2024年北京市人大附中朝阳学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年北京市人大附中朝阳学校中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.右图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A. 长方体
B. 三棱柱
C. 圆锥
D. 圆柱
2.2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元，13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元，将39500用科学记数法表示应为( )
A. 395×102B. 3.95×104C. 3.95×103D. 0.395×105
3.不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是( )
A. 23B. 34C. 25D. 35
4.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC=60°，∠BOE=40°，则∠DOE的度数为( )
A. 60°
B. 40°
C. 20°
D. 10°
5.正六边形的外角和是( )
A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°
6.已知关于x的方程x2−2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值为( )
A. −1B. 0C. 2D. 1
7.图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90°，连接CE.给出下面四个结论：①AE+CE≥ 2a；②CE≤ 5−12a；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE=a时，tan∠ABE=12.上述结论中，所有正确结论的序号为( )
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若 x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
10.分解因式：3x2−12= ．
11.方程3x+2=2x的解为 ．
12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=6x的图象经过点A(2,m)和点B(−2,n)，则m+n= ．
13.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO=5m，树影AC=3m，树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m，则树的高度AB长是______米．
14.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接AC，AD.若∠BAC=40°，则∠D= ______°.
15.用一组a，b，m的值说明“若amb”是错误的，这组数可以是a= ______，b= ______，m= ______．
16.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分钟)的数据，统计如下：
早高峰期间，乘坐 (填“A”，“B”或“C”)线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：6cs45°− 18+|−5|−(π−2)0．
18.(本小题8分)
解不等式组：╔╔\ begin{cases}x+2<2x-1,\\\dfrac{3x-5}{2}
19.(本小题8分)
已知x2−x−3=0，求代数式(x+2)(x−2)−x(2−x)的值．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC于点D(保留作图痕迹)；
(2)以D为圆心，DC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，DE．
①∠BEC= ______°；
②写出图中一个与∠CBE相等的角______．
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE/​/DC，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE=5，csB=45，求BF和AD的长．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(0,1)，(−2,2)，与x轴交于点A．
(1)求该一次函数的表达式及点A的坐标；
(2)当x≥2时，对于x的每一个值，函数y=2x+m的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围．
23.(本小题8分)
列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势.某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍.要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．
(1)求证：△ACD是等边三角形；
(2)若点F是AC的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．
25.(本小题8分)
学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况.在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2(单位：克)．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录y1，y2与x的几组对应值如下：
(1)在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象；
(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：y1=−0.04x2+bx+c.场景B的图象是直线的一部分y2与x之间近似满足一次函数y2=kx+c(k≠0).则b= ______，c= ______，k= ______；
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xA ______xB(填“>”，“=”或“<”)．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，点M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)上任意两点．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)若x1=a+1，x2=a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
(3)若对于m27.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α(45°<α<90°)D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE.将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F．
(1)①依题意补全图形；
②求证：∠B=∠AFE；
(2)连接CF，DF，用等式表示线段CF，DF之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．

(1)若点P在直线y=2x上；
①若点P的坐标为(1,2)，则Q1(0,1)，Q2(1,0)，Q3(− 22,− 22)中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是______；
②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标xP的取值范围；
(2)已知点A(2,32)，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由几何体的主视图和左视图都是长方形，可知该几何体是柱体，又因为俯视图是长方形，故该几何体是长方体．
故选：A．
根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个长方形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
2.【答案】B
【解析】解：39500=3.95×104，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是32+3=35，
故选：D．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠BOD=∠AOC=60°，∠BOE=40°，
∴∠DOE=∠BOD−∠BOE=60°−40°=20°．
故选：C．
由对顶角的性质得到∠BOD度数，而∠BOE=40°，即可求出∠DOE的度数．
本题考查对顶角，角的计算，关键是掌握对顶角的性质．
5.【答案】C
【解析】解：正六边形的外角和是360°．
故选：C．
根据任何多边形的外角和是360°即可求出答案．
本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360°，外角和与多边形的边数无关．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=(−2)2−4×1×a=0，
解得a=1．
故选：D．
根据判别式的意义得到Δ=(−2)2−4×1×a=0，然后解一次方程即可
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
7.【答案】C
【解析】解：由图1可设y=kx+b(k,b为常数，且k<0，b>0)，由图2可设z=my(m为常数，m>0)，
将y=kx+b代入z=my得：z=m(kx+b)=mkx+mb，
∴z与x的函数关系为一次函数关系，
∵k<0，b>0，m>0，
∴mk<0，mb>0，
∴z与x的函数图象过一、二、四象限．
故选：C．
由图1可设y=kx+b(k,b为常数，且k<0，b>0)，由图2可设z=my(m为常数，m>0)，将y=kx+b代入z=my得z=mkx+mb，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．
本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：①连接AC，△ABC为等腰直角三角形，AC= 2a，所以AE+CE≥ 2a正确；
②连接CO，OC= (12a)2+a2= 5a2，CE最小= 5a2−12a= 5a−a2，故CE≥ 5−12a；故②错误；
③当CE与圆O相切时，∠BCE最大，此时∠BCE=2∠OCB，若∠BCE=60°，则∠BCO=30°，tan30= 33，但此时tan∠BCO=12，故③错误；
④当CE=a时，CE与圆O相切，tan∠ABE=tan∠BCO=12，故④正确．
故选：C．
根据正方形性质和切线的性质定理逐项分析判断即可．
本题考查了切线的性质定理，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】解：由题意可得 x−1≥0，
∴x−1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
10.【答案】3(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
本题考查提公因式与公式法相结合的因式分解．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
原式提取公因式3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)．
故答案为：3(x+2)(x−2)．
11.【答案】x=4
【解析】解：3x+2=2x，
3x=2(x+2)，
解得：x=4，
检验：当x=4时，x(x+2)≠0，
∴x=4是原方程的根，
故答案为：x=4．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
12.【答案】0
【解析】解：∵反比例函数y=6x的图象经过点A(2,m)和点B(−2,n)，
∴2m=−2n，
∴m=−n，
∴m+n=0．
故答案为：0．
根据反比例函数系数k=xy得到2m=−2n，即m=−n，即可得到m+n=0．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数系数k=xy得到2m=−2n是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵AB//OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴ABOP=ACPC，
∴AB5=33+4.5，
∴AB=2(m)，
答：树的高度AB长是2m，
故答案为：2．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
14.【答案】50
【解析】解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=40°，
∴∠B=90°−∠CAB=50°，
∴∠ADC=∠B=50°，
故答案为：50．
连接BC.利用三角形内角和定理求出∠B，即可解决问题．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】2(答案不唯一) 3(答案不唯一) 4(答案不唯一)
【解析】解：若a=2，b=3，m=4时，
那么ma=4×2=8，mb=4×3=12，
此时a那么原结论错误，
故答案为：2(答案不唯一)；3(答案不唯一)；4(答案不唯一)．
根据不等式的性质即可求得答案．
本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查可能性的大小，难度不大．
分别计算出A，B，C三个线路的公交车用时不超过45分钟的可能性大小即可得．
【解答】
解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为59+151+166500=0.752，
B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为50+50+122500=0.444，
C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为45+265+167500=0.954，
∵0.954>0.752>0.444，
∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大．
故答案为：C．
17.【答案】解：6cs45°− 18+|−5|−(π−2)0
=6× 22−3 2+5−1
=3 2−3 2+5−1
=4．
【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：x+2<2x−1①3x−52解不等式①得：x>3，
解不等式②得：x<5，
则不等式组的解集为3【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(x+2)(x−2)−x(2−x)
=x2−4−(2x−x2)
=x2−4−2x+x2
=2x2−2x−4，
∵x2−x−3=0，
∴x2−x=3，
则原式=2(x2−x)−4=2×3−4=2．
【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】90 ∠BCF(答案不唯一)
【解析】解：(1)如图，AD为所作；
(2)①∵AB=AC，AD⊥BC，
∴DB=DC，AD平分∠BAC，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠BEC=90°；
故答案为：90；
②∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠CFB=∠BEC=90°，
∴∠CBE=∠BCF，
∵∠CBE+∠BCE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE=∠CAD=∠BAD=∠BCF．
故答案为：∠BCF(答案不唯一)．
(1)利用基本作图，作BC的垂直平分线得到AD；
(2))①根据等腰三角形的性质得到DB=DC，则BC为⊙O的直径，然后根据圆周角定理得到∠BEC=90°；
②先利用AB=AC得到∠ABC=∠ACB，再根据圆周角定理得到∠CFB=∠BEC=90°，根据等角的余角相等得到∠CBE=∠CAD=∠BAD=∠BCF．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD/​/CE，
∵AE/​/DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵csB=45=BFBE，BE=5，
∴BF=45BE=45×5=4，
∴EF= BE2−BF2= 52−42=3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE=90°，
∴EC=EF=3，
由(1)得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=3．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．
(1)证AD/​/CE，再由AE/​/DC，即可得出结论；
(2)先由锐角三角函数定义求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得EC=EF=3，最后由平行四边形的性质求解即可．
22.【答案】解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(0,1)，(−2,2)，
∴b=1−2k+b=2，
解得k=−12b=1，
该一次函数的表达式为y=−12x+1．
令y=0，得0=−12x+1，
∴x=2，
∴A(2,0)．
(2)当x≥2时，对于x的每一个值，函数y=2x+m的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴2x+m>−12x+1，
∴m>−4．

【解析】(1)先利用待定系数法求出函数解析式为y=−12x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；
(2)当函数y=x+n与y轴的交点在点A(含A点)上方时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=2x+m的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
23.【答案】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，
根据题意得：60004x−60005x=2，
解得：x=150，
经检验，x=150是所列方程的解，且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．
【解析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OC，如图：

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，
∴∠DAE=∠CAE，
∵OC=OB，点E为OB的中点，
∴OE=12OB=12OC，
在Rt△OCE中，cs∠COE=OEOC=12，
∴∠COE=60°，
∴∠CAE=12∠COE=30°，
∴∠DAE=∠CAE=30°，
∴∠CAD=∠DAE+∠CAE=60°，
∴△ABC为等边三角形．
(2)解：由(1)可知：△ACD是等边三角形，∠CAE=30°，
∴∠D=60°，
∵点F为弧AC的中点，
∴∠CAF=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，
∵点E为OB的中点，
∴OE=1，
∴AE=OA+OE=2+1=3，
在Rt△ACE中，cs∠CAE=AEAC，
∴AC=AEcs∠CAE=3cs30∘=2 3，
在Rt△ACG中，AC=2 3，∠CAF=30°，
∴CG=12AC= 3．
【解析】(1)连接OC，先证AB是CD的垂直平分线，从而得AC=AD，∠DAE=∠CAE，在Rt△OCE中，利用锐角三角函数可求出∠COE=60°，进而可得∠DAE=∠CAE=60°，则∠CAD=60°，据此可得出结论；
(2)先利用(1)得结论证明∠CAF=30°，然后求出AE=3，进而求出AC=2 3，最后在Rt△ACG中根据AC=2 3，∠CAF=30°可得CG的长．
此题主要考查了垂径定理及其推论，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，理解垂径定理及其推论，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数进行计算是解答此题的关键．
25.【答案】−0.1 25 −1 <
【解析】解：(1)由题意，作图如下．
(2)由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1=−0.04x2+bx+c．
又点(0,25)，(10,20)在函数图象上，
∴c=25−0.04×102+10b+c=20．
解得：b=−0.1c=25．
∴场景A函数关系式为y1=−0.04x2−0.1x+25．
对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2=kx+c．
又(0,25)，(10,15)在函数图象上，
∴c=2510k+c=15，
解得：c=25k=−1，
∴场景B函数关系式为y2=−x+25．
故答案为：0.1，25，−1；
(3)由题意，当y=4时，
场景A中，xA=20，
场景B中，4=−xB+25，
解得：xB=21，
∴xA故答案为：<．
(1)依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
(2)根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
(3)依据题意，分别求出当y=4时x的值，即可得出答案．
本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
26.【答案】解：(1)抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)的对称轴为：x=−−2a2a=1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
(2)∵a>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=1；
∴M(x1,y1)，N(x2,y2)都在对称轴右侧，
∵当x>1时，y随x的增大而增大，且x1∴y1(3)∵m∴2m+12∵y10，
∴M(x1,y1)距离对称轴更近，x1∴2m+12>1
解得：m>12．
【解析】(1)更近抛物线对称轴公式求出即可；
(2)根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；
(3)根据二次函数图象上点的坐标特征，分析MN中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
27.【答案】解：(1)①解：如图所示，

②证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=α，∠B+∠BAD=90°，
∵将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，
∴∠EAF=α=∠BAD，
∵EF⊥AE，
∴∠EAF+∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE；
(2)解：DF=CF，理由如下：
如图，延长AE至H，使EH=AE，连接DH，
∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
又∵AE=EH，∠AEB=∠HED，
∴△ABE≌△HDE(SAS)，
∴∠BAE=∠AHD，AB=DH=AC，
∵AE=EH，AE⊥EF，
∴AF=FH，
∴∠FAE=∠FHE=α，
∵∠BAC=2α，
∴∠BAE+∠CAF=α=∠AHD+∠FHD，
∴∠CAF=∠FHD，
∴△ACF≌△HDF(SAS)，
∴DF=CF．
【解析】(1)①根据题意画出图形，即可求解；
②由余角的性质可得结论；
(2)由“SAS”可证△ABE≌△HDE，可得∠BAE=∠AHD，AB=DH=AC，由“SAS”可证△ACF≌△HDF，可得CF=DF．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28.【答案】Q1，Q3．
【解析】在点Q1，Q2(0,1)，Q3(1,0)中，点P关于⊙O的关联点是 (1)解：如图所示，
PQ1连线的中点在⊙O的内部，PQ2的中点的纵坐标为1，则点P，Q3 关于y=1对称点P关于⊙O的关联点是Q1，Q3，
故答案为：Q1，Q3．
②如图所示，点P在线段RS和UW上，
设R(m,2m)，
在Rt△OHR中，m2+(2m)2=32，
解得m=3 55或m=−3 55(舍)，
∴xR=3 55；
同理xS= 55，xU=− 55，xW=−3 55，
∴−3 55≤p<− 55或 55(2)依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，如图所示，
∵AM≤1，
则M在半径为1的⊙A上以及圆内，M关于⊙O的关联点N，
∴MN的最大值为OM+ON=3+1=4，
如图所示，当M在线段OA上时，MN取最小值，
∴OA= 22+(32)2=52，
设MN=GH=x，则GT=HT=12x，
∴MH2=(32)2−(1+12x)2，
∴NG2=12−(1−12x)2，
∴(32)2−(1+12x)2=12−(1−12x)2，
解得x=58，
∴58≤MN≤4．
(1)①根据新定义，画出图形，进而即可求解；
②设y=2x与⊙O交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B，根据勾股定理得出x2+y2=1，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出
p=3 55，同理可得p的最小值为−3 55 即可求解；
(2)依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN的最值，即可求解．
本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．x(分钟)
0
5
10
15
20
…
y1(克)
25
23.5
20
14.5
7
…
y2(克)
25
20
15
10
5
…