2022-2023学年广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学高二（下）第二次学习效率检测数学试卷（港澳台）(含解析）

这是一份2022-2023学年广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学高二（下）第二次学习效率检测数学试卷（港澳台）(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.等差数列{an}中，a2+a3+a4+a5+a6=90，求a1+a7=( )
A. 45B. 15C. 18D. 36
2.设X是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于( )
A. 1B. 1± 22C. 1− 22D. 1+ 22
3.函数f(x)=sinx+2x在R上是( )
A. 偶函数、增函数B. 奇函数、减函数C. 偶函数、减函数D. 奇函数、增函数
4.某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
5.已知定义在[0,3]上的函数f(x)的图像如图，则不等式f′(x)<0的解集为( )
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (0,1)∪(2,3)
6.2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房(含预售)突破了90亿元大关.其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为( )
A. 10B. 14C. 16D. 12
7.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFO=2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )
A. 52B. 2 33C. 2D. 2 33或2
8.已知等比数列{an}中，a3+a5=5，a2a6=4，则a32+a52=( )
A. 20B. 17C. 16D. 15
9.过点(1,1)的直线l被圆C：x2+y2=4截得的弦长最短，则直线l的斜率是( )
A. 1B. 2C. −2D. −1
10.已知P(A∪B)=1924,P(A−)=56,P(B)=34，则事件A与B的关系是( )
A. A与B互斥不对立B. A与B对立
C. A与B相互独立D. A与B既互斥又相互独立
11.已知a=ln22 2,b=ln32 3,c=ln44，则( )
A. b>a>cB. c>b>aC. a>c>bD. c>a>b
12.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，平面PCD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD=AB=1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ满足( )
A. θ=π4
B. csθ=3 1717
C. tanθ=3 24
D. sinθ=2 3417
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.今年3月23−24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩X～N(90,δ2)，且P(X<60)=0.15，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______．
14.设f(x)=2x，则方程f′(x)=ln4的解集为______．
15.已知函数f(x)=x2+alnx的图象在x=1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a= ______．
16.若数列{an}为等比数列，且a1+a2=1，a3+a4=4，则a9+a10=______．
17.如图ABCDEF−A′B′C′D′E′F′为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是______．
18.已知f(x)=|lnx|，x1，x2是方程f(x)=a(a∈R)的两根，且x1三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题15分)
已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
(1)求数列{an}的公比q；
(2)设bn=2lg2(2an)−1，求数列{2bnbn+1}的前n项和Sn．
20.(本小题15分)
甲，乙两个同学同时报名参加某重点高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.已知甲，乙两人审核过关的概率分别为35，12，审核过关后，甲，乙两人文化测试合格的概率分别为34，45．
(1)求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；
(2)设ξ表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求ξ的数学期望．
21.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的 2倍，且右焦点为F(1,0)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l：y=k(x+2)交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为−23.求直线l的方程．
22.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2lnx．
(1)求f(x)的单调性；
(2)若关于x的方程tf(x)−x=0在[1e,1)∪(1,e2]上有两个不相等的零点，求t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：等差数列{an}中，a2+a3+a4+a5+a6=5a4=90，
所以a4=18，
所以a1+a7=2a4=36．
故选：D．
由已知结合等差数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由分布列的性质得
0≤1−2q<10≤q2<10.5+1−2q+q2=1；⇒0∴q=1− 22；.
故选C
由离散型随机变量的分布列的性质，X其每个值的概率都在[0,1]之间，且概率之和为1，得到关于q的不等式组，求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质及应用，属基本运算的考查．
3.【答案】D
【解析】解：f(x)=sinx+2x，则f(−x)=−sinx−2x=−f(x)，
所以f(x)是奇函数，
f′(x)=csx+2>0，
所以f(x)在R上单调递增．
故选：D．
由函数奇偶性的定义可判断奇偶性，由导数即可判断单调性．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查导数的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【解答】
解：依题意，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：n=C52=10，A大学恰好被选中的基本事件为：m=C11C41=4，
所以A大学恰好被选中的概率为：P=mn=25．
故选：B．
【分析】
基本事件总数为n=C52=10，A大学恰好被选中的基本事件为：m=C11C41=4，根据古典概型概率公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：结合函数图象可知，当1故选：B．
先找出函数单调递减的范围，即可求求解．
本题主要考查了导数与单调性关系，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：
①甲分得1张，乙分得3张，有C41=4种分法，
②甲分得2张，乙分得2张，有C42=6种分法，
③甲分得3张，乙分得1张，有C43=4种分法，
则有4+6+4=14种分法；
故选：B．
根据题意，按甲乙分得电影票的数目分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：在Rt△AFO中，因为∠AFO=2∠AOF，
所以∠AOF=30°，则tan30°=ba= 33，
所以e=ca= 1+(ba)2= 1+( 33)2=2 33，
故选：B．
根据题意可得∠AOF=30°，从而tan30°=ba= 33，再由e=ca= 1+(ba)2求解．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：依题意，由等比中项的性质，
可得a3a5=a2a6=4，
则a32+a52
=(a3+a5)2−2a3a5
=52−2×4
=17．
故选：B．
本题根据等比中项的性质及完全平方公式进行推导即可计算出结果．
本题主要考查等比数列的基本运算，考查了整体思想，转化与化归思想，等比中项的性质运用，以及逻辑推理能力，属基础题．
9.【答案】D
【解析】解：由圆x2+y2=4，可得圆心坐标为C(0,0)，
根据圆的性质，可得当过点A(1,1)与圆心C垂直时，此时弦长最短，
因为kAC=1，所以直线l的斜率为k=−1．
故选：D．
根据圆的性质得到过点A(1,1)与圆心C垂直时，此时弦长最短，求得kAC=1，即可求得直线l的斜率．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．
10.【答案】C
【解析】解：由P(A−)=56，可得P(A)=1−P(A−)=1−56=16，
因为P(A)+P(B)=1112≠P(A∪B)，则A与B不互斥，不对立，
由P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)可得P(A∩B)=18，
因为P(A)×P(B)=18=P(A∩B)，所以A与B相互独立．
故选：C．
由互斥事件加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)和独立事件乘法公式P(A∩B)=P(A)⋅P(B)计算判断．
本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：令y=lnxx，则y′=1−lnxx2，
所以x∈(0,e)时，y′>0，x∈(e,+∞)时，y′<0，
即y=lnxx在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，
因为a=ln22 2=ln 2 2，b=ln32 3=ln 3 3，c=ln44=ln224=ln22，
又因为 2< 3<2则y=lnxx在区间(0,e)上单调递增，
所以a故选：B．
通过构造函数y=lnxx，利用y=lnxx的单调性即可比较出a，b，c的大小关系．
本题考查导数的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：因为四边形ABCD为正方形，所以DC⊥DA，
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂底面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，同理可得AD⊥PD，
所以DA，DC，DP两两垂直，
以D为坐标原点，DA,DC,DP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，G(23,23,0)，
所以PG=(23,23,−1)，
易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，
则sinθ=|cs〈PG,n〉|=1 (23)2+(23)2+(−1)2=3 1717，
所以csθ= 1−(3 1717)2=2 3417，tanθ=3 24．
故选：C．
以D为坐标原点，DA,DC,DP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用线面角的坐标表示求解即可．
本题考查面面垂直的性质，考查用向量法计算直线与平面所成的角，属中档题．
13.【答案】135
【解析】解：由X～N(90,δ2)，得正态分布曲线的对称轴为x=90，
因为P(X<60)=0.15，所以P(X>120)=0.15，
则数学成绩为优秀的人数是900×0.15=135．
故答案为：135．
由已知结合正态分布曲线的对称性得P(X>120)=0.15，乘以总人数即可得出答案．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．
14.【答案】{x|x=1}
【解析】解：由题得2xln2=ln4，∴2xln2=2ln2，∴2x=2，∴x=1．
所以方程的解集为{x|x=1}．
故答案为：{x|x=1}．
解方程2xln2=ln4即得解．
本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】−3
【解析】解：由f(x)=x2+alnx，得f′(x)=2x+ax，
则f′(1)=2+a，又f(1)=1，
∴函数f(x)=x2+alnx的图象在x=1处的切线方程为y−1=(2+a)(x−1)，
取x=0，可得y=−2−a+1=−a−1=2，可得a=−3．
故答案为：−3．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由直线方程的点斜式可得函数f(x)的图象在x=1处的切线方程，取x=0得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
16.【答案】256
【解析】解：数列{an}为等比数列，且a1+a2=1，a3+a4=4，
所以q2=a3+a4a1+a2=4，
则a9+a10=(a1+a2)q8=256．
故答案为：256．
由已知结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
17.【答案】611
【解析】解：由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组，
若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组，
若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接AD，C′D，E′D，AB′，AF′，
先考虑下底面，根据正六边形性质可知EF/​/AD/​/BC，所以E′F′//AD//B′C′，
且B′C′=E′F′≠AD，故ADC′B′共面，且ADE′F′共面，
故AF′，DE′相交，且C′D，AB′相交，故共面有2组，
则正六边形对角线AD所对应的有2组共面的面对角线，
同理可知正六边形对角线BE，CF所对的分别有两组，共6组，
故对于上底面对角线A′D′，B′E′，C′F′同样各对两组，共6组，
若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，
所以共面的概率是6+12+12+6C122=611．
故答案为：611．
共面分为平行和相交，平行时，只需要考虑对面平行中的直线即可，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了棱柱的结构特征，属于中档题．
18.【答案】1e
【解析】解：由题意x1，x2是方程|lnx|=a的两根，且x1则a>0，lnx1=−a，lnx2=a，即x1=e−a,x2=ea，
所以ax1x22=ae−a⋅ea⋅ea=aea，(a>0)，
令g(x)=xex，(x>0)，g′(x)=1−xex，
当00，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
则当x=1时，g(x)取最大值1e，
所以ax1x22的最大值是1e．
故答案为：1e．
由题意得lnx1=−a，lnx2=a，即x1=e−a,x2=ea，所以ax1x22=ae−a⋅ea⋅ea=aea，构造函数g(x)=xex，(x>0)，结合函数的单调性及最值求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
所以a1+a4=a1(1+q3)=9,a2a3=a12q3=8，
解得，a1=1，q=2或a1=8，q=12，
又因为数列{an}为递增数列，所以q>1，
所以a1=1，q=2；
(2)数列{an}的通项公式为an=2n−1，
则bn=2lg2(2an)−1=2n−1，
所以2bnbn+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，
∴Sn=1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．
【解析】(1)由等比数列的通项公式计算基本量，从而得出{an}的通项公式；
(2)由(1)可得2bnbn+1=12n−1−12n+1，再由裂项相消法求和即可．
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设A=“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则
P(A)=1−(1−35)(1−12)=45．
(2)ξ=0，1，2，
P(ξ=0)=(1−35×34)(1−12×45)=33100，
P(ξ=2)=(35×34)(12×45)=18100，
P(ξ=1)=1−[P(ξ=0)+P(ξ=2)]=49100．
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0×33100+1×49100+2×18100=1720．
答：(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为45；
(2)ξ的数学期望为1720．
【解析】(1)设A=“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则P(A)=1−(1−35)(1−12)=45．
(2)ξ=0，1，2，P(ξ=0)=(1−35×34)(1−12×45)=33100，P(ξ=2)=(35×34)(12×45)=18100，P(ξ=1)=1−[P(ξ=0)+P(ξ=2)]=49100.由此能求出ξ的分布列和Eξ．
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．
21.【答案】解：(1)由椭圆C的长轴长是短轴长的 2倍，可得a= 2b，
所以( 2b)2=b2+c2，
又F(1,0)，所以( 2b)2=b2+1，解得b=1，
所以a= 2，
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x22+y2=1y=k(x+2)，得(2k2+1)x2+8k2x+8k2−2=0，
则x1+x2=−8k22k2+1，x1x2=8k2−22k2+1，
因为线段AB中点的横坐标为−23，
所以x1+x22=−4k22k2+1=−23，
解得k2=14，即k=±12，经检验符合题意，
所以直线l的方程为y=±12(x+2)．
【解析】(1)根据焦点坐标求得c，根据长轴和短轴的对应关系，以及a2=b2+c2列方程组，可求得a，b的值，进而求得椭圆的标准方程．
(2)联立直线的方程和椭圆的方程，消去y并化简，写出韦达定理，根据AB中点的横坐标求得k的值，进而求解．
本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题的应用，同时考查可计算能力与推理能力，属于中等题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=x2lnx，函数定义域为(0,1)∪(1,+∞)，
可得f′(x)=x(2lnx−1)(lnx)2，
当0当1当x> e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，(1, e)；单调递增区间为( e,+∞)；
(2)若关于x的方程tf(x)−x=0在[1e,1)∪(1,e2]上有两个不相等的零点，
即函数g(x)=lnxx的图象与直线y=t的图象在[1e,1)∪(1,e2]上有两个不同的交点，
可得g′(x)=1−lnxx2，
当00，g(x)单调递增；
当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x=e时，函数g(x)取得极大值也是最大值，最大值g(e)=1e，
又g(1e)=−e，g(e2)=2e2，g(1)=0，
所以实数t的取值范围为[2e2,1e)．
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；
(2)将问题转化成函数g(x)=lnxx的图象与直线y=t的图象在[1e,1)∪(1,e2]上有两个不同的交点，对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性和最值，结合端点值即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．x
−1
0
1
P
0.5
1−2q
q2
ξ
0
1
2
P
33100
49100
18100