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2024九年级数学下册第7章锐角函数综合素质评价试卷（附解析苏科版）
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这是一份2024九年级数学下册第7章锐角函数综合素质评价试卷（附解析苏科版），共18页。
第7章综合素质评价 一、选择题(每题3分，共24分) 1．sin 30°的值等于( ) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3) 2．【母题：教材P102例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝4，AB＝5，则sin A的值为( ) A．eq \f(3,5) B．eq \f(5,3) C．eq \f(4,5) D．eq \f(3,4) 3．【2023·益阳一中月考】已知α为锐角，且sin α＝eq \f(\r(3),2)，则α的度数为( ) A．30° B．60° C．45° D．75° 4．【2023·苏州中学月考】化简eq \r((sin 28°－cos 28°)2)等于( ) A．sin 28°－cos 28° B．0 C．cos 28 °－sin 28° D．以上都不对 5．【2023·长春】学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示，已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC＝25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32 m(即AC＝32 m)，则彩旗绳AB的长度为( ) A．32sin 25° m B．32cos 25° m C．eq \f(32,sin 25°) m D．eq \f(32,cos 25°) m 6．【2022·贵港】如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是( ) A．8(3－eq \r(3))m B．8(3＋eq \r(3))m C．6(3－eq \r(3))m D．6(3＋eq \r(3))m 7．【2023·连云港新区新海实验中学月考】如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE.将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是( ) A．4 B．5 C．eq \r(13) D．eq \r(15) 8．【2023·扬州仪征一模】如图，△ABC中，∠B＝90°，tan A＝eq \f(1,2)，点D是AB的中点，点E在线段AC上运动(不与点A，C重合)，若eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)，则eq \f(AE,AC)的值为( ) A．eq \f(1,2)或eq \f(3,10) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,2)或eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)或eq \f(5,8) 二、填空题(每题3分，共30分) 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cos A的值是________． 10．如图，点A(3，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α， tan α＝eq \f(3,2)，则t的值是________． 11．【2022·柳州】如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α， sin α＝eq \f(3,5)，堤坝高BC＝30 m，则迎水坡坡面AB的长度为________m. 12．【2023·永州四中月考】如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________. 13．【2023·常州实验中学一模】如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝________. 14．【母题：教材P112习题T4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，tan∠ABD＝eq \f(3,4)，则线段AB的长为________． 15．如图，由小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D不在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则∠BDC的正切值是________． 16．【2023·广西】如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 17．【2023·枣庄】如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶，当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆 AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时 ∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号) 18.如图，将Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD，O为斜边AB的中点，连接DO并延长DO使DO＝OE，连接AE，已知AC＝9，BC＝3，则cos∠CAE＝________. 三、解答题(19～22题每题6分，23题8分，24题10分，25～26题每题12分，共66分) 19．【母题：教材P106习题T1】计算： (1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°； (2)eq \r(3)－(π－3)0－10sin 30°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2). 20．【母题：教材P119复习题T5】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b； (2)已知a＝eq \r(2)，∠A＝45°，求∠B，b，c. 21．【2023·邵阳五中月考】如图，△ABC中，∠A＝30°，AC＝2eq \r(3)，tan B＝eq \f(\r(3),2)，求AB的长． 22．【2023·无锡锡山高级中学月考】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足 ∠PEC＝∠DAP. (1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P；(不要求写作法，但保留作图痕迹) (2)若CE＝1，试确定tan∠EPC的值． 23．【2023·内蒙古】为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A，B点在A点的南偏东25°方向3eq \r(2) km处， C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°. (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； (2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)． 24．【2023·扬州】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝eq \f(1,2)∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点． (1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若sin B＝eq \f(3,5)，⊙O的半径为3，求AC的长． 25.多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． 【基础掌握】(1)在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6.求▱ABCD的面积； 【灵活运用】(2)在△ABC中，AB＝20，AC＝15，sin B＝eq \f(3,5)，求△ABC的面积． 【迁移提升】(3)如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形的顶点上，请直接写出sin B的值． 26.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－eq \f(4,3)x＋4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连接AC，且cos∠CAB＝eq \f(\r(17),17). (1)求抛物线表达式； (2)点P是抛物线上的一点．当点P在第一象限时，过点P作 PD∥y轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，连接EP，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标． 答案 一、1．A 2．C 【点拨】由题意可知，∠C＝90°，因为AB＝5，BC＝4，所以sin A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5). 3．B 4．C 5．D 【点拨】如图，由题意得，AC＝32 m，∠BAC＝25°， BC⊥AC. 在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝eq \f(AC,AB)，∴AB＝eq \f(AC,cos∠BAC)＝eq \f(32,cos 25°) m，故选D. 6．A 【点拨】设CD＝x m，在Rt△ADC中，∠A＝45°， ∴CD＝AD＝x m．∴BD＝(16－x)m. 在Rt△BCD中，∠B＝60°，∴tanB＝eq \f(CD,BD)，即eq \f(x,16－x)＝eq \r(3)，解得x＝8(3－eq \r(3))．故选A. 7．D 【点拨】 过点A作AN⊥DF于点N，如图． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝AD，∠ABE＝∠D. 设AD＝4. ∵F是CD的中点， ∴DF＝FC＝2. 根据翻折的性质可知AB＝AF， ∴△AFD是等腰三角形． ∵AN⊥DF， ∴DN＝NF＝1. ∴在Rt△AND中，AN＝eq \r(AD2－DN2)＝eq \r(42－12)＝eq \r(15). ∴tan D＝eq \f(AN,ND)＝eq \f(\r(15),1)＝eq \r(15). ∴tan∠ABE＝eq \r(15). 故选D. 8．A 【点拨】∵D为AB的中点，eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)， ∴DE＝eq \f(1,2)BC. 如图，取AC的中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，DE1＝eq \f(1,2)BC，∴eq \f(AE1,AC)＝eq \f(1,2). 如图，在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则△DE1E2是等腰三角形， 过点D作DM⊥AC， 则ME1＝ME2，∠MDE1＋∠ME1D＝90°. ∵∠B＝90°，DE1∥BC，∴∠ADE1＝90°. ∴∠A＋∠AE1D＝90°. ∴∠A＝∠MDE1. ∵tan A＝eq \f(1,2)， ∴tan∠MDE1＝eq \f(1,2). 设ME1＝ME2＝x，则DM＝2x， ∴DE1＝DE2＝eq \r(5)x，E1E2＝2x. ∵DE1＝eq \f(1,2)BC，∴BC＝2eq \r(5)x. ∵tan A＝eq \f(1,2)，∴AB＝4eq \r(5)x.∴AC＝10x. ∵eq \f(AE1,AC)＝eq \f(1,2)， ∴AE1＝5x. ∴AE2＝AE1－E1E2＝5x－2x＝3x. ∴eq \f(AE2,AC)＝eq \f(3x,10x)＝eq \f(3,10). 综上，eq \f(AE,AC)的值为eq \f(1,2)或eq \f(3,10). 故选A. 二、9．eq \f(5,13) 10．eq \f(9,2) 【点拨】如图，过点A作AB⊥x轴于点B. ∵点A(3，t)在第一象限， ∴AB＝t，OB＝3. ∴tan α＝eq \f(AB,OB)＝eq \f(t,3)＝eq \f(3,2).∴t＝eq \f(9,2). 11．50 【点拨】根据题意得∠ACB＝90°，sin α＝eq \f(3,5)，∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(3,5).∵BC＝30 m，∴eq \f(30,AB)＝eq \f(3,5)，解得AB＝50 m，即迎水坡坡面AB的长度为50 m. 12．eq \r(2) 13．eq \r(2)－1 【点拨】设AB＝1， ∵在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE， ∴ED＝BE＝eq \r(AE2＋AB2)＝eq \r(2). ∴AD＝AE＋ED＝1＋eq \r(2). ∴tan∠BDE＝eq \f(AB,AD)＝eq \f(1,1＋\r(2))＝eq \r(2)－1. 故答案为eq \r(2)－1. 14．5 【点拨】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD. ∴∠AOB＝90°. ∵BD＝8，∴OB＝4. ∵tan∠ABD＝eq \f(3,4)＝eq \f(AO,OB)，∴AO＝3. 在Rt△AOB中， 由勾股定理得AB＝eq \r(AO2＋OB2)＝eq \r(32＋42)＝5. 15．eq \f(2,3) 【点拨】∵AB为圆的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠BDC＝∠BAC， ∴tan∠BDC＝tan∠BAC. ∵在Rt△ACB中，tan∠BAC＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(2,3)， ∴tan∠BDC＝eq \f(2,3). 16．21 【点拨】∵CA＝CB，CD⊥AB， ∴AD＝BD＝eq \f(1,2)AB. 在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3 m， ∴AC＝eq \f(CD,sin 37°)≈eq \f(3,0.6)＝5(m)， AD＝eq \f(CD,tan 37°)≈eq \f(3,0.75)＝4(m)， ∴CA＝CB≈5 m，AB＝2AD≈8(m)， ∴AC＋CB＋AB＋CD≈5＋5＋8＋3＝21(m)． ∴共需钢材约21 m. 17．(3＋eq \r(2)) 【点拨】如图，过点O作OC⊥BT，垂足为C. 由题意得BC∥OM， ∴∠AOM＝∠OBC＝45°. ∵AB＝6米，AO：OB＝2：1， ∴AO＝4米，OB＝2米， 在Rt△OBC中，BC＝OB·cos 45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)(米)． ∵OM＝3米， ∴此时点B到水平地面EF的距离为BC＋OM＝(3＋eq \r(2))米． 18．eq \f(3,5) 【点拨】 如图，连接BE交AC于点F， 在四边形ADBE中， ∵O为AB的中点，DO＝OE， ∴四边形ADBE是平行四边形． 又∵Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD， ∴∠ADB＝∠C＝90°. ∴四边形ADBE是矩形． ∴∠AEF＝90°，AE＝BD. 又∵Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD， ∴AE＝BD＝BC＝3. ∵∠AEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠BFC，AE＝BC， ∴△AEF≌△BCF(AAS)，∴AF＝BF. 设AF＝BF＝x，则CF＝9－x， 在Rt△FBC中，FB2＝CF2＋BC2， ∴x2＝(9－x)2＋32， 解得x＝5.∴AF＝5. ∴cos∠CAE＝eq \f(AE,AF)＝eq \f(3,5). 故答案为eq \f(3,5). 三、19．【解】(1)原式＝2×eq \f(\r(3),2)－eq \r(3)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(3)－eq \r(3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). (2)原式＝eq \r(3)－1－10×eq \f(1,2)＋4＝eq \r(3)－1－5＋4＝eq \r(3)－2. 20．【解】(1)∠B＝90°－∠A＝30°. ∵sin B＝eq \f(b,c)，∴b＝c·sin B＝2·sin 30°＝1. ∵cos B＝eq \f(a,c)，∴a＝c·cos B＝2·cos 30°＝eq \r(3). (2)∠B＝90°－∠A＝45°. ∵tan A＝eq \f(a,b)，∴b＝eq \f(a,tan A)＝eq \f(\r(2),tan 45°)＝eq \r(2). ∵sin A＝eq \f(a,c)，∴c＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(2),sin 45°)＝eq \f(\r(2),\f(\r(2),2))＝2. 21．【解】过C点作CD⊥AB于D，如图． 在Rt△ACD中， ∵sin A＝eq \f(CD,AC)，cos A＝eq \f(AD,AC)， ∴sin 30°＝eq \f(CD,2\r(3))，cos 30°＝eq \f(AD,2\r(3)). ∴CD＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)＝eq \r(3)，AD＝eq \f(\r(3),2)×2eq \r(3)＝3. 在Rt△BCD中，∵tan B＝eq \f(CD,BD)， ∴BD＝eq \f(CD,tan B)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2. ∴AB＝AD＋BD＝3＋2＝5. 22．【解】(1)如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″，则∠AP′E＝∠AP″E＝90°. ∵∠P′EC＋∠P′ED＝180°， ∠P′AD＋∠P′ED＝360°－90°－90°＝180°， ∴∠P′EC＝∠DAP′. 同理可得∠P″EC＝∠DAP″.则点P′和P″即为所求． (2)∵在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB. ∵∠PEC＝∠DAP，∴∠APB＝∠PEC. ∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE. ∴eq \f(BP,CE)＝eq \f(AB,PC). 设PC＝x，∵BC＝5，∴BP＝5－x. ∴eq \f(5－x,1)＝eq \f(4,x)， 解得x1＝1，x2＝4， ∴PC的长为1或4. 当PC＝1时，tan∠EPC＝eq \f(CE,CP)＝eq \f(1,1)＝1， 当PC＝4时，tan∠EPC＝eq \f(CE,CP)＝eq \f(1,4). 23．【解】(1)由题意得∠NAC＝80°， ∠BAS＝25°， ∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°. ∵∠ABC＝45°， ∴∠BCA＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°， ∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°. (2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中， AB＝3eq \r(2) km，∠ABC＝ 45°， ∴AD＝AB·sin 45°＝3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝3(km)， BD＝AB·cos 45°＝3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝3(km)， 在Rt△ADC中，∠BCA＝ 60°， ∴CD＝eq \f(AD,tan 60°)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)(km)， ∴BC＝BD＋CD＝(3＋eq \r(3))km， ∴检查点B和C之间的距离为(3＋eq \r(3))km. 24．【解】(1)直线AB与⊙O相切． 理由：如图，连接OD. ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠DOB＝∠OCD＋∠ODC＝2∠BCD， ∴∠BCD＝eq \f(1,2)∠BOD. ∵∠BCD＝eq \f(1,2)∠A，∴∠BOD＝∠A. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠BOD＋∠B＝90°， ∴∠BDO＝90°， ∴OD⊥AB. 又∵OD是⊙O的半径， ∴直线AB与⊙O相切． (2)∵sin B＝eq \f(OD,OB)＝eq \f(3,5)，OD＝3，∴OB＝5， ∴BC＝OB＋OC＝8. 在Rt△ACB中，∵sin B＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5)， ∴设AC＝3x，则AB＝5x， ∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝4x＝8， ∴x＝2，∴AC＝3x＝6. 25．【解】 (1)如图①. 过点B作BE⊥AD于点E， ∵∠A＝60°，AB＝8， ∴BE＝AB·sin A＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3). ∵AD＝6， ∴▱ABCD的面积＝AD·BE＝6×4eq \r(3)＝24eq \r(3). (2)如图②，过点A作AD⊥BC于点D， 则AD＝AB·sin B＝20×eq \f(3,5)＝12. ∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(202－122)＝16， CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(152－122)＝9. ∴BC＝BD＋CD＝16＋9＝25. ∴△ABC的面积＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×25×12＝150. (3)sin B＝eq \f(7\r(85),85). 【点拨】设△ABC底边BC上的高为h，则h＝AB·sin B，∴S△ABC＝eq \f(1,2)·h·BC＝eq \f(1,2)·AB·BC·sin B. 由题意知，AB＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，BC＝eq \r(12＋42)＝eq \r(17). ∵S△ABC＝4×4－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×1×4＝7. ∴sin B＝eq \f(2×7,2\r(5)×\r(17))＝eq \f(7\r(85),85). 26．【解】(1)∵直线y＝－eq \f(4,3)x＋4与x轴，y轴分别交于B，C两点， 当x＝0时，y＝－eq \f(4,3)×0＋4＝4， 当y＝0时，－eq \f(4,3)x＋4＝0，解得x＝3， ∴C(0，4)，OC＝4，B(3，0)，OB＝3. 在Rt△AOC中，cos∠CAB＝eq \f(OA,AC)＝eq \f(\r(17),17)，设OA＝eq \r(17)k， 则AC＝17k.∵AC2＝OA2＋OC2， ∴(17k)2＝(eq \r(17)k)2＋42， 解得k1＝eq \f(\r(17),17)，k2＝－eq \f(\r(17),17)(舍去)， ∴OA＝eq \r(17)k＝1， ∴A(－1，0)． ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,3)，,b＝\f(8,3)，,c＝4.)) ∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(4,3)x2＋eq \f(8,3)x＋4. (2)设P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－\f(4,3)m2＋\f(8,3)m＋4))， ∵PD∥y轴交BC于点D，DE⊥y轴于点E， ∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－\f(4,3)m＋4)). ∴PD＝－eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m＋4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)m＋4))＝－eq \f(4,3)m2＋4m，DE＝m. ∴tan∠PED＝eq \f(PD,DE)＝－eq \f(4,3)m＋4. ∵∠PDE＝∠BOC＝90°， ∴△PDE和△BOC相似分以下两种情况： 当∠PED＝∠CBO时， tan∠PED＝tan∠CBO＝eq \f(CO,BO)， ∴－eq \f(4,3)m＋4＝eq \f(4,3)，解得m＝2. ∴－eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m＋4＝－eq \f(4,3)×22＋eq \f(8,3)×2＋4＝4. ∴P(2，4)； 当∠PED＝∠BCO时，tan∠PED＝tan∠BCO＝eq \f(BO,CO)， ∴－eq \f(4,3)m＋4＝eq \f(3,4)，解得m＝eq \f(39,16). ∴－eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m＋4＝－eq \f(4,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(39,16)))eq \s\up12(2)＋eq \f(8,3)×eq \f(39,16)＋4＝eq \f(165,64). ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(39,16)，\f(165,64))). 综上所述，当△PDE和△BOC相似时， 点P的坐标为(2，4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(39,16)，\f(165,64))).
第7章综合素质评价 一、选择题(每题3分，共24分) 1．sin 30°的值等于( ) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3) 2．【母题：教材P102例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝4，AB＝5，则sin A的值为( ) A．eq \f(3,5) B．eq \f(5,3) C．eq \f(4,5) D．eq \f(3,4) 3．【2023·益阳一中月考】已知α为锐角，且sin α＝eq \f(\r(3),2)，则α的度数为( ) A．30° B．60° C．45° D．75° 4．【2023·苏州中学月考】化简eq \r((sin 28°－cos 28°)2)等于( ) A．sin 28°－cos 28° B．0 C．cos 28 °－sin 28° D．以上都不对 5．【2023·长春】学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示，已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC＝25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32 m(即AC＝32 m)，则彩旗绳AB的长度为( ) A．32sin 25° m B．32cos 25° m C．eq \f(32,sin 25°) m D．eq \f(32,cos 25°) m 6．【2022·贵港】如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是( ) A．8(3－eq \r(3))m B．8(3＋eq \r(3))m C．6(3－eq \r(3))m D．6(3＋eq \r(3))m 7．【2023·连云港新区新海实验中学月考】如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE.将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是( ) A．4 B．5 C．eq \r(13) D．eq \r(15) 8．【2023·扬州仪征一模】如图，△ABC中，∠B＝90°，tan A＝eq \f(1,2)，点D是AB的中点，点E在线段AC上运动(不与点A，C重合)，若eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)，则eq \f(AE,AC)的值为( ) A．eq \f(1,2)或eq \f(3,10) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,2)或eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)或eq \f(5,8) 二、填空题(每题3分，共30分) 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cos A的值是________． 10．如图，点A(3，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α， tan α＝eq \f(3,2)，则t的值是________． 11．【2022·柳州】如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α， sin α＝eq \f(3,5)，堤坝高BC＝30 m，则迎水坡坡面AB的长度为________m. 12．【2023·永州四中月考】如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________. 13．【2023·常州实验中学一模】如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝________. 14．【母题：教材P112习题T4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，tan∠ABD＝eq \f(3,4)，则线段AB的长为________． 15．如图，由小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D不在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则∠BDC的正切值是________． 16．【2023·广西】如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 17．【2023·枣庄】如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶，当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆 AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时 ∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号) 18.如图，将Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD，O为斜边AB的中点，连接DO并延长DO使DO＝OE，连接AE，已知AC＝9，BC＝3，则cos∠CAE＝________. 三、解答题(19～22题每题6分，23题8分，24题10分，25～26题每题12分，共66分) 19．【母题：教材P106习题T1】计算： (1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°； (2)eq \r(3)－(π－3)0－10sin 30°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(－2). 20．【母题：教材P119复习题T5】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b； (2)已知a＝eq \r(2)，∠A＝45°，求∠B，b，c. 21．【2023·邵阳五中月考】如图，△ABC中，∠A＝30°，AC＝2eq \r(3)，tan B＝eq \f(\r(3),2)，求AB的长． 22．【2023·无锡锡山高级中学月考】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足 ∠PEC＝∠DAP. (1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P；(不要求写作法，但保留作图痕迹) (2)若CE＝1，试确定tan∠EPC的值． 23．【2023·内蒙古】为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A，B点在A点的南偏东25°方向3eq \r(2) km处， C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°. (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； (2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)． 24．【2023·扬州】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝eq \f(1,2)∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点． (1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若sin B＝eq \f(3,5)，⊙O的半径为3，求AC的长． 25.多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． 【基础掌握】(1)在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6.求▱ABCD的面积； 【灵活运用】(2)在△ABC中，AB＝20，AC＝15，sin B＝eq \f(3,5)，求△ABC的面积． 【迁移提升】(3)如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形的顶点上，请直接写出sin B的值． 26.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－eq \f(4,3)x＋4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连接AC，且cos∠CAB＝eq \f(\r(17),17). (1)求抛物线表达式； (2)点P是抛物线上的一点．当点P在第一象限时，过点P作 PD∥y轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，连接EP，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标． 答案 一、1．A 2．C 【点拨】由题意可知，∠C＝90°，因为AB＝5，BC＝4，所以sin A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5). 3．B 4．C 5．D 【点拨】如图，由题意得，AC＝32 m，∠BAC＝25°， BC⊥AC. 在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝eq \f(AC,AB)，∴AB＝eq \f(AC,cos∠BAC)＝eq \f(32,cos 25°) m，故选D. 6．A 【点拨】设CD＝x m，在Rt△ADC中，∠A＝45°， ∴CD＝AD＝x m．∴BD＝(16－x)m. 在Rt△BCD中，∠B＝60°，∴tanB＝eq \f(CD,BD)，即eq \f(x,16－x)＝eq \r(3)，解得x＝8(3－eq \r(3))．故选A. 7．D 【点拨】 过点A作AN⊥DF于点N，如图． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝AD，∠ABE＝∠D. 设AD＝4. ∵F是CD的中点， ∴DF＝FC＝2. 根据翻折的性质可知AB＝AF， ∴△AFD是等腰三角形． ∵AN⊥DF， ∴DN＝NF＝1. ∴在Rt△AND中，AN＝eq \r(AD2－DN2)＝eq \r(42－12)＝eq \r(15). ∴tan D＝eq \f(AN,ND)＝eq \f(\r(15),1)＝eq \r(15). ∴tan∠ABE＝eq \r(15). 故选D. 8．A 【点拨】∵D为AB的中点，eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)， ∴DE＝eq \f(1,2)BC. 如图，取AC的中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，DE1＝eq \f(1,2)BC，∴eq \f(AE1,AC)＝eq \f(1,2). 如图，在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则△DE1E2是等腰三角形， 过点D作DM⊥AC， 则ME1＝ME2，∠MDE1＋∠ME1D＝90°. ∵∠B＝90°，DE1∥BC，∴∠ADE1＝90°. ∴∠A＋∠AE1D＝90°. ∴∠A＝∠MDE1. ∵tan A＝eq \f(1,2)， ∴tan∠MDE1＝eq \f(1,2). 设ME1＝ME2＝x，则DM＝2x， ∴DE1＝DE2＝eq \r(5)x，E1E2＝2x. ∵DE1＝eq \f(1,2)BC，∴BC＝2eq \r(5)x. ∵tan A＝eq \f(1,2)，∴AB＝4eq \r(5)x.∴AC＝10x. ∵eq \f(AE1,AC)＝eq \f(1,2)， ∴AE1＝5x. ∴AE2＝AE1－E1E2＝5x－2x＝3x. ∴eq \f(AE2,AC)＝eq \f(3x,10x)＝eq \f(3,10). 综上，eq \f(AE,AC)的值为eq \f(1,2)或eq \f(3,10). 故选A. 二、9．eq \f(5,13) 10．eq \f(9,2) 【点拨】如图，过点A作AB⊥x轴于点B. ∵点A(3，t)在第一象限， ∴AB＝t，OB＝3. ∴tan α＝eq \f(AB,OB)＝eq \f(t,3)＝eq \f(3,2).∴t＝eq \f(9,2). 11．50 【点拨】根据题意得∠ACB＝90°，sin α＝eq \f(3,5)，∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(3,5).∵BC＝30 m，∴eq \f(30,AB)＝eq \f(3,5)，解得AB＝50 m，即迎水坡坡面AB的长度为50 m. 12．eq \r(2) 13．eq \r(2)－1 【点拨】设AB＝1， ∵在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE， ∴ED＝BE＝eq \r(AE2＋AB2)＝eq \r(2). ∴AD＝AE＋ED＝1＋eq \r(2). ∴tan∠BDE＝eq \f(AB,AD)＝eq \f(1,1＋\r(2))＝eq \r(2)－1. 故答案为eq \r(2)－1. 14．5 【点拨】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD. ∴∠AOB＝90°. ∵BD＝8，∴OB＝4. ∵tan∠ABD＝eq \f(3,4)＝eq \f(AO,OB)，∴AO＝3. 在Rt△AOB中， 由勾股定理得AB＝eq \r(AO2＋OB2)＝eq \r(32＋42)＝5. 15．eq \f(2,3) 【点拨】∵AB为圆的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠BDC＝∠BAC， ∴tan∠BDC＝tan∠BAC. ∵在Rt△ACB中，tan∠BAC＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(2,3)， ∴tan∠BDC＝eq \f(2,3). 16．21 【点拨】∵CA＝CB，CD⊥AB， ∴AD＝BD＝eq \f(1,2)AB. 在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3 m， ∴AC＝eq \f(CD,sin 37°)≈eq \f(3,0.6)＝5(m)， AD＝eq \f(CD,tan 37°)≈eq \f(3,0.75)＝4(m)， ∴CA＝CB≈5 m，AB＝2AD≈8(m)， ∴AC＋CB＋AB＋CD≈5＋5＋8＋3＝21(m)． ∴共需钢材约21 m. 17．(3＋eq \r(2)) 【点拨】如图，过点O作OC⊥BT，垂足为C. 由题意得BC∥OM， ∴∠AOM＝∠OBC＝45°. ∵AB＝6米，AO：OB＝2：1， ∴AO＝4米，OB＝2米， 在Rt△OBC中，BC＝OB·cos 45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)(米)． ∵OM＝3米， ∴此时点B到水平地面EF的距离为BC＋OM＝(3＋eq \r(2))米． 18．eq \f(3,5) 【点拨】 如图，连接BE交AC于点F， 在四边形ADBE中， ∵O为AB的中点，DO＝OE， ∴四边形ADBE是平行四边形． 又∵Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD， ∴∠ADB＝∠C＝90°. ∴四边形ADBE是矩形． ∴∠AEF＝90°，AE＝BD. 又∵Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD， ∴AE＝BD＝BC＝3. ∵∠AEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠BFC，AE＝BC， ∴△AEF≌△BCF(AAS)，∴AF＝BF. 设AF＝BF＝x，则CF＝9－x， 在Rt△FBC中，FB2＝CF2＋BC2， ∴x2＝(9－x)2＋32， 解得x＝5.∴AF＝5. ∴cos∠CAE＝eq \f(AE,AF)＝eq \f(3,5). 故答案为eq \f(3,5). 三、19．【解】(1)原式＝2×eq \f(\r(3),2)－eq \r(3)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(3)－eq \r(3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). (2)原式＝eq \r(3)－1－10×eq \f(1,2)＋4＝eq \r(3)－1－5＋4＝eq \r(3)－2. 20．【解】(1)∠B＝90°－∠A＝30°. ∵sin B＝eq \f(b,c)，∴b＝c·sin B＝2·sin 30°＝1. ∵cos B＝eq \f(a,c)，∴a＝c·cos B＝2·cos 30°＝eq \r(3). (2)∠B＝90°－∠A＝45°. ∵tan A＝eq \f(a,b)，∴b＝eq \f(a,tan A)＝eq \f(\r(2),tan 45°)＝eq \r(2). ∵sin A＝eq \f(a,c)，∴c＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(2),sin 45°)＝eq \f(\r(2),\f(\r(2),2))＝2. 21．【解】过C点作CD⊥AB于D，如图． 在Rt△ACD中， ∵sin A＝eq \f(CD,AC)，cos A＝eq \f(AD,AC)， ∴sin 30°＝eq \f(CD,2\r(3))，cos 30°＝eq \f(AD,2\r(3)). ∴CD＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)＝eq \r(3)，AD＝eq \f(\r(3),2)×2eq \r(3)＝3. 在Rt△BCD中，∵tan B＝eq \f(CD,BD)， ∴BD＝eq \f(CD,tan B)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2. ∴AB＝AD＋BD＝3＋2＝5. 22．【解】(1)如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″，则∠AP′E＝∠AP″E＝90°. ∵∠P′EC＋∠P′ED＝180°， ∠P′AD＋∠P′ED＝360°－90°－90°＝180°， ∴∠P′EC＝∠DAP′. 同理可得∠P″EC＝∠DAP″.则点P′和P″即为所求． (2)∵在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB. ∵∠PEC＝∠DAP，∴∠APB＝∠PEC. ∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE. ∴eq \f(BP,CE)＝eq \f(AB,PC). 设PC＝x，∵BC＝5，∴BP＝5－x. ∴eq \f(5－x,1)＝eq \f(4,x)， 解得x1＝1，x2＝4， ∴PC的长为1或4. 当PC＝1时，tan∠EPC＝eq \f(CE,CP)＝eq \f(1,1)＝1， 当PC＝4时，tan∠EPC＝eq \f(CE,CP)＝eq \f(1,4). 23．【解】(1)由题意得∠NAC＝80°， ∠BAS＝25°， ∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°. ∵∠ABC＝45°， ∴∠BCA＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°， ∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°. (2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中， AB＝3eq \r(2) km，∠ABC＝ 45°， ∴AD＝AB·sin 45°＝3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝3(km)， BD＝AB·cos 45°＝3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝3(km)， 在Rt△ADC中，∠BCA＝ 60°， ∴CD＝eq \f(AD,tan 60°)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)(km)， ∴BC＝BD＋CD＝(3＋eq \r(3))km， ∴检查点B和C之间的距离为(3＋eq \r(3))km. 24．【解】(1)直线AB与⊙O相切． 理由：如图，连接OD. ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠DOB＝∠OCD＋∠ODC＝2∠BCD， ∴∠BCD＝eq \f(1,2)∠BOD. ∵∠BCD＝eq \f(1,2)∠A，∴∠BOD＝∠A. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠BOD＋∠B＝90°， ∴∠BDO＝90°， ∴OD⊥AB. 又∵OD是⊙O的半径， ∴直线AB与⊙O相切． (2)∵sin B＝eq \f(OD,OB)＝eq \f(3,5)，OD＝3，∴OB＝5， ∴BC＝OB＋OC＝8. 在Rt△ACB中，∵sin B＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5)， ∴设AC＝3x，则AB＝5x， ∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝4x＝8， ∴x＝2，∴AC＝3x＝6. 25．【解】 (1)如图①. 过点B作BE⊥AD于点E， ∵∠A＝60°，AB＝8， ∴BE＝AB·sin A＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3). ∵AD＝6， ∴▱ABCD的面积＝AD·BE＝6×4eq \r(3)＝24eq \r(3). (2)如图②，过点A作AD⊥BC于点D， 则AD＝AB·sin B＝20×eq \f(3,5)＝12. ∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(202－122)＝16， CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(152－122)＝9. ∴BC＝BD＋CD＝16＋9＝25. ∴△ABC的面积＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×25×12＝150. (3)sin B＝eq \f(7\r(85),85). 【点拨】设△ABC底边BC上的高为h，则h＝AB·sin B，∴S△ABC＝eq \f(1,2)·h·BC＝eq \f(1,2)·AB·BC·sin B. 由题意知，AB＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，BC＝eq \r(12＋42)＝eq \r(17). ∵S△ABC＝4×4－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×1×4＝7. ∴sin B＝eq \f(2×7,2\r(5)×\r(17))＝eq \f(7\r(85),85). 26．【解】(1)∵直线y＝－eq \f(4,3)x＋4与x轴，y轴分别交于B，C两点， 当x＝0时，y＝－eq \f(4,3)×0＋4＝4， 当y＝0时，－eq \f(4,3)x＋4＝0，解得x＝3， ∴C(0，4)，OC＝4，B(3，0)，OB＝3. 在Rt△AOC中，cos∠CAB＝eq \f(OA,AC)＝eq \f(\r(17),17)，设OA＝eq \r(17)k， 则AC＝17k.∵AC2＝OA2＋OC2， ∴(17k)2＝(eq \r(17)k)2＋42， 解得k1＝eq \f(\r(17),17)，k2＝－eq \f(\r(17),17)(舍去)， ∴OA＝eq \r(17)k＝1， ∴A(－1，0)． ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,3)，,b＝\f(8,3)，,c＝4.)) ∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(4,3)x2＋eq \f(8,3)x＋4. (2)设P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－\f(4,3)m2＋\f(8,3)m＋4))， ∵PD∥y轴交BC于点D，DE⊥y轴于点E， ∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－\f(4,3)m＋4)). ∴PD＝－eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m＋4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)m＋4))＝－eq \f(4,3)m2＋4m，DE＝m. ∴tan∠PED＝eq \f(PD,DE)＝－eq \f(4,3)m＋4. ∵∠PDE＝∠BOC＝90°， ∴△PDE和△BOC相似分以下两种情况： 当∠PED＝∠CBO时， tan∠PED＝tan∠CBO＝eq \f(CO,BO)， ∴－eq \f(4,3)m＋4＝eq \f(4,3)，解得m＝2. ∴－eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m＋4＝－eq \f(4,3)×22＋eq \f(8,3)×2＋4＝4. ∴P(2，4)； 当∠PED＝∠BCO时，tan∠PED＝tan∠BCO＝eq \f(BO,CO)， ∴－eq \f(4,3)m＋4＝eq \f(3,4)，解得m＝eq \f(39,16). ∴－eq \f(4,3)m2＋eq \f(8,3)m＋4＝－eq \f(4,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(39,16)))eq \s\up12(2)＋eq \f(8,3)×eq \f(39,16)＋4＝eq \f(165,64). ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(39,16)，\f(165,64))). 综上所述，当△PDE和△BOC相似时， 点P的坐标为(2，4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(39,16)，\f(165,64))).
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