故选：D． 【点睛】 此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 2．D 【解析】 构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据勾股数的定义可得答案. 解：A选项中的三个数不满足是正整数，不是勾股数，故A不符合题意； B选项中的三个数满足是正整数， 但是 而 所以，，不是勾股数，故B不符合题意； C选项中的三个数不满足是正整数，不是勾股数，故C不符合题意； D选项中的三个数满足是正整数， 且 所以30，40，50是勾股数，符合题意； 故选D 【点睛】 本题考查的是勾股数的定义，掌握“构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数”是解题的关键. 3．D 【解析】 分2是直角边、2是斜边两种情况，根据勾股定理计算． 解：当2是直角边时，斜边=， 当2是斜边时，直角边=， 则第三边的长为或. 故选D. 【点睛】 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 4．D 【解析】 根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可． A、∵42+22≠62， ∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵42+62≠82， ∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵82+42≠102， ∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵62+82＝102， ∴能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 5．C 【解析】 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． A、，能构成直角三角形，则此项不符题意 B、，能构成直角三角形，则此项不符题意 C、，不能构成直角三角形，则此项符合题意 D、，能构成直角三角形，则此项不符题意 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题关键． 6．A 【解析】 设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5，利用勾股定理即可解答． 设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5m， 在中，， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，利用勾股定理与方程的结合解决实际问题． 7．D 【解析】 根据勾股定理逆定理及等腰三角形的判定确定三角形形状． 解：∵ ∴或，即 ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形 故选：D． 【点睛】 本题考查勾股定理逆定理，题目比较简单，正确理解题意是关键． 8．A 【解析】 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； B、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意； C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意； D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 9．D 【解析】 解：∵在直角△OAB中，∠OAB=90°， ∴OB=． ∴ 故选D． 10．C 【解析】 先利用勾股定理求解的长，从而可确定以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，这个点所对应的无理数. 解： 长方形的边长为2，边长为1，则 以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点， 则这个点表示的实数是 故选：C 【点睛】 本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，掌握“在数轴上找到表示无理数的点的方法”是解题的关键. 11．B 【解析】 作CD⊥AB于D，根据题意求出AB，根据等腰三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，得到答案． 解：作CD⊥AB于D， ∵点A，B的坐标分别是(0，4)，(0．-2)， ∴AB=6， ∵CA=CB，CD⊥AB， ∴AD=DB=3， ∴OD=1， 由勾股定理得，CD==4， ∴顶点C的坐标为(4，1)， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、以及图形与坐标的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 12．D 【解析】 如图，根据正方形的性质得BC＝BF，∠CBF＝90°，AC2＝6，DF2＝8，再利用等角的余角相等得∠1＝∠3，则可根据AAS证明△ABC≌△DFB，得到AB＝DF，然后根据勾股定理得到BC2＝AC2＋AB2＝AC2＋DF2＝6＋8＝14，则有b的面积为14． 解：如图， ∵a、b、c都为正方形， ∴BC＝BF，∠CBF＝90°，AC2＝6，DF2＝8， ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△ABC和△DFB中， ， ∴△ABC≌△DFB， ∴AB＝DF， 在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝AC2＋DF2＝6＋8＝14， ∴b的面积为14． 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质． 13．C 【解析】 根据直角三角形勾股定理可得出：，根据圆的面积公式，写出三个半圆的面积求和进行化简即可． 解：根据勾股定理可得：， 由图形可得，计算各个半圆面积之和为： ， ， , ， 故选：C． 【点睛】 题目主要考查勾股定理的应用、整式的化简（提公因式），根据图形列出阴影面积的代数式进行化简是解题关键． 14．A 【解析】 根据面积求出BC，再根据勾股定理计算即可； ∵的面积为40， ∴， ∴， 在中，； 故选A． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 15．A 【解析】 如图把圆柱体展开，连接AB，然后可知AC=9cm，BC=12cm，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求． 解：如图所示： ∵圆柱的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm， ∴AC=9cm，BC=12cm， ∴， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm； 故选A． 【点睛】 本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键． 16．D 【解析】 根据直角三角形的判定，符合a2+b2＝c2即可；反之不符合的不能构成直角三角形． 解：A、因为92+402＝412，故能构成直角三角形； B、因为52+52＝（5）2，故能构成直角三角形； C、因为32+42＝52，故能构成直角三角形； D、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形； 故选D． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足关系时，则三角形为直角三角形． 17．D 【解析】 解：D选项中，设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k． 因为(2k)2＋(3k)2＝13k2，(4k)2＝16k2， 所以a2＋b2≠c2． 因为只有满足a2＋b2＝c2的三条线段才可围成直角三角形，否则就不能围成直角三角形． 所以这三条线段不能围成直角三角形， 故选：D． 18．D 【解析】 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可． 解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立； ②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立； ④如果一个三角形是直角三角形，c为斜边，则a2+b2=c2，正确． 逆命题成立的有①④个； 故选：D． 【点睛】 此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，解体的关键是熟练掌握课本上的定理． 19．A 【解析】 根据（a-b）（c2-a2-b2）=0得a-b=0，或c2-a2-b2=0，求出a、b、c之间的数量关系进行判断． 解：∵（a-b）（c2-a2-b2）=0， ∴a-b=0或c2-a2-b2=0， ∴a=b或a2+b2=c2， ∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：A． 【点睛】 本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，掌握这两个知识点的熟练应用，根据（a-b）（c2-a2-b2）=0得a-b=0，或c2-a2-b2=0，是解题关键． 20．A 【解析】 首先利用勾股定理逆定理得到∠ABC＝90°，然后过B作BD⊥AC，垂足为D，确定BD为最短距离，然后利用面积相等求得BD的长． 解：过B作BD⊥AC，垂足为D， ∵62＋82＝102， ∴BC2＋AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， S△ACB＝AB•CB＝AC•BD， ×6×8＝×10×DB， 解得：BD＝4.8， ∴学校B到公路的最短距离为4.8km， 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△ABC是直角三角形． 21．D 【解析】 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． ∵，是正整数，∴A是勾股数； ∵，是正整数，∴B是勾股数； ∵，是正整数，∴C是勾股数； ∵，∴D不是勾股数； 故答案选择D． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理逆定理以及勾股数，解答此题掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理． 22．B 【解析】 过点作于点，由勾股定理求出BH的长，即可求出点B的坐标. 过点作于点，∵是等边三角形， ∴，． ∴点的坐标为． 故选B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及图形与坐标，正确作出辅助线是解答本题的关键. 23．C 【解析】 根据勾股定理易求BC=10．根据折叠的性质有AB=BE，AD=DE，∠A=∠DEB=90°, 在△CDE中，设AD=DE=x，则CD=8-x，EC=10-6=4．根据勾股定理可求x,在△ADE中，运用勾股定理求BD． 解：∵∠A=90°，AB=6,AC=8， ∴BC=10． 根据折叠的性质，AB=BE，AD=DE，∠A=∠DEB=90°． ∴EC=10-6=4． 在△CDE中，设AD=DE=x，则CD=8-x，根据勾股定理得 （8-x）2=x2+42． 解得x=3． ∴DE=3． ∴BD==3,故选C. 【点睛】 本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等． 24．D 【解析】 设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，利用勾股定理即可解答． 设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形， 所以， 故， 即. 故选：D 25．C 【解析】 如图， （1）AB=； （2）AB=， 由于15<， 则蚂蚁爬行的最短路程为15米． 故选C． 【点睛】 展开时要根据实际情况将图形按不同形式展开，再计算． 26．C 【解析】 首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离． 解：根据题意画出相应的图形，如图所示： 在Rt△ABC中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得：， 过C作CD⊥AB，交AB于点D， 又S△ABC=AC•BC=AB•CD， ∴， 则点C到AB的距离是． 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边． 27．B 【解析】 根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 由题意得BC=6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB==10米． 所以大树的高度是10+6=16米． 故选：B． 【点睛】 此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术法求解． 28．C 【解析】 直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米；小正方形的边长是7厘米，则较长直角边为b=5+7=12厘米，最后再根据勾股定理解答即可. 解：∵直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米 ∴直角三角形较长的直角边长是5+7=12厘米，即b=12厘米 ∴c2=52+122=169. 故答案为：C. 【点睛】 本题考查了直角三角形的勾股定理，确定直角三角形较长直角边的长度是解答本题的关键. 29．D 【解析】 要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程即可． 解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即 矩形的宽是圆柱的高12，即 厘米． 故选D 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 30．D 【解析】 先根据已知条件利用勾股定理可得三角形的直角边（即半圆的直径），再得出半径的值，然后求出圆的面积即可得出答案． 由勾股定理可得，三角形的直角边（即半圆的直径）为：=12， 所以半径r=6， 故S半圆=πr2=18π， 故选D． 【点睛】 此题主要考查了学生对勾股定理和圆面积的理解和掌握，解决问题的关键是掌握半圆面积的算法，以及勾股定理的运用． 31．D 【解析】 连接AC,根据勾股定理求出其长度, ,再减1求相反数即为点P表示的数. 解:如图,连接AC, 在中, , 所以, 所以, 所以点表示的数为. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查在数轴上用勾股定理求无理数长度的线段,熟练掌握该方法是解答关键. 32．D 【解析】 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=， ∴AB=2CD=． ∴AC2+BC2=5 又Rt△ABC的面积为1， ∴AC•BC=1，则AC•BC=2． ∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC•BC=9， ∴AC+BC=3（舍去负值）， ∴AC+BC+AB=3+，即△ABC的周长是+3． 故选D． 33．B 【解析】 根据勾股定理、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理判断． 解：①在直角三角形中，已知两边长为3和4， 当4是直角边时，第三边， 当4是斜边长时，第三边， 则第三边长为5或，本说法错误； ②三角形的三边、、满足，则，本说法错误； ③中，若， 设、、分别为、、， 则， 解得，， 则、、分别为、、， 则是直角三角形，本说法正确； ④中，若， 设、、分别为、、， ，， ， 这个三角形是直角三角形，本说法正确， 故选B． 【点睛】 本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 34．B 【解析】 利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根据全等三角形的判定可证AEM≌CGN，AHN≌CFM，从而得出S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论． 解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD， ∴AH2＋DH2=AD2=21 即（3DH）2＋DH2=21 解得：DH=， ∴AH= 由全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2 ∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN ∵AH∥CF ∴∠HEN=∠FCM ∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF ∴AEM≌CGN，AHN≌CFM ∴S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM ∴S四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH=S正方形EFGH=×= ∵S△FGN=2S△CGN ∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN = S△MNF＋2S△CGN = S△MNF＋S△FGN = S四边形MFGN = 故选B． 【点睛】 此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键． 35．C 【解析】 结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE＝15°，进而两次利用勾股定理可求解． ∵△ABC为等边三角形 ∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE ∴△ABE≌△CAD（SAS） ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°， ∵BG⊥AD， ∴∠BGF＝90°， ∴∠FBG＝30°， ∵FG＝1， ∴BF＝2FG＝2， ∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°， ∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°， ∴∠ABG＝45°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB＝90°， ∴AG=BG==， AB2=AG2+BG2=()2+()2=6． 故选C． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG为等腰直角三角形是解题关键． 36．B 【解析】 由是等边三角形，不是中点可判断①；根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由可判断⑤；设，则，表示和的长可判断②；作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③④． 解：是等边三角形，是的垂直平分线 不是中点，N点不在∠ACB的角平分上， ∴CN不平分∠ACB， ，故①错误； 是等边三角形， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ，故⑤正确； 设，则， ，， 在中，，， ， ，故②正确； 如图，过作于，连接， 在等边中， ， 平分，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ，故④错误； 在和中， ， ， ， ， ， ，故③正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 37．25 【解析】 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可． 如图所示． ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得： x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25． 故答案为25． 【点睛】 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 38． 【解析】 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项． 解：如图： 由图可知：， ∵数轴上点A所表示的数为a， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图是解此题的关键． 39．4 【解析】 设AQ＝DQ＝x，则BQ＝AB﹣AQ＝9﹣x，在Rt△BDQ中，用勾股定理列方程可解得x，从而可得答案． 解：∵BC＝6，D是BC的中点， ∴BD＝BC＝3， ∵△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合， ∴AQ＝DQ， 设AQ＝DQ＝x，则BQ＝AB﹣AQ＝9﹣x， 在Rt△BDQ中， ∴ 解得x＝5， ∴BQ＝9﹣x＝4， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长． 40．北偏东50°（或东偏北40°） 【解析】 由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解． 解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里， ∴， ∴∠APB=90°， ∴， ∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行； 故答案为北偏东50°（或东偏北40°）． 【点睛】 本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 41． 【解析】 利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列式计算即可得解． 解：∵（）2+（）2＝2+3＝5， （）2＝5， ∴（）2+（）2＝（）2， ∴三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积＝××＝． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知二次根式的运算及勾股定理的应用． 42．；（答案不唯一） 【解析】 勾股数：构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据勾股数的定义可得答案. 解：勾股数是构成一个直角三角形三边的一组正整数， ；；都是勾股数. 故答案为：； 【点睛】 本题考查的是勾股数的含义，勾股定理的逆定理的理解，掌握勾股数的定义是解题的关键. 43．##90度 【解析】 直接利用勾股定理的逆定理得出三角形的形状进而得出答案． 解：∵三角形三边长之比为， 可设三边长分别为x，x，2x ∵x2＋（x）2＝（2x）2， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形中最大角的度数是90°． 故答案为：90°． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键． 44．4 【解析】 根据勾股定理，求得AC2，后利用两直边乘积的一半计算面积即可． 解：∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4， ∴， ∴， ∴Rt△ABC的面积为， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，整体思想，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 45．10m 【解析】 由题意可得三角形AOB是直角三角形，且AB是斜边，所以由勾股定理即可算得AB的值． 解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ∴∠AOB＝90°， 又∵OA＝8m，OB＝6m， ∴AB＝＝＝10（m）． 故答案为：10m． 【点睛】 本题考查勾股 定理的应用，在判断三角形为直角三角形及三角形直角边和斜边的基础上利用勾股定理求解是解题关键． 46．4.8 【解析】 先利用勾股定理求出AC的长，再由三角形面积公式得到，由此即可得到答案． 解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴， ∵CD⊥AB， ∴， ∴， 故答案为：4.8． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理． 47． 【解析】 设DE=x，则AD=16-x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD即可． 解：如图所示， 设DE=x，则AD= 16- x， 根据题意得： ， 解得：x=12， ∴DE= 12， ∵∠E= 90°， 由勾股定理得： ． 即：CD的长为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法，熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键． 48．45 【解析】 延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， ∴PD2+DB2=PB2， ∴∠PDB=90°， 即△PBD为等腰直角三角形， ∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°， 故答案为：45． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 49．2 【解析】 根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离． Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD＝＝5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故答案为2. 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理进行求解． 50．4.5 【解析】 本题考查的是勾股定理的应用．由题意得三个等腰直角三角形的是以Rt△ABC的三边为边作正方形的四分之一而三个正方形的面积和为18，故阴影部分面积为． 51．1.3． 【解析】 因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示 要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点，连接，则与EF的交点就是所求的点P． 过B作于点M， 在中，，， ∴． ∵，∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m． 52．①②③ 【解析】 ∵∠A+∠B=∠C, ∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°,∠C=90°，∴△ABC是直角三角形； ∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,设∠A=x,则x+2x+3x=180,x=30°,∠C=30°×3=90°，∴△ABC是直角三角形； ∵∠A=90°−∠B,∴∠A+∠B=90°,则∠C=180°−90°=90°，∴△ABC是直角三角形； ∵∠A=∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC不是直角三角形； 故正确的有①，②，③. 53．25 【解析】 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，设，知，在中，由列出关于的方程，解之可得答案． 解：连接， 垂直平分， ， 设，则， 在中， ， ， 解得， ， 故答案为：25． 【点睛】 本题主要考查勾股定理，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理列出方程． 54．5 【解析】 解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小． ∵BD=3，DC=1，∴BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°， ∴∠CBC′=90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45° ∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得：DC′==5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键． 55．（0，）或（0，-6）． 【解析】 设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB=AC，而AB的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM=BM，在直角△CMO中根据勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐标． 解：设点B落在x轴的C点处， 如图所示，当点M在x轴上方， ∵A（-3，0），B（0，4）， ∵将△ABM沿AM折叠， ∴AB=AC， 又OA=3，OB=4， ∴AB=5=AC， ∴点C的坐标为：（2，0）． 设M点坐标为（0，b）， 则CM=BM=4-b， ∵CM2=CO2+OM2， ∴b=， ∴M（0，）， 如图所示，当点M在x轴下方， 设OM=m 由折叠知，AC=AB=5，CM=BM，BM=OB+OM=4+m， ∴OC=8，CM=4+m， 根据勾股定理得，64+m2=（4+m）2， ∴m=6， ∴M（0，-6） 故答案为：（0，）或（0，-6）． 【点睛】 本题考查的是轴对称的性质，坐标与图形，角平分线的性质，等面积法，应用勾股定理构造方程是解题的关键. 56．5或 【解析】 直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质进而得出，，再利用分类讨论得出即可． 解：∵直角三角形的两边长a、b满足， ∴，， ∴第三边的长为：或． 故答案为：5或． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理以及非负数的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 57．## 【解析】 根据题意求出面积标记为S2的正方形边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答． 解：∵正方形ABCD的边长为1， ∴面积标记为S2的正方形边长为， 则S2=（）2==， 面积标记为S3的正方形边长为×=， 则S3=（）2==， ……， 则S2021的值为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键． 58． 【解析】 以CD为边作等边△DCE，连接AE．利用全等三角形的性质证明BD=AE，利用三角形的三边关系可得当A，D，E三点共线时，BD的值最大，过点C作CF⊥AD，垂足为F，利用勾股定理求出CF，AC，再根据等边三角形的性质求出△ABC的面积． 解：以CD为边作等边△DCE，连接AE． ∵BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠BCD=∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE， 在△ADE中，∵AD=3，DE=CD=2， ∴AE≤AD+DE， ∴AE≤5， ∴AE的最大值为5， ∴当A，D，E三点共线时，BD的值最大，且为5， 如图，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵∠CDE=∠BDC=∠E=60°， ∴∠DCF=30°， ∴DF=CD=1， ∴CF=，AF=AD+DF=3+1=4， ∴AC=， ∴△ABC中AC边上的高为=， ∴△ABC的面积为=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，利用三边关系得到BD最大时的情形．
勾股定理选择、填空题 一、单选题 1．下面四组数中是勾股数的一组是（ ） A．6，7，8 B．5，8，18 C．1.5，2，2.5 D．21，28，35 2．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．，， D．30，40，50 3．在中，有两边的长分别为1和2，则第三边的长（ ） A． B． C．或 D．或 4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A．a＝2，b＝4，c＝6 B．a＝4，b＝6，c＝8 C．a＝4，b＝8，c＝10 D．a＝6，b＝8，c＝10 5．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ） A．12 B．13 C．15 D．24 7．已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 8．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，， 9．如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以OB为半径画圆，交数轴于点C，则OC的长为（ ） A．3 B． C． D． 10．如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A． B． C． D．2.5 11．如图，在平面直角坐标系中，顶点A，B的坐标分别是，，，则顶点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 12．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为6和8，则的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．14 13．如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，为上一点，且，如果的面积为40，那么的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 15．如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ） A．15cm B．17cm C．18cm D．30cm 16．在以下列线段a、b、c的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A．a＝9 b＝41 c＝40 B．a＝b＝5 c＝5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝11 b＝12 c＝15 17．下列四组线段不能围成直角三角形的是( ) A．a＝8，b＝15，c＝17 B．a＝9，b＝12，c＝15 C．，， D．a︰b︰c＝2︰3︰4 18．下列命题中，其逆命题成立的是有（ ） ． ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． A．①③④ B．①②③ C．②④ D．① ④ 19．已知ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则ABC的形状是（ ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 20．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为（ ） A．4.8km B．9.6km C．2.4km D．5km 21．下列各组数据，不是勾股数的是（ ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，， 22．如图，等边的边长为2，则点的坐标为( ) A． B． C． D． 23．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,D 为 AC 上一点，将△ABD 沿 BD 折叠，使点 A 恰好落在 BC 上的 E 处，则折痕 BD 的长是（ ） A．5 B． C．3 D． 24．如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（ ） A．313 B．144 C．169 D．25 25．如图，长方体的高为9m，底面是边长为6m的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为( ) A．10m B．12m C．15m D．20m 26．在中，，，，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 27．如图，一棵大树在离地面6米高的处断裂，树顶落在离树底部的8米处，则大树断裂之前的高度为（ ） A．10米 B．16米 C．15米 D．14米 28．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ） A．121 B．144 C．169 D．196 29．如图有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ） A．2cm B．2cm C．10cm D．13cm 30．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积是（ ） A．8π cm2 B．12π cm2 C．16π cm2 D．18π cm2 31．如图所示，四边形是边长为的正方形，，则数轴上点所表示的数是（ ） A． B． C． D． 32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（ ） A． B．+1 C．+2 D．+3 33．给出下列说法： ①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5； ②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠C＝90°； ③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形； ④△ABC中，若a：b：c＝1：2： ，则这个三角形是直角三角形． 其中，错误的说法的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A． B． C． D． 35．如图，是等边三角形，点D．E分别为边BC．AC上的点，且，点F是BE和AD的交点，，垂足为点G，已知，，则为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 36．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BCN；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 37．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm． 38．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为________ 39．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为 ___． 40．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行． 41．一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为_____． 42．请写出两组勾股数：________． 43．若三角形三边长之比为，则这个三角形中的最大角的度数是________． 44．已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4，则Rt△ABC的面积为_______． 45．如图，在水塔O的东北方向8m处有一抽水站A，在水塔的东南方向6m处有一建筑物工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为______． 46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD⊥AB于点D，则CD的长为 ___． 47．一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则的长为_________． 48．如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 49．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了_____ cm. 50．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 __________. 51．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_______m（容器厚度忽略不计）． 52．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有______（填序号） 53．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点D、E，则的长是__________． 54．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为____ 55．如图，在直角坐标系上有两点、，是轴上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上，则点的坐标为__________． 56．已知直角三角形两边长分别为a，b，且，则第三边长为___． 57．如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为______． 58．如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝3，CD＝2，当BD长最大时，△ABC的面积为___． 参考答案： 1．D 【解析】 根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． 解：A、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误； B、52+82≠182，不能构成勾股数，故错误； C、1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误； D、212+282=352，能构成勾股数，故正确． 故选：D． 【点睛】 此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 2．D 【解析】 构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据勾股数的定义可得答案. 解：A选项中的三个数不满足是正整数，不是勾股数，故A不符合题意； B选项中的三个数满足是正整数， 但是 而 所以，，不是勾股数，故B不符合题意； C选项中的三个数不满足是正整数，不是勾股数，故C不符合题意； D选项中的三个数满足是正整数， 且 所以30，40，50是勾股数，符合题意； 故选D 【点睛】 本题考查的是勾股数的定义，掌握“构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数”是解题的关键. 3．D 【解析】 分2是直角边、2是斜边两种情况，根据勾股定理计算． 解：当2是直角边时，斜边=， 当2是斜边时，直角边=， 则第三边的长为或. 故选D. 【点睛】 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 4．D 【解析】 根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可． A、∵42+22≠62， ∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵42+62≠82， ∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵82+42≠102， ∴不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵62+82＝102， ∴能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 5．C 【解析】 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． A、，能构成直角三角形，则此项不符题意 B、，能构成直角三角形，则此项不符题意 C、，不能构成直角三角形，则此项符合题意 D、，能构成直角三角形，则此项不符题意 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题关键． 6．A 【解析】 设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5，利用勾股定理即可解答． 设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5m， 在中，， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，利用勾股定理与方程的结合解决实际问题． 7．D 【解析】 根据勾股定理逆定理及等腰三角形的判定确定三角形形状． 解：∵ ∴或，即 ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形 故选：D． 【点睛】 本题考查勾股定理逆定理，题目比较简单，正确理解题意是关键． 8．A 【解析】 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； B、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意； C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意； D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 9．D 【解析】 解：∵在直角△OAB中，∠OAB=90°， ∴OB=． ∴ 故选D． 10．C 【解析】 先利用勾股定理求解的长，从而可确定以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，这个点所对应的无理数. 解： 长方形的边长为2，边长为1，则 以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点， 则这个点表示的实数是 故选：C 【点睛】 本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，掌握“在数轴上找到表示无理数的点的方法”是解题的关键. 11．B 【解析】 作CD⊥AB于D，根据题意求出AB，根据等腰三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，得到答案． 解：作CD⊥AB于D， ∵点A，B的坐标分别是(0，4)，(0．-2)， ∴AB=6， ∵CA=CB，CD⊥AB， ∴AD=DB=3， ∴OD=1， 由勾股定理得，CD==4， ∴顶点C的坐标为(4，1)， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、以及图形与坐标的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 12．D 【解析】 如图，根据正方形的性质得BC＝BF，∠CBF＝90°，AC2＝6，DF2＝8，再利用等角的余角相等得∠1＝∠3，则可根据AAS证明△ABC≌△DFB，得到AB＝DF，然后根据勾股定理得到BC2＝AC2＋AB2＝AC2＋DF2＝6＋8＝14，则有b的面积为14． 解：如图， ∵a、b、c都为正方形， ∴BC＝BF，∠CBF＝90°，AC2＝6，DF2＝8， ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△ABC和△DFB中， ， ∴△ABC≌△DFB， ∴AB＝DF， 在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝AC2＋DF2＝6＋8＝14， ∴b的面积为14． 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质． 13．C 【解析】 根据直角三角形勾股定理可得出：，根据圆的面积公式，写出三个半圆的面积求和进行化简即可． 解：根据勾股定理可得：， 由图形可得，计算各个半圆面积之和为： ， ， , ， 故选：C． 【点睛】 题目主要考查勾股定理的应用、整式的化简（提公因式），根据图形列出阴影面积的代数式进行化简是解题关键． 14．A 【解析】 根据面积求出BC，再根据勾股定理计算即可； ∵的面积为40， ∴， ∴， 在中，； 故选A． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 15．A 【解析】 如图把圆柱体展开，连接AB，然后可知AC=9cm，BC=12cm，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求． 解：如图所示： ∵圆柱的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm， ∴AC=9cm，BC=12cm， ∴， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm； 故选A． 【点睛】 本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键． 16．D 【解析】 根据直角三角形的判定，符合a2+b2＝c2即可；反之不符合的不能构成直角三角形． 解：A、因为92+402＝412，故能构成直角三角形； B、因为52+52＝（5）2，故能构成直角三角形； C、因为32+42＝52，故能构成直角三角形； D、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形； 故选D． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足关系时，则三角形为直角三角形． 17．D 【解析】 解：D选项中，设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k． 因为(2k)2＋(3k)2＝13k2，(4k)2＝16k2， 所以a2＋b2≠c2． 因为只有满足a2＋b2＝c2的三条线段才可围成直角三角形，否则就不能围成直角三角形． 所以这三条线段不能围成直角三角形， 故选：D． 18．D 【解析】 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可． 解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立； ②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立； ④如果一个三角形是直角三角形，c为斜边，则a2+b2=c2，正确． 逆命题成立的有①④个； 故选：D． 【点睛】 此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，解体的关键是熟练掌握课本上的定理． 19．A 【解析】 根据（a-b）（c2-a2-b2）=0得a-b=0，或c2-a2-b2=0，求出a、b、c之间的数量关系进行判断． 解：∵（a-b）（c2-a2-b2）=0， ∴a-b=0或c2-a2-b2=0， ∴a=b或a2+b2=c2， ∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：A． 【点睛】 本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，掌握这两个知识点的熟练应用，根据（a-b）（c2-a2-b2）=0得a-b=0，或c2-a2-b2=0，是解题关键． 20．A 【解析】 首先利用勾股定理逆定理得到∠ABC＝90°，然后过B作BD⊥AC，垂足为D，确定BD为最短距离，然后利用面积相等求得BD的长． 解：过B作BD⊥AC，垂足为D， ∵62＋82＝102， ∴BC2＋AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， S△ACB＝AB•CB＝AC•BD， ×6×8＝×10×DB， 解得：BD＝4.8， ∴学校B到公路的最短距离为4.8km， 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△ABC是直角三角形． 21．D 【解析】 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． ∵，是正整数，∴A是勾股数； ∵，是正整数，∴B是勾股数； ∵，是正整数，∴C是勾股数； ∵，∴D不是勾股数； 故答案选择D． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理逆定理以及勾股数，解答此题掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理． 22．B 【解析】 过点作于点，由勾股定理求出BH的长，即可求出点B的坐标. 过点作于点，∵是等边三角形， ∴，． ∴点的坐标为． 故选B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及图形与坐标，正确作出辅助线是解答本题的关键. 23．C 【解析】 根据勾股定理易求BC=10．根据折叠的性质有AB=BE，AD=DE，∠A=∠DEB=90°, 在△CDE中，设AD=DE=x，则CD=8-x，EC=10-6=4．根据勾股定理可求x,在△ADE中，运用勾股定理求BD． 解：∵∠A=90°，AB=6,AC=8， ∴BC=10． 根据折叠的性质，AB=BE，AD=DE，∠A=∠DEB=90°． ∴EC=10-6=4． 在△CDE中，设AD=DE=x，则CD=8-x，根据勾股定理得 （8-x）2=x2+42． 解得x=3． ∴DE=3． ∴BD==3,故选C. 【点睛】 本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等． 24．D 【解析】 设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，利用勾股定理即可解答． 设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形， 所以， 故， 即. 故选：D 25．C 【解析】 如图， （1）AB=； （2）AB=， 由于15<， 则蚂蚁爬行的最短路程为15米． 故选C． 【点睛】 展开时要根据实际情况将图形按不同形式展开，再计算． 26．C 【解析】 首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离． 解：根据题意画出相应的图形，如图所示： 在Rt△ABC中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得：， 过C作CD⊥AB，交AB于点D， 又S△ABC=AC•BC=AB•CD， ∴， 则点C到AB的距离是． 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边． 27．B 【解析】 根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 由题意得BC=6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB==10米． 所以大树的高度是10+6=16米． 故选：B． 【点睛】 此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术法求解． 28．C 【解析】 直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米；小正方形的边长是7厘米，则较长直角边为b=5+7=12厘米，最后再根据勾股定理解答即可. 解：∵直角三角形较短的直角边长是5厘米，即a=5厘米 ∴直角三角形较长的直角边长是5+7=12厘米，即b=12厘米 ∴c2=52+122=169. 故答案为：C. 【点睛】 本题考查了直角三角形的勾股定理，确定直角三角形较长直角边的长度是解答本题的关键. 29．D 【解析】 要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程即可． 解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即 矩形的宽是圆柱的高12，即 厘米． 故选D 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 30．D 【解析】 先根据已知条件利用勾股定理可得三角形的直角边（即半圆的直径），再得出半径的值，然后求出圆的面积即可得出答案． 由勾股定理可得，三角形的直角边（即半圆的直径）为：=12， 所以半径r=6， 故S半圆=πr2=18π， 故选D． 【点睛】 此题主要考查了学生对勾股定理和圆面积的理解和掌握，解决问题的关键是掌握半圆面积的算法，以及勾股定理的运用． 31．D 【解析】 连接AC,根据勾股定理求出其长度, ,再减1求相反数即为点P表示的数. 解:如图,连接AC, 在中, , 所以, 所以, 所以点表示的数为. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查在数轴上用勾股定理求无理数长度的线段,熟练掌握该方法是解答关键. 32．D 【解析】 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=， ∴AB=2CD=． ∴AC2+BC2=5 又Rt△ABC的面积为1， ∴AC•BC=1，则AC•BC=2． ∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC•BC=9， ∴AC+BC=3（舍去负值）， ∴AC+BC+AB=3+，即△ABC的周长是+3． 故选D． 33．B 【解析】 根据勾股定理、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理判断． 解：①在直角三角形中，已知两边长为3和4， 当4是直角边时，第三边， 当4是斜边长时，第三边， 则第三边长为5或，本说法错误； ②三角形的三边、、满足，则，本说法错误； ③中，若， 设、、分别为、、， 则， 解得，， 则、、分别为、、， 则是直角三角形，本说法正确； ④中，若， 设、、分别为、、， ，， ， 这个三角形是直角三角形，本说法正确， 故选B． 【点睛】 本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 34．B 【解析】 利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根据全等三角形的判定可证AEM≌CGN，AHN≌CFM，从而得出S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论． 解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD， ∴AH2＋DH2=AD2=21 即（3DH）2＋DH2=21 解得：DH=， ∴AH= 由全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2 ∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN ∵AH∥CF ∴∠HEN=∠FCM ∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF ∴AEM≌CGN，AHN≌CFM ∴S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM ∴S四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH=S正方形EFGH=×= ∵S△FGN=2S△CGN ∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN = S△MNF＋2S△CGN = S△MNF＋S△FGN = S四边形MFGN = 故选B． 【点睛】 此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键． 35．C 【解析】 结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE＝15°，进而两次利用勾股定理可求解． ∵△ABC为等边三角形 ∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE ∴△ABE≌△CAD（SAS） ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°， ∵BG⊥AD， ∴∠BGF＝90°， ∴∠FBG＝30°， ∵FG＝1， ∴BF＝2FG＝2， ∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°， ∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°， ∴∠ABG＝45°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB＝90°， ∴AG=BG==， AB2=AG2+BG2=()2+()2=6． 故选C． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG为等腰直角三角形是解题关键． 36．B 【解析】 由是等边三角形，不是中点可判断①；根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由可判断⑤；设，则，表示和的长可判断②；作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③④． 解：是等边三角形，是的垂直平分线 不是中点，N点不在∠ACB的角平分上， ∴CN不平分∠ACB， ，故①错误； 是等边三角形， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ，故⑤正确； 设，则， ，， 在中，，， ， ，故②正确； 如图，过作于，连接， 在等边中， ， 平分，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ，故④错误； 在和中， ， ， ， ， ， ，故③正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 37．25 【解析】 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可． 如图所示． ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得： x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25． 故答案为25． 【点睛】 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 38． 【解析】 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项． 解：如图： 由图可知：， ∵数轴上点A所表示的数为a， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图是解此题的关键． 39．4 【解析】 设AQ＝DQ＝x，则BQ＝AB﹣AQ＝9﹣x，在Rt△BDQ中，用勾股定理列方程可解得x，从而可得答案． 解：∵BC＝6，D是BC的中点， ∴BD＝BC＝3， ∵△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合， ∴AQ＝DQ， 设AQ＝DQ＝x，则BQ＝AB﹣AQ＝9﹣x， 在Rt△BDQ中， ∴ 解得x＝5， ∴BQ＝9﹣x＝4， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长． 40．北偏东50°（或东偏北40°） 【解析】 由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解． 解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里， ∴， ∴∠APB=90°， ∴， ∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行； 故答案为北偏东50°（或东偏北40°）． 【点睛】 本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 41． 【解析】 利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列式计算即可得解． 解：∵（）2+（）2＝2+3＝5， （）2＝5， ∴（）2+（）2＝（）2， ∴三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积＝××＝． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知二次根式的运算及勾股定理的应用． 42．；（答案不唯一） 【解析】 勾股数：构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，根据勾股数的定义可得答案. 解：勾股数是构成一个直角三角形三边的一组正整数， ；；都是勾股数. 故答案为：； 【点睛】 本题考查的是勾股数的含义，勾股定理的逆定理的理解，掌握勾股数的定义是解题的关键. 43．##90度 【解析】 直接利用勾股定理的逆定理得出三角形的形状进而得出答案． 解：∵三角形三边长之比为， 可设三边长分别为x，x，2x ∵x2＋（x）2＝（2x）2， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形中最大角的度数是90°． 故答案为：90°． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键． 44．4 【解析】 根据勾股定理，求得AC2，后利用两直边乘积的一半计算面积即可． 解：∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4， ∴， ∴， ∴Rt△ABC的面积为， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，整体思想，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 45．10m 【解析】 由题意可得三角形AOB是直角三角形，且AB是斜边，所以由勾股定理即可算得AB的值． 解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ∴∠AOB＝90°， 又∵OA＝8m，OB＝6m， ∴AB＝＝＝10（m）． 故答案为：10m． 【点睛】 本题考查勾股 定理的应用，在判断三角形为直角三角形及三角形直角边和斜边的基础上利用勾股定理求解是解题关键． 46．4.8 【解析】 先利用勾股定理求出AC的长，再由三角形面积公式得到，由此即可得到答案． 解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴， ∵CD⊥AB， ∴， ∴， 故答案为：4.8． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理． 47． 【解析】 设DE=x，则AD=16-x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD即可． 解：如图所示， 设DE=x，则AD= 16- x， 根据题意得： ， 解得：x=12， ∴DE= 12， ∵∠E= 90°， 由勾股定理得： ． 即：CD的长为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法，熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键． 48．45 【解析】 延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， ∴PD2+DB2=PB2， ∴∠PDB=90°， 即△PBD为等腰直角三角形， ∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°， 故答案为：45． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 49．2 【解析】 根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离． Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD＝＝5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故答案为2. 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理进行求解． 50．4.5 【解析】 本题考查的是勾股定理的应用．由题意得三个等腰直角三角形的是以Rt△ABC的三边为边作正方形的四分之一而三个正方形的面积和为18，故阴影部分面积为． 51．1.3． 【解析】 因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示 要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点，连接，则与EF的交点就是所求的点P． 过B作于点M， 在中，，， ∴． ∵，∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m． 52．①②③ 【解析】 ∵∠A+∠B=∠C, ∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°,∠C=90°，∴△ABC是直角三角形； ∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,设∠A=x,则x+2x+3x=180,x=30°,∠C=30°×3=90°，∴△ABC是直角三角形； ∵∠A=90°−∠B,∴∠A+∠B=90°,则∠C=180°−90°=90°，∴△ABC是直角三角形； ∵∠A=∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC不是直角三角形； 故正确的有①，②，③. 53．25 【解析】 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，设，知，在中，由列出关于的方程，解之可得答案． 解：连接， 垂直平分， ， 设，则， 在中， ， ， 解得， ， 故答案为：25． 【点睛】 本题主要考查勾股定理，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理列出方程． 54．5 【解析】 解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小． ∵BD=3，DC=1，∴BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°， ∴∠CBC′=90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45° ∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得：DC′==5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键． 55．（0，）或（0，-6）． 【解析】 设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB=AC，而AB的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM=BM，在直角△CMO中根据勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐标． 解：设点B落在x轴的C点处， 如图所示，当点M在x轴上方， ∵A（-3，0），B（0，4）， ∵将△ABM沿AM折叠， ∴AB=AC， 又OA=3，OB=4， ∴AB=5=AC， ∴点C的坐标为：（2，0）． 设M点坐标为（0，b）， 则CM=BM=4-b， ∵CM2=CO2+OM2， ∴b=， ∴M（0，）， 如图所示，当点M在x轴下方， 设OM=m 由折叠知，AC=AB=5，CM=BM，BM=OB+OM=4+m， ∴OC=8，CM=4+m， 根据勾股定理得，64+m2=（4+m）2， ∴m=6， ∴M（0，-6） 故答案为：（0，）或（0，-6）． 【点睛】 本题考查的是轴对称的性质，坐标与图形，角平分线的性质，等面积法，应用勾股定理构造方程是解题的关键. 56．5或 【解析】 直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质进而得出，，再利用分类讨论得出即可． 解：∵直角三角形的两边长a、b满足， ∴，， ∴第三边的长为：或． 故答案为：5或． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理以及非负数的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 57．## 【解析】 根据题意求出面积标记为S2的正方形边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答． 解：∵正方形ABCD的边长为1， ∴面积标记为S2的正方形边长为， 则S2=（）2==， 面积标记为S3的正方形边长为×=， 则S3=（）2==， ……， 则S2021的值为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键． 58． 【解析】 以CD为边作等边△DCE，连接AE．利用全等三角形的性质证明BD=AE，利用三角形的三边关系可得当A，D，E三点共线时，BD的值最大，过点C作CF⊥AD，垂足为F，利用勾股定理求出CF，AC，再根据等边三角形的性质求出△ABC的面积． 解：以CD为边作等边△DCE，连接AE． ∵BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠BCD=∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE， 在△ADE中，∵AD=3，DE=CD=2， ∴AE≤AD+DE， ∴AE≤5， ∴AE的最大值为5， ∴当A，D，E三点共线时，BD的值最大，且为5， 如图，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵∠CDE=∠BDC=∠E=60°， ∴∠DCF=30°， ∴DF=CD=1， ∴CF=，AF=AD+DF=3+1=4， ∴AC=， ∴△ABC中AC边上的高为=， ∴△ABC的面积为=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，利用三边关系得到BD最大时的情形．
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