2023-2024学年山东省实验中学高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年山东省实验中学高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a，b∈R，(a+3i)+(−1+bi)=0，则( )
A. a=1，b=−3B. a=−1，b=3
C. a=−1，b=−3D. a=1，b=3
2.在平行四边形ABCD中，G为△ABC的重心，满足AG=xAB+yAD(x,y∈R)，则x−2y=( )
A. 43B. 53C. 0D. −1
3.已知|a|=1,|b|=2，|2a−b|=4，则a与b夹角的余弦值为( )
A. −1B. −12C. 0D. 1
4.已知a,b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a−λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=( )
A. −2B. 2C. −2 33D. 2 33
5.在△ABC中，D为BC边上一点，满足AD⊥AB,BD=23BC,|AD|=2，则AC⋅AD=( )
A. 32B. 6C. 23D. 83
6.测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC(C在水平面)垂直于水平面，水平面上两点A，B的距离为452m，测得∠MBA=θ，∠MAB=5π6−θ，其中sinθ=13，在A点处测得旗杆顶点的仰角为φ，csφ=35，则该旗杆的高度为(单位：m)( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b=a+c，设△ABC的面积为S，若AB⋅BC=−2 33S，则此三角形的形状为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin(A+C)=2Sb2−a2，则tanA+13tan(B−A)的取值范围为( )
A. [2 33,+∞)B. [2 33,43]C. (2 33,43)D. [2 33,43)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，CD=23CA,P为线段BD上一点，且有AP=λAB+μAC,λ,μ∈(0,+∞)，则下列命题正确的是( )
A. λ+μ=1B. λ+3μ=1
C. λμ的最大值为112D. 1λ+1μ的最小值为4+2 3
10.下列说法正确的是( )
A. 已知向量a,b，则“a与b共线”是“b=λa”的充要条件
B. 已知非零向量a,b满足(a+b)⊥(a−b)，则|a|=|b|
C. 若O为△ABC的外心，且OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则△ABC是等边三角形
D. 已知单位向量a,b,c满足2a+3b+4c=0，则a⋅(b+c)=−716
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB⋅AC=2,a=2，则( )
A. bccsA=2B. b2+c2=8
C. 角A的最大值为π3D. △ABC面积的最小值为 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=2 3，b=2.则∠B= ______．
13.若在△ABC中，角A，B，C对应边为a，b，c，若A=60°，b=1，S△ABC= 3，则a+b+csinA+sinB+sinC= ．
14.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB=2π3，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则PM⋅PN的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
复数z=a2−a−6+(a2−3a−10)i，其中a∈R．
(1)若复数z为实数，求a的值；
(2)若复数z为纯虚数，求a的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2)，b=(1,t)(t∈R)．
(1)若(a+b)⊥(a−b)，求t的值；
(2)若t=1，a与a+mb的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
在△ABC中，已知csC=1314,a=73c．
(Ⅰ)求∠A的大小；
(Ⅱ)请从条件①：b−a=1；条件②：bcsA=−52这两个条件中任选一个作为条件，求csB和a的值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3c+bsinA= 3acsB．
(1)求A；
(2)若点D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AD=2，求△ABC面积的最小值．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意，(a−1)+(3+b)i=0，则a=1，b=−3．
故选：A．
根据复数相等列方程求出a，b．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，G为△ABC的重心，
则AG=23×12(AB+AC)=13AB+13AC=13AB+13(AB+AD)=23AB+13AD，
又AG=xAB+yAD(x,y∈R)，
则x=23，y=13，
则x−2y=23−2×13=0．
故选：C．
由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量基本定理，属中档题．
3.【答案】A
【解析】解：∵|a|=1,|b|=2,|2a−b|=4，
∴(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅b=4+4−4a⋅b=16，
∴a⋅b=−2，
∴cs=a⋅b|a||b|=−21×2=−1．
故选：A．
对|2a−b|=4两边平方可求出a⋅b的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出a与b夹角的余弦值．
本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：a,b是夹角为120°的两个单位向量，
则a⋅b=|a|×|b|×cs120°=−12，
向量a−λb在向量a上的投影向量为2a，
则(a−λb)⋅a|a|×a|a|=2a，即a2−λa⋅b=2，即1+12λ=2，解得λ=2．
故选：B．
根据已知条件，结合投影向量公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：如图，
AD⊥AB,BD=23BC,|AD|=2，
则AC⋅AD=(AB+BC)⋅AD=(AB+32BD)⋅AD
=AB⋅AD+32(AD−AB)⋅AD=32|AD|2=32×22=6．
故选：B．
由题意画出图形，把问题转化为AB与AD的数量积求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化思想，是中档题．
6.【答案】B
【解析】解：在△AMB中，AB=452，∠AMB=π6，sinθ=13，
由正弦定理得ABsin∠AMB=MAsin∠MBA，∴MA=15，
在Rt△ACM，MC=MA⋅sin∠MAC=15×sinφ=15×45=12．
故选：B．
作出示意图，在△AMB中解出MA，在Rt△ACM中解出MC．
本题考查正弦定理的应用，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为△ABC的面积为S，AB⋅BC=−2 33S，
所以−accsB=−2 33×12acsinB，得tanB= 3，
因为0所以B=π3，
又a+c=2b，
由余弦定理，得b2=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=(2b)2−3ac，可得b2=ac，
由a+c=2bb2=ac，解得a=b=c，
所以△ABC是等边三角形．
故选：C．
由已知利用平面向量数量积的运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tanB，结合范围0本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，sin(A+C)=sinB，S=12acsinB，
∵sin(A+C)=2Sb2−a2，
∴sinB=acsinBb2−a2，即b2−a2=ac，
由余弦定理可得，b2=a2+c2−2ac⋅csB，
故c=2acsB+a，
由正弦定理可得，sinC=2sinAcsB+sinA=sinAcsB+csAsinB，化简整理可得，sin(B−A)=sinA，
故B−A=A或B−A=π−A(舍去)，
则B=2A，
∵△ABC为锐角三角形，
∴0故 33∴tanA+13tan(B−A)=tanA+13tanA∈(2 33,43)．
故选：C．
根据已知条件，结合三角形面积公式，以及正余弦定理，即可求解．
本题主要考查三角形面积公式，以及正余弦定理，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：因为CD=23CA,P为线段BD上一点，
又AP=λAB+μAC=λAB+3μAD，
因为B，P，D三点共线，
故λ+3μ=1，A错误，B正确；
1=λ+3μ≥2 3λμ，当且仅当λ=3μ，即λ=12，μ=16时取等号，
所以λμ≤112，C正确；
1λ+1μ=λ+3μλ+λ+3μμ=4+3μλ+λμ≥4+2 3μλ⋅λμ=4+2 3，
当且仅当λ= 3μ，即μ=3− 36，λ= 3−12时取等号，D正确．
故选：BCD．
由已知结合向量的线性表示及向量共线定理可得λ+3μ=1，检验选项A，B，然后结合基本不等式检验选项C，D即可判断．
本题主要考查了向量的线性表示及基本不等式求解最值，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当a=0时，满足a与b共线，但b=λa不成立，选项A错误；
对于B，因为(a+b)⊥(a−b)，所以(a+b)⋅(a−b)=0，即a2−b2=0，所以|a|=|b|，选项B正确；
对于C，因为O为△ABC的外心，所以|OA|=|OB|=|OC|，因为OA⋅OB=OB⋅OC，所以OB⋅(OA−OC)=OB⋅CA=0，所以OB⊥CA，
同理可得OC⊥AB，OA⊥BC，所以O是△ABC的垂心，所以△ABC是等边三角形，选项C正确；
对于D，因为2a+3b+4c=0，所以2a+3b=−4c，所以4a2+12a⋅b+9b2=16c2，因为a，b，c是单位向量，所以4+12a⋅b+9=16，解得a⋅b=14，
同理，2a+4c=−3b，所以4+16a⋅c+16=9，解得a⋅c=−1116，所以a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c=−716，选项D正确．
故选：BCD．
根据向量共线的充要条件可判断选项A；
根据向量垂直的充要条件可判断选项B；
根据向量数量积的运算律判断选项C，D．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A：若AB⋅AC=2，a=2，则cbcsA=2，故A正确；
对于B：cbcsA=2，且a=2，即2bccsA=b2+c2−a2=b2+c2−4=4，即b2+c2=8，故B正确；
对于C：b2+c2≥2bc，即2bc≤8，解得bc≤4，当且仅当b=c=2时，等号成立，
∴csA≥12，即0对于D：△ABC面积为S=12bcsinA≤12×4× 32= 3，即△ABC面积的最大值为 3，故D错误．
故选：ABC．
由向量的数量积的定义和余弦定理可判断A、B；由基本不等式可判断C；由三角形的面积公式可判断D．
本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义、基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】π6
【解析】解：在△ABC中，A=60°，a=2 3，b=2，
因为a>b，所以A>B，
因为asinA=bsinB，
所以sinB=bsinAa=12，所以∠B=π6．
故答案为：π6．
直接利用正弦定理即可得解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
13.【答案】2 393
【解析】【分析】
此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，属于中档题．
利用三角形面积公式求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．
【解答】
解：由A=60°，得到sinA= 32，csA=12，
又b=1，S△ABC= 3，
∴12bcsinA=12×1×c× 32= 3，
解得c=4，
根据余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=1+16−4=13，
解得a= 13，
根据正弦定理asinA=bsinB=csinC= 13 32=2 393，
则a+b+csinA+sinB+sinC=asinA =2 393．
故答案为：2 393．
14.【答案】1
【解析】解：由题可得，以O为坐标原点，OA为x轴，建立平面直角坐标系，
则A(1,0)，B(−12, 32)，
因为OP⊥OB，
所以P( 32,12)，
设M(a,0)，N(−12λ, 32λ)，
所以PM=(a− 32,−12)，PN=(−12λ− 32, 32λ−12)，
所以PM⋅PN=(a− 32)(−12λ− 32)−12( 32λ−12)
=−12λa− 32a+ 34λ− 34λ+1
=−12λa− 32a+1，
因为0≤a≤1，0≤λ≤1，
所以可知−12λa− 32a+1≤1，
所以PM⋅PN的最大值为1．
故答案为：1．
建立坐标系，把已知问题坐标化，然后结合向量数量积的坐标表示及不等式的性质即可求解．
本题主要考查了向量的数量积的基本运算，坐标系的建立可以简化基本运算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)复数z为实数，则a2−3a−10=0，即a=5或a=−2；
(2)若复数z为纯虚数，则a2−a−6=0a2−3a−10≠0，解得a=3．
【解析】(1)复数z为实数，则a2−3a−10=0，求解即可；
(2)复数z为纯虚数，则a2−a−6=0a2−3a−10≠0，求解即可．
本题考查了复数的概念，属基础题．
16.【答案】解：(1)因为向量a=(1,2)，b=(1,t)(t∈R)，且(a+b)⊥(a−b)，
则a+b=(2,t+2)，a−b=(0,2−t)≠0，则2−t≠0，可得t≠2，
所以，(a+b)⋅(a−b)=(t+2)(2−t)=0，解得t=−2．
(2)当t=1时，b=(1,1)，则a+mb=(1,2)+m(1,1)=(m+1,m+2)，
因为a与a+mb的夹角为锐角，则a⋅(a+mb)=m+1+2(m+2)=3m+5>0，解得m>−53，
且a与a+mb不共线，则m+2≠2(m+1)，可得m≠0，
综上所述，实数m的取值范围是(−53,0)∪(0,+∞)．
【解析】(1)求出向量a−b、a+b的坐标，根据这两个向量均为非零向量可得出t≠2，再由(a+b)⋅(a−b)=0，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数t的值；
(2)当t=1时，求出向量a+mb的坐标，由题意可知，a⋅(a+mb)>0且a与a+mb不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数m的取值范围．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)因为csC=1314，可得sinC=3 314，
又a=73c
所以由正弦定理得sinA=73sinC= 32，
因为0(Ⅱ)若选条件①：b−a=1，则b>a，故A=π3，
在△ABC中，因为a=73c，所以a>c，
所以0因为csC=1314，
所以csB=cs[π−(A+C)]=−cs(A+C)=sinAsinC−csAcsC
= 32×3 314−12×1314=−17，
所以sinB= 1−cs2B=4 37，
由正弦定理得4 37b= 32a，即7b=8a，
因为b−a=1，所以a=7．
若选条件②：bcsA=−52，则A=2π3，故b=5，
在△ABC中，因为a=73c，所以a>c，
所以0因为csC=1314，
所以csB=cs[π−(A+C)]=−cs(A+C)=sinAsinC−csAcsC
= 32×3 314+12×1314=1114，
所以sinB= 1−cs2B=5 314，
由正弦定理得a=b⋅sinAsinB=5× 325 314=7．
【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而根据正弦定理可求sinA= 320(Ⅱ)若选条件①：b−a=1，判断A=π3，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用两角和的余弦公式可求csB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理结合已知即可求解a的值；
若选条件②：bcsA=−52，判断A=2π3，求出b，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用两角和的余弦公式可求csB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理结合已知即可求解a的值．
18.【答案】解：(1)因为 3c+bsinA= 3acsB，
所以由正弦定理得： 3sinC+sinBsinA= 3sinAcsB，
即 3sin(A+B)+sinBsinA= 3sinAcsB，
即 3(sinAcsB+csAsinB)+sinBsinA= 3sinAcsB，
所以 3csAsinB+sinBsinA=0，
因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，
所以 3csA+sinA=0，即tanA=− 3，
又因为A∈(0,π)，所以A=2π3；
(2)因为点D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AD=2，
所以∠BAD=∠CAD=12∠BAC=π3，
因为S△ABC=S△ABD+S△ADC，
所以12bcsin2π3=12×2×c×sinπ3+12×2×b×sinπ3，
化简得：bc=2(c+b)，所以bc=2(c+b)≥4 bc，当且仅当b=c时取等号，
解得：bc≥16，当且仅当b=c=4时取等号，
所以S△ABC=12bcsinA= 34bc≥4 3，
所以△ABC面积的最小值为4 3．
【解析】(1)利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得 3csA+sinA=0，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
(2)利用面积相等，即S△ABC=S△ABD+S△ADC，推出bc=2(c+b)，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案．
本题考查利用正、余弦定理，三角恒等变换知识，三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由已知△ABC中cs2B+cs2C−cs2A=1，即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1，
故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即A=π2；
(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12×2，
整理得xy+yz+xz=4 33，
则PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12×4 33=−2 33；
(3)点P为△ABC的费马点，则∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m>0，n>0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)．
故实数t的最小值为2+2 3．
【解析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C−cs2A=1可得a2=b2+c2，即可求得答案；
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
(3)由(1)结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．