2022-2023学年广东省东莞外国语学校高二（下）第二次段考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省东莞外国语学校高二（下）第二次段考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=sin2x的导数是( )
A. 2sinxB. 2csxC. 2sin2xD. sin2x
2.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A. 在区间(−2,1)上f(x)单调递增
B. 在区间(1,3)上f(x)单调递减
C. 在区间(4,5)上f(x)单调递增
D. 在区间(3,5)上f(x)单调递增
3.下列命题错误的是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B. 随机变量ξ∼B(n,p)，若E(ξ)=30，D(ξ)=20，则n=90
C. 线性回归直线y​=bx+a一定经过样本点的中心(x−,y−)
D. 设ξ∼N(1,σ2)，且P(ξ<0)=0.2，则P(1<ξ<2)=0.2
4.已知函数f(x)=alnx−bx的极值点为1，且f′(2)=1，则f(x)的极小值为( )
A. −1B. −aC. bD. 4
5.学校安排元旦晚会的4个舞蹈节目和2个音乐节目的演出顺序，要求2个音乐节目要连排，且都不能在第一个演出，则不同的排法种数是( )
A. 96B. 144C. 192D. 240
6.用模型y=menx+2(m>0)拟合一组数据时，设z=lny，将其变换后得到回归方程为z =3x+2，则n−m=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
7.目前，国际上常用身体质量指数BMI=体重(单位：kg)身高2(单位:m2)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为3100；女员工中，肥胖者的占比为2100，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为( )
A. 3100B. 9200C. 35D. 34
8.已知a，b，c均为负实数，且a=lna+13+2，b=lnb+14+3，c=2ec−1−1，则( )
A. b二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若f(x)=xsinx+csx，则f′(x)=sinx−xcsx+sinx
B. 设函数f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，则x0=e
C. 已知函数f(x)=3x2ex，则f′(1)=12e
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
10.若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=13，则( )
A. P(X=1)=E(X)B. D(X)=29
C. E(4X+1)=73D. D(4X+1)=329
11.下列说法正确的是( )
A. (x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为30
B. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种
C. 已知An3=Cn4，则n=27
D. 记(2+x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a7(1+x)7，则a1+a2+⋯+a6=126
12.关于函数f(x)=2x+lnx，下列判断正确的是( )
A. x=2是f(x)的极大值点
B. 函数y=f(x)−x有且只有1个零点
C. 存在正实数k，使得f(x)>kx成立
D. 对两个不相等的正实数x1，x2，若f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)>12+ln4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是______．
14.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为______．
15.已知P(A)=35，P(B|A)=12，P(B−|A−)=23，则P(B)= ．
16.已知x10+1=(x−1)2f(x)+ax+b(a,b∈R)，其中f(x)是关于x的多项式，则a−b=______；若ax+b=32，则x10+1除以81的余数为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知二项式(x−3 x)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，a+b=32．
(1)求n的值；
(2)求其展开式中所有的有理项．
18.(本小题12分)
甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=23x3−52x2+3x−13．
(1)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；
(2)求f(x)在[1,2]上的最小值和最大值．
20.(本小题12分)
树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了A树木，某农科所为了研究A树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A树木，调查得到A树木根部半径x(单位：米)与A树木高度y(单位：米)的相关数据如表所示：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)对(1)中得到的回归方程进行残差分析，若某A树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此片树木中随机抽取1棵A树木，估计这棵树木“长势标准”的概率．
参考公式：回归直线方程为y​=b​x+a​，其中b​=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a​=y−−b​x−．
21.(本小题12分)
某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称.该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱(每箱有5kg)，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：
(1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率；
(2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值E(X)．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−a)lnx−x+a−3(a∈R)．
(1)讨论函数f′(x)的单调性；
(2)当a=2时，λ≤f(x)恒成立，求λ的最大整数值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：f′(x)=(sin2x)′=2sinxcsx=sin2x；
故选：D．
首先求导，然后倍角公式化简．
本题考查了导数的运算以及利用二倍角公式化简三角函数，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由导函数的图象可得：在区间(−3,−32)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在区间(−32,2)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在区间(2,4)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在区间(4,5)上f′(x)>0，f(x)单调递增．
故选：C．
由导函数的图象可得f′(x)的符号，f(x)单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A，由相关系数的定义可知，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确，
对于B，随机变量ξ∼B(n,p)，E(ξ)=30，D(ξ)=20，
则np=30np(1−p)=20，解得p=13，n=90，故B正确，
对于C，由线性回归方程的性质可知，线性回归直线y​=bx+a一定经过样本点的中心(x−,y−)，故C正确，
对于D，ξ∼N(1,σ2)，且P(ξ<0)=0.2，
则P(1<ξ<2)=P(0<ξ<1)=P(ξ<1)−P(ξ<0)=0.5−0.2=0.3，故D错误．
故选：D．
对于A，结合相关系数的定义，即可求解，
对于B，结合二项分布期望与方差的公式，即可求解，
对于C，结合线性回归直线的性质，即可求解，
对于D，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，线性回归方程的性质，以及二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：f′(x)=ax−bx2=ax+bx2，f′(1)=0，f′(2)=1，
所以a+b=02a+b4=1，解得：a=4，b=−4，
f(x)=4lnx+4x，
所以f′(x)=4x−4x2，得x=1，x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,+∞)，f′(x)>0，
所以x=1是函数的极小值点，f(1)=4．
故选：D．
首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解a，b，再求函数的极小值．
考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：学校安排元旦晚会的4个舞蹈节目和2个音乐节目的演出顺序，要求2个音乐节目要连排，且都不能在第一个演出，
则不同的排法种数是A22C41A44=2×4×24=192．
故选：C．
由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了相邻问题捆绑法，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵y=menx+2，
∴lny=nx+2+lnm，
∵z=lny，z =3x+2，
∴n=3，2+lnm=2，解得m=1，
∴n−m=3−1=2．
故选：D．
对y=menx+2两边取对数，再结合回归方程为z =3x+2，即可求解
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设公司男、女员工的人数分别为2n和n，
则男员工中，肥胖者有2n×3100=3n50人，
女员工中，肥胖者有n×2100=n50人，
设任选一名员工为肥胖者为事件A，肥胖者为男性为事件B，
则P(AB)=3n503n=150，P(A)=3n50+n503n=275，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=150275=34．
故选：D．
先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为a，b，c均为负实数，
由a=lna+13+2可得a=2−ln3+ln(a+1)，
故a−ln(a+1)=2−ln3，
同理由b=lnb+14+3可得b−ln(b+1)=3−ln4，
因为c=2ec−1−1，所以c+1=2ec−1，
所以ln(c+1)=ln2+c−1，即c−ln(c+1)=1−ln2，
令f(x)=x−ln(x+1)，则f(a)=f(2)，f(b)=f(3)，f(c)=f(1)，
又f′(x)=1−11+x=xx+1，x>−1，
易得，当−10时，f′(x)>0，函数单调递增，
所以f(1)又a<0，b<0，c<0，
所以b故选：A．
结合对数的运算性质对已知等式进行化简，考虑构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可比较函数值大小．
本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：A.f′(x)=sinx+xcsx−sinx，∴A错误；
B.f′(x)=lnx+1，f′(x0)=lnx0+1=2，∴x0=e，∴B正确；
C.f′(x)=6xex+3x2ex，∴f′(1)=9e，∴C错误；
D.f′(x)=2x+3f′(2)+1x，∴f′(2)=4+3f′(2)+12，∴f′(2)=−94，∴D正确．
故选：BD．
根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：∵随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=13，
∴P(X=1)=1−P(X=0)=1−13=23，
E(X)=0×13+1×23=23，故A正确，
D(X)=13×23=29，故B正确，
E(4X+1)=4E(X)+1=4×23+1=113，故C错误，
D(4X+1)=42D(X)=16×29=329，故D正确．
故选：ABD．
根据已知条件，结合两点分布的定义，以及期望与方差的公式，即可求解．
本题主要考查两点分布的定义，以及期望与方差的公式，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5，
其展开式的通项公式为Tr+1=C5r(x2+x)5−ryr，
令r=2，得(x2+x)3的通项公式为C3m(x2)3−mxm=C3mx6−m，
再令6−m=5，解得m=1，
故(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为30，故A正确，
对于B，先放1，2的卡片有C31种，再将3，4，5，6的卡片平均分成两组再放置有C42A22⋅A22种，
故共有C31⋅C42=18种，故B错误，
对于C，∵An3=Cn4，
∴n(n−1)(n−2)=n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，解得n=27，故C正确，
对于D，令x=0得，a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a7=27，a0=17=1，
∵(2+x)7=(1+1+x)7 展开式通项为C7r(1+x)r，令r=7，
则a7=1，
∴a1+a2+⋅⋅⋅+a6=27−1−1=126，故D正确．
故选：ACD．
对于AD，结合二项式定理，即可求解，
对于B，先放1，2的卡片有C31种，再将3，4，5，6的卡片平均分成两组再放置有C42A22⋅A22种，再结合分步乘法计数原理，即可求解，
对于C，结合组合数和排列数的公式，即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：对于A：函数的定义域为(0,+∞)，
函数的导数f′(x)=−2x2+1x=x−2x2，
所以在(0,2)上，f′(x)<0，f(x)单调性递减，
在(2,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=2是f(x)的极小值点，即A不正确；
对于B：y=f(x)−x=2x+lnx−x，
所以y′=−2x2+1x−1=−x2+x−2x2<0，
函数y在(0,+∞)上单调递减，且f(1)−1=2+ln1−1=1>0，
f(2)−2=1+ln2−2=ln2−1<0，
所以函数y=f(x)−x有且仅有1个零点，故B正确；
对于C：若f(x)>kx，可得k<2x2+lnxx，令g(x)=2x2+lnxx，
则g′(x)=−4+x−xlnxx3，
令h(x)=−4+x−xlnx，
则h′(x)=−lnx，
所以在x∈(0,1)上，函数h(x)单调递增，
在(1,+∞)上，函数h(x)单调递减，
所以h(x)≤h(1)<0，
所以g′(x)<0，
所以g(x)=2x2+lnxx在(0,+∞)上单调递减，函数无最小值，
所以不存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立，即C不正确；
对于D：令t∈(0,2)，则2−t∈(0,2)，2+t>2，
令g(t)=f(2+t)−f(2−t)=22+t+ln(2+t)−22−t−ln(2−t)
=4tt2−4+ln2+t2−t，
则g′(t)=4(t2−4)−8t2(t2−4)2+2−t2+t⋅2−t+2+t(2−t)2=−4t2−16(t2−4)2+44−t2=−8t2(t2−4)2<0，
所以g(t)在(0,2)上单调递减，
则g(t)令x1=2−t，由f(x1)=f(x2)，得x2>2+t，
则x1=x2=2−t+2+t=4，
当x2≥4时，x1+x2>4成立，
对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f(x1)=f(x2)，
则x1+x2>4，所以f(x1+x2)>f(4)=12+ln4，故D正确．
故选：BD．
对f(x)求导，分析f′(x)的正负，得f(x)的单调性，极值，即可判断A是否正确；对y=f(x)−x=2x+lnx−x，求导，分析单调性，极值，即可判断B是否正确；若f(x)>kx，得k<2x2+lnxx，令g(x)=2x2+lnxx，只需k小于g(x)的最小值，即可判断C是否正确；令g(t)=f(2+t)−f(2−t)=4tt2−4+ln2+t2−t，求导分析单调性，进而得g(t)4成立，结合单调性即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题，属于中档题．
13.【答案】69
【解析】解：从9个点中任取3个的全部组合数为C93=9×8×73×2×1=84，
三角形三个边上三点共线的组合数为C53+C43+C33=10+4+1=15，
所以能构成三角形的个数为84−15=69．
故答案为：69．
先求出从9个点中任取3个的全部组合数为C93，然后减去三角形三个边上三点共线的组合数，即可得出答案．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
14.【答案】[0,12]∪[2,+∞)
【解析】【分析】
本题考查导数与函数单调性的关系，考查函数的图象，属于中档题．
由函数y=f(x)(x∈R)的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得出不等式xf′(x)≥0的解集．
【解答】
解：由f(x)的图象特征可得，
f′(x)在(−∞,12]和[2,+∞)上大于或等于0，在(12,2)上小于0，
∴xf′(x)≥0⇔x≥0f′(x)≥0或x≤0f′(x)≤0⇔0≤x≤12或x≥2，
∴xf′(x)≥0的解集为[0,12]∪[2,+∞)．
故答案为[0,12]∪[2,+∞)．
15.【答案】1330
【解析】【分析】
本题考查全概率公式及条件概率计算公式，是基础题．
根据条件概率公式以及全概率公式列式求解即可．
【解答】
解：P(A)=35，P(A−)=25，
P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)=P(B|A)P(A)+[1−P(B−|A−)]P(A−)=12×35+(1−23)×25=1330．
故答案为：1330．
16.【答案】18 32
【解析】解：x10+1=[(x−1)+1]10+1
=[C100(x−1)8+C101(x−1)7++C108](x−1)2+C109(x−1)+C1010+1
=[C100(x−1)8+C101(x−1)7++C108](x−1)2+10x−8，
∴[C100(x−1)8+C101(x−1)7+⋯+C108]⋅(x−1)2+10x−8=(x−1)2f(x)+ax+b，
所以a=10，b=−8，
即a−b=18．
若ax+b=32，即10x−8=32，则x=4，
所以x10+1=410+1=(3+1)10+1=C100×310+C101×39+⋯+C109×3+C1010+1=34×(C100×36+C101×35+⋯+C106)+40×34+5×34+32=81×(C100×36+C101×35+⋯+C106+45)+32，
故所求的余数为32．
故答案为：18；32．
利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为a=2n，b=(−2)n，所以2n+(−2)n=32，
当n为奇数时，此方程无解，
当n为偶数时，方程可化为2×2n=32，解得n=4；
(2)由通项公式Tr+1=C4rx4−r⋅(−3 x)r=(−3)r⋅C4rx4−32r，
当4−32r为整数时，Tr+1是有理项，则r=0，2，4，
所以有理项为T1=(−3)0C40x4=x4,T3=(−3)2C42x1=54x,T5=(−3)4C44x−2=81x−2．
【解析】(1)先利用题给条件列出关于n的方程，解之即可求得n的值；
(2)利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为240240+20=1213，
B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为210210+30=78．
(2)假设为H0：甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关，列联表如下表所示：
经计算得χ2=500×(240×30−20×210)2260×240×450×50≈3.205>2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1 的独立性检验，我们推断H0 不成立，即认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关，该推断犯错误的概率不超过0.1．
【解析】(1)利用频率估计概率，进行计算；
(2)得到列联表，计算出卡方，与2.706比较后得到结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，是基础题目．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=23x3−52x2+3x−13，f′(x)=2x2−5x+3，
故f(2)=1，f′(2)=1，
故切线方程为：y−1=x−2，即x−y−1=0；
(2)由(1)知f′(x)=(2x−3)(x−1)，
易知x∈[1,32]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈[32,2]，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)min=f(32)=1924，又f(1)=76，f(2)=1，故f(x)max=f(1)=76．
【解析】(1)对原函数求导数，求出x=2时的函数值、导数值，利用点斜式求出切线方程；
(2)求出f(x)在[1,2]上的极值，再求出f(1)，f(2)，即可得到f(x)在[1,2]上的最大值、最小值．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值的方法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)x−=16×(0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6)=0.35，
y−=16×(1.1+1.3+1.6+1.5+2.0+2.1)=1.6，
i=16xiyi=0.1×1.1+0.2×1.3+0.3×1.6+0.4×1.5+0.5×2.0+0.6×2.1=3.71，
i=16xi2=0.12+0.22+0.32+0.42+0.52+0.62=0.91，
所以b​=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2=3.71−6×0.35×−6×0.352=2，
a​=y−−b​x−=1.6−2×0.35=0.9，
故y关于x的线性回归方程为y​=2x+0.9．
(2)当x=0.1时，y​=2×0.1+0.9=1.1，残差为1.1−1.1=0；
当x=0.2时，y​=2×0.2+0.9=1.3，残差为1.3−1.3=0；
当x=0.3时，y​=2×0.3+0.9=1.5，残差为1.6−1.5=0.1；
当x=0.4时，y​=2×0.4+0.9=1.7，残差为1.5−1.7=−0.2；
当x=0.5时，y​=2×0.5+0.9=1.9，残差为2.0−1.9=0.1；
当x=0.6时，y​=2×0.6+0.9=2.1，残差为2.1−2.1=0，
所以这6棵A树木中残差为0的有3棵，占比为36=12，
以频率估计概率，可估计这棵树木“长势标准”的概率为12．
【解析】(1)由表中数据计算出x−，y−，i=16xiyi和i=16xi2，再由b​和a​的参考公式计算回归系数，即可得解；
(2)求得六组数据对应的残差，再以频率估计概率，得解．
本题考查线性回归方程的求法，残差等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，
则P(A)=20100=15，
现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为ξ，则ξ∼B(4,15)，
所以恰好有2箱是一级品的概率为P(ξ=2)=C42×(15)2×(45)2=96625；
(2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从中随机抽取3箱，
则珍品的箱数X服从超几何分布，其中N=10，M=4，n=3，
P(X=0)=C63C103=16，P(X=1)=C62C41C103=12，P(X=2)=C61C42C103=310，P(X=3)=C43C103=130，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．
【解析】(1)先求出从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品的概率，再利用二项分布求概率公式进行求解；
(2)求出X的可能取值及对应的概率，求出分布列，得到均值．
本题主要考查了二项分布的概率公式，考查了超几何分布的概率公式，以及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+x−ax−1=lnx−ax．
令h(x)=lnx−ax(x>0)，h′(x)=1x+ax2=x+ax2，
当a≥0时，h′(x)>0恒成立，所以函数f′(x)在(0,+∞)上递增；
当a<0时，在区间(0,−a)，h′(x)<0，函数f′(x)递减；
在区间(−a,+∞)，h′(x)>0，函数f′(x)递增．
(2)当a=2时，f(x)=(x−2)lnx−x−1，f′(x)=lnx−2x，
由(1)知，f′(x)在(0,+∞)上递增，且f′(2)=ln2−1<0，f′(3)=ln3−23>0，
所以存在x0∈(2,3)使得f′(x0)=0，即lnx0=2x0.f(x)在区间(0,x0)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
在区间(x0,+∞)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以当x=x0时，f(x)取得极小值也即是最小值，
为f(x0)=(x0−2)lnx0−x0−1=(x0−2)×2x0−x0−1=1−(4x0+x0)，
设y=4x+x，则y′=1−4x2=x2−4x2，
令y′<0⇒−20⇒x<−2或x>2，
所以函数y=4x+x在(−2,0)和(0,2)上单调递减，在(−∞,−2)和(2,+∞)上单调递增．
因为x0∈(2,3)，所以4x0+x0∈(4,133)，所以f(x0)∈(−103,−3)．
由λ≤f(x)恒成立，得λ≤f(x0)，故λ的最大整数值为−4．
【解析】(1)利用导数的运算法则可得f′(x)=h(x)=lnx−ax(x>0)，利用导数研究函数h(x)的单调性，即可求解；
(2)由(1)，根据零点的存在性定理可知存在x0∈(2,3)使得f′(x0)=0，即lnx0=2x0.进而可得函数f(x)的单调性，则f(x)min=f(x0)=1−(4x0+x0)，结合对勾函数的性质即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
y
1.1
1.3
1.6
1.5
2.0
2.1
等级
珍品
特级
优级
一级
箱数
40
30
10
20
公司
班次是否准点
合计
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130