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第30讲 投影与视图（2考点+15题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）
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这是一份第30讲 投影与视图（2考点+15题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用），文件包含第30讲投影与视图讲义原卷版docx、第30讲投影与视图讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第30讲 投影与视图
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158388504" \l "_Tc157927020" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc158388505" 考点一 图形的投影
\l "_Tc158388506" 题型01 平行投影
\l "_Tc158388507" 题型02 中心投影
\l "_Tc158388508" 题型03 正投影
\l "_Tc158388509" 考点二 几何体的三视图
\l "_Tc158388510" 题型01 判断简单几何体三视图
\l "_Tc158388511" 题型02 判断简单组合体三视图
\l "_Tc158388512" 题型03 判断非实心几何体三视图
\l "_Tc158388513" 题型04 画简单几何体的三视图
\l "_Tc158388514" 题型05 画简单组合体的三视图
\l "_Tc158388515" 题型06 由三视图还原几何体
\l "_Tc158388516" 题型07 已知三视图求边长
\l "_Tc158388517" 题型08 已知三视图求侧面积或表面积
\l "_Tc158388518" 题型09 求小立方块堆砌图形的表面积
\l "_Tc158388519" 题型10 已知三视图求体积
\l "_Tc158388520" 题型11 求几何体视图的面积
\l "_Tc158388521" 题型12 由三视图，判断小立方体的个数
考点一 图形的投影
投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）
平行投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
图1 图2
【小技巧】
1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例.
2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）
3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：，利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等.
4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.
中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
中心投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，
离点光源远的物体它的影子长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
图3 图4
【小技巧】
1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.
正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.
正投影的分类：
1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.
3）立体图形的正投影
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
投影的判断方法：
1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．
2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．
题型01 平行投影
【例1】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤B．②④①③⑤C．⑤④①③②D．⑤③①④②
【变式1-1】（2021·河北保定·统考二模）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·吉林松原·统考二模）如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为 m．
【变式1-3】（2022·浙江温州·统考模拟预测）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1:0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？
题型02 中心投影
【例2】（2021·安徽淮南·校联考模拟预测）下列现象中，属于中心投影的是（ ）
A．白天旗杆的影子B．阳光下广告牌的影子
C．灯光下演员的影子D．中午小明跑步的影子
【变式2-1】（2022·北京·一模）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2020·重庆南岸·一模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P2,2处，木杆AB两端的坐标分别为0,1，3,1．则木杆AB在x轴上的影长CD为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2-4】（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少32米B．增加32米C．减少53米D．增加53米
【变式2-5】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD． 当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部． 已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．
(1)标出小华站在P处时，在路灯AC下的影子．
(2)求两个路灯之间的距离．
(3)当小华走到路灯BD的底部时，他在路灯AC下的影长是多少？
题型03 正投影
【例3】（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在F'处，点C落在C'处，AE=EF，AC=BC=CE=90cm，DF'=70cm．
(1)BD的长为______．
(2)如图2，当AB=54cm时．
①求∠ACB的度数；（参考数据：sin17.5°≈0.30，tan16.7°≈0.30，sin36.9°≈0.60，tan31.0°≈0.60）
②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．
考点二 几何体的三视图
三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，
①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
三视图之间的关系：
1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.
画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体
1）确定主视图的位置，画出主视图；
2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
由三视图确定几何体的方法：
1）由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
① 根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
② 从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③ 熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.
利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积.
题型01 判断简单几何体三视图
【例1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021·河南驻马店·校联考一模）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【变式1-2】（2022·江苏无锡·统考一模）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·江西上饶·校联考一模）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2023·河北沧州·校考一模）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
题型02 判断简单组合体三视图
【例2】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022·山东德州·统考一模）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·海南三亚·一模）如图是5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ）
A．B．C．D．
题型03 判断非实心几何体三视图
【例3】（2022·辽宁抚顺·统考二模）如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2021·安徽宿州·统考二模）如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）．
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2021·山东济南·统考一模）如图的几何体是一个空心圆柱，以下给出这个几何体的两种视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2023·山东威海·统考一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
题型04 画简单几何体的三视图
【例4】（2023·广东汕头·校联考二模）图中几何体的三视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·贵州遵义·统考三模）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的有（ ）
A．1个B．2个C．3D．4
题型05 画简单组合体的三视图
【例5】（2022·山东青岛·二模）如图是由一些棱长均为1个单位长度的小正方体组合成的简单几何体．
(1)画该几何体的主视图、左视图：
(2)若给该几何体露在外面的面（不含底图）都喷上红漆，则需要喷漆的面积是 ；
(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加 块小正方体．
【变式5-1】（2021·河北·模拟预测）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同
【变式5-2】（2023·全国·一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．
(1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．
(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．
【变式5-3】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是2m．
(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（π取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）
【变式5-4】（2020浙江宁波·统考一模）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）这个几何体模型的名称是 ．
（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．
（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．
题型06 由三视图还原几何体
【例6】（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．球C．圆锥D．正四棱柱
【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．四棱柱
【变式6-2】（2022·河南郑州·一模）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．B．C．D．
题型07 已知三视图求边长
【例7】（2022·广东珠海·校考一模）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（ ）
A．2B．3C．2D．3
【变式7-1】（2022·北京·校考一模）如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（ ）
A．2B．3C．3D．323
【变式7-2】（2020·山东聊城·统考一模）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 .（结果保留π）
【变式7-3】（2022·山东青岛·统考一模）三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为 cm．
题型08 已知三视图求侧面积或表面积
【例8】（2021·山东临沂·统考一模）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2
【变式8-1】（2020·广东茂名·校联考模拟预测）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主=x2+3x,S左=x2+x,则S俯=（ ）
A．x2+3x+2B．x2+2x+1C．x2+4x+3D．2x2+4x
【变式8-2】（2021·宁夏吴忠·统考模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
题型09 求小立方块堆砌图形的表面积
【例9】（2020·江苏南京·统考一模）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是 ．
【变式9-1】（2021·山东青岛·统考一模）如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的边长为1cm的正方形孔（阴影部分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是 cm2．
【变式9-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图是由10个边长为2cm的小正方体组合成的简单几何体．
(1)画出该几何体从三个方向看到的形状图；
(2)该几何体的表面积（含底面）是______．
【变式9-3】（2024·河南平顶山·统考一模）把边长为1个单位的6个相同正方体摆成如图的形式．
（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）直接写出该几何体的表面积为______；
（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 ______个小正方体．
题型10 已知三视图求体积
【例10】（2023·河北·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12πB．18πC．24πD．30π
【变式10-1】（2021·内蒙古包头·统考二模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1B．2C．2D．4
【变式10-2】（2022·河北石家庄·统考二模）如图是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式10-3】（2022·山东青岛·统考一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
【变式10-4】（2022·云南德宏·统考模拟预测）如图，图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的等腰三角形．若主视图腰长为6，俯视图是直径等于4的圆，则这个几何体的体积为 ．
题型11 求几何体视图的面积
【例11】（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为 （ ）
A．12B．15C．20D．60
【变式11-1】（2021·贵州毕节·统考一模）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）
A．4B．2C．3D．23
【变式11-2】（2022·山西·三模）如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式11-3】（2020·江苏无锡·统考一模）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是（ ）．
A．主视图的面积为4B．左视图的面积为4
C．俯视图的面积为3D．三种视图的面积都是4
题型12 由三视图，判断小立方体的个数
【例12】（2023·河南驻马店·统考一模）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 .
【变式12-1】（2022·江苏南通·统考二模）如图是由n个相同的小正方体组合成的一个几何体的三视图，则n的值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【变式12-2】（2023·湖北恩施·统考一模）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块
【变式12-3】（2022·山西大同·统考二模）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式12-4】．（2022·河北·模拟预测）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体至少有 个小正方体组成，至多又是 个．
【变式12-5】（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
考点要求
新课标要求
命题预测
图形的投影
通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念.
会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体.
了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型.
通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.
本单元内容以考查几何体的三视图和正方体的展开图为主，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为3分，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择题出现的可能性较大，一般只考察基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用.
几何体的三视图
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第30讲 投影与视图
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158388504" \l "_Tc157927020" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc158388505" 考点一 图形的投影
\l "_Tc158388506" 题型01 平行投影
\l "_Tc158388507" 题型02 中心投影
\l "_Tc158388508" 题型03 正投影
\l "_Tc158388509" 考点二 几何体的三视图
\l "_Tc158388510" 题型01 判断简单几何体三视图
\l "_Tc158388511" 题型02 判断简单组合体三视图
\l "_Tc158388512" 题型03 判断非实心几何体三视图
\l "_Tc158388513" 题型04 画简单几何体的三视图
\l "_Tc158388514" 题型05 画简单组合体的三视图
\l "_Tc158388515" 题型06 由三视图还原几何体
\l "_Tc158388516" 题型07 已知三视图求边长
\l "_Tc158388517" 题型08 已知三视图求侧面积或表面积
\l "_Tc158388518" 题型09 求小立方块堆砌图形的表面积
\l "_Tc158388519" 题型10 已知三视图求体积
\l "_Tc158388520" 题型11 求几何体视图的面积
\l "_Tc158388521" 题型12 由三视图，判断小立方体的个数
考点一 图形的投影
投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）
平行投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
图1 图2
【小技巧】
1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例.
2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）
3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：，利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等.
4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.
中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
中心投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，
离点光源远的物体它的影子长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
图3 图4
【小技巧】
1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.
正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.
正投影的分类：
1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.
3）立体图形的正投影
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
投影的判断方法：
1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．
2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．
题型01 平行投影
【例1】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤B．②④①③⑤C．⑤④①③②D．⑤③①④②
【变式1-1】（2021·河北保定·统考二模）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·吉林松原·统考二模）如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为 m．
【变式1-3】（2022·浙江温州·统考模拟预测）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1:0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？
题型02 中心投影
【例2】（2021·安徽淮南·校联考模拟预测）下列现象中，属于中心投影的是（ ）
A．白天旗杆的影子B．阳光下广告牌的影子
C．灯光下演员的影子D．中午小明跑步的影子
【变式2-1】（2022·北京·一模）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2020·重庆南岸·一模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P2,2处，木杆AB两端的坐标分别为0,1，3,1．则木杆AB在x轴上的影长CD为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2-4】（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少32米B．增加32米C．减少53米D．增加53米
【变式2-5】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD． 当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部． 已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．
(1)标出小华站在P处时，在路灯AC下的影子．
(2)求两个路灯之间的距离．
(3)当小华走到路灯BD的底部时，他在路灯AC下的影长是多少？
题型03 正投影
【例3】（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在F'处，点C落在C'处，AE=EF，AC=BC=CE=90cm，DF'=70cm．
(1)BD的长为______．
(2)如图2，当AB=54cm时．
①求∠ACB的度数；（参考数据：sin17.5°≈0.30，tan16.7°≈0.30，sin36.9°≈0.60，tan31.0°≈0.60）
②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．
考点二 几何体的三视图
三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，
①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
三视图之间的关系：
1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.
画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体
1）确定主视图的位置，画出主视图；
2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.
由三视图确定几何体的方法：
1）由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
① 根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
② 从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③ 熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.
利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积.
题型01 判断简单几何体三视图
【例1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021·河南驻马店·校联考一模）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【变式1-2】（2022·江苏无锡·统考一模）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·江西上饶·校联考一模）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2023·河北沧州·校考一模）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
题型02 判断简单组合体三视图
【例2】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022·山东德州·统考一模）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·海南三亚·一模）如图是5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ）
A．B．C．D．
题型03 判断非实心几何体三视图
【例3】（2022·辽宁抚顺·统考二模）如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2021·安徽宿州·统考二模）如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）．
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2021·山东济南·统考一模）如图的几何体是一个空心圆柱，以下给出这个几何体的两种视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2023·山东威海·统考一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
题型04 画简单几何体的三视图
【例4】（2023·广东汕头·校联考二模）图中几何体的三视图是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·贵州遵义·统考三模）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的有（ ）
A．1个B．2个C．3D．4
题型05 画简单组合体的三视图
【例5】（2022·山东青岛·二模）如图是由一些棱长均为1个单位长度的小正方体组合成的简单几何体．
(1)画该几何体的主视图、左视图：
(2)若给该几何体露在外面的面（不含底图）都喷上红漆，则需要喷漆的面积是 ；
(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，则最多可以再添加 块小正方体．
【变式5-1】（2021·河北·模拟预测）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同
【变式5-2】（2023·全国·一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．
(1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．
(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．
【变式5-3】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是2m．
(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（π取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）
【变式5-4】（2020浙江宁波·统考一模）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）这个几何体模型的名称是 ．
（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．
（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．
题型06 由三视图还原几何体
【例6】（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．球C．圆锥D．正四棱柱
【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．四棱柱
【变式6-2】（2022·河南郑州·一模）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．B．C．D．
题型07 已知三视图求边长
【例7】（2022·广东珠海·校考一模）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（ ）
A．2B．3C．2D．3
【变式7-1】（2022·北京·校考一模）如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（ ）
A．2B．3C．3D．323
【变式7-2】（2020·山东聊城·统考一模）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 .（结果保留π）
【变式7-3】（2022·山东青岛·统考一模）三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为 cm．
题型08 已知三视图求侧面积或表面积
【例8】（2021·山东临沂·统考一模）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2
【变式8-1】（2020·广东茂名·校联考模拟预测）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主=x2+3x,S左=x2+x,则S俯=（ ）
A．x2+3x+2B．x2+2x+1C．x2+4x+3D．2x2+4x
【变式8-2】（2021·宁夏吴忠·统考模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
题型09 求小立方块堆砌图形的表面积
【例9】（2020·江苏南京·统考一模）用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是 ．
【变式9-1】（2021·山东青岛·统考一模）如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的边长为1cm的正方形孔（阴影部分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是 cm2．
【变式9-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图是由10个边长为2cm的小正方体组合成的简单几何体．
(1)画出该几何体从三个方向看到的形状图；
(2)该几何体的表面积（含底面）是______．
【变式9-3】（2024·河南平顶山·统考一模）把边长为1个单位的6个相同正方体摆成如图的形式．
（1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）直接写出该几何体的表面积为______；
（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 ______个小正方体．
题型10 已知三视图求体积
【例10】（2023·河北·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A．12πB．18πC．24πD．30π
【变式10-1】（2021·内蒙古包头·统考二模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．1B．2C．2D．4
【变式10-2】（2022·河北石家庄·统考二模）如图是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式10-3】（2022·山东青岛·统考一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
【变式10-4】（2022·云南德宏·统考模拟预测）如图，图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的等腰三角形．若主视图腰长为6，俯视图是直径等于4的圆，则这个几何体的体积为 ．
题型11 求几何体视图的面积
【例11】（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为 （ ）
A．12B．15C．20D．60
【变式11-1】（2021·贵州毕节·统考一模）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）
A．4B．2C．3D．23
【变式11-2】（2022·山西·三模）如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式11-3】（2020·江苏无锡·统考一模）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是（ ）．
A．主视图的面积为4B．左视图的面积为4
C．俯视图的面积为3D．三种视图的面积都是4
题型12 由三视图，判断小立方体的个数
【例12】（2023·河南驻马店·统考一模）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 .
【变式12-1】（2022·江苏南通·统考二模）如图是由n个相同的小正方体组合成的一个几何体的三视图，则n的值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【变式12-2】（2023·湖北恩施·统考一模）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块
【变式12-3】（2022·山西大同·统考二模）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式12-4】．（2022·河北·模拟预测）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体至少有 个小正方体组成，至多又是 个．
【变式12-5】（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
考点要求
新课标要求
命题预测
图形的投影
通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念.
会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体.
了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型.
通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.
本单元内容以考查几何体的三视图和正方体的展开图为主，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为3分，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择题出现的可能性较大，一般只考察基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用.
几何体的三视图
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