2023-2024学年江苏省南通市海门区海门区东洲国际学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门区海门区东洲国际学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.3的相反数为( )
A. −3B. −13C. 13D. 3
2.下列计算正确的是( )
A. 2a2+3a2=5a4B. (a+b)2=a2+b2
C. 2a2⋅a3=2a5D. −3ab22=−9a2b4
3.2020年新冠肺炎席卷全球．据经济日报3月8日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世卫组织捐款2000万美元．其中的2000万用科学记数法表示为( )
A. 20×106B. 2×107C. 2×108D. 0.2×108
4.要使式子 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥1B. x<1C. x≤1D. x≠1
5.关于x的方程x−a2x+1=1的解是负数，则实数a的取值范围是( )
A. a>−1B. a>−1,a≠−12C. a≠−12D. a>−1,a≠0
6.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是( )
A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°
7.如图，把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角▵BEF，若BC= 2，则AB的长度为( )
A. 2B. 2− 2C. 2+ 2D. 43
8.如图，O是坐标原点，平行四边形OABC的顶点A的坐标为−3,4，顶点C在x轴的负半轴上，反比例函数y=−27xx<0的图像经过顶点B，则平行四边形OABC的面积为( )
A. 27B. 18C. 15D. 12
9.矩形纸片ABCD的边AD=10，AB=4，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长为( )
A. 4B. 5.8C. 4.2D. 5
10.如图，点P是∠AOB内任意点，OP=8cm,M,N分别是射线OA，和射线OB上的动点，ΔPMN周长的最小值为8cm，则∠AOB的度数是( )
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数是_____．
12.计算：20210+13−1−( 6)2=_____．
13.国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少．某地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人．则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是____．
14.因式分解：3x3−12x=_____．
15.瑞瑞有一个小正方体，6个面上分别画有线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆这6个图形．抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是______．
16.如图，一海轮位于灯塔P 的 西南方向，距离灯塔40 2海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60∘方向上的B处，航程AB的值为__________(结果保留根号)．
17.如图，已知点P是二次函数y=−x2+3x图像在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=−2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点．若以AB为直角边的▵PAB与▵OAB相似，请求出点P的坐标_______．
18.如图：正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF，DG⊥EF于H交BC于G.若tan∠BHG=34，▵BGH的面积为3，求DK的长为_______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)13−1− 12−π0−4sin60∘+2− 12
(2)先化简，再求值：1x−2x−1÷1x2−x，其中x为整数且满足不等式组x+1<32x+9>5
(3)解方程：5x−4x−2+1=4x+103x−6
20.(本小题8分)
如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线，作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：AB=BE；
(2)若⊙O的半径R=2.5，MB=3，求AD的长．
21.(本小题8分)
2022年，成都将举办世界大学生夏季运动会，这是中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．巴中某校体育社团随机调查了部分同学在田径，跳水，篮球，游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
(1)这次调查的同学共有多少人；
(2)求想观看“篮球”比赛的学生人数及扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数；
(3)现拟从甲，乙，丙，丁四人中任选两名同学担任大运会的志愿者，请利用树状图或列表的方法，求恰好选中甲，乙两位同学的概率．
22.(本小题8分)
为了“绿色出行”，王经理上班出行由自驾车改为乘坐地铁出行，已知他家距上班地点21千米，他用地铁方式平均每小时出行的路程，比用自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，地铁出行所用时间是自驾车方式所用时间的37，求王经理地铁出行方式上班的平均速度．
23.(本小题8分)
如图，张明站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，他测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若张明的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，tan∠BAE=4:3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？(参考数据：根号 3≈1.73，结果保留两位有效数字)
24.(本小题8分)
如图1，以点M(−1,0)为圆心的 圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=− 33x−5 33与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
(1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
(2)如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH=3:2，求cs∠QHC的值；
(3)如图3，点K为线段EC上一动点(不与E、C重合)，连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N.是否存在一个常数a，始终满足MN·MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
如图，▵ABC中，∠C=90∘,AC=8cm,BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA,CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ,RQ，并作▵PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R.设点Q的运动时间为t(s)，△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2).
(1)t为何值时，点Q′恰好落在AB上？
(2)求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
(3)S能否为98？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
26.(本小题8分)
如图1，直线AB过点A(m,0)，B(0,n)，且m+n=20(其中m>0，n>0)．

(1)m为何值时，▵OAB面积最大？最大值是多少？
(2)如图2，在(1)的条件下，函数y=kx(k>0)的图象与直线AB相交于C、D两点，若S▵OCA=18S▵OCD，求k的值．
(3)在(2)的条件下，将▵OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与▵OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t(秒)的函数关系式(0答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：3的相反数是−3．
故选：A．
此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，逐项判断即可．
【详解】解：A，2a2+3a2=5a2≠5a4，计算错误；
B，(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2，计算错误；
C，2a2⋅a3=2a2+3=2a5，计算正确；
D，−3ab22=9a2b4≠−9a2b4，计算正确；
故选C．
本题考查合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
【详解】解：2000万=20000000=2×107．
故选：B．
本题考查了科学记数法；掌握好科学记数法的表示原则是关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，列式得，x−1≥0，解不等式即可．
【详解】解：根据被开方数大于等于0，列式得，x−1≥0，解得x≥1．
故选A．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是本题的解题关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程有解、解为负数，得到关于a的不等式，即可求解．
【详解】解：x−a2x+1=1，
等号两边同时乘以2x+1，得x−a=2x+1，
解得x=−a−1，
∵分式方程有解，
∴2x+1≠0，即2−a−1+1≠0，
解得a≠−12；
∵解是负数，
∴−a−1<0，
解得a>−1，
∴实数a的取值范围是a>−1,a≠−12．
故选B．
本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题的关键是注意隐含条件2x+1≠0．
6.【答案】A
【解析】【分析】首先在优弧BC上取点E，连接BE，CE，由点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】解：在优弧BC上取点E，连接BE，CE，如图所示：
∵∠BDC=130°，
∴∠E=180°−∠BDC=50°，
∴∠BOC=2∠E=100°．
故选A．
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠ADA′=∠B=∠C=∠A=90∘,AD=BC= 2,CD=AB，再根据折叠的性质得出∠ADE=∠AED=45∘，进而得到AE=AD= 2，再根据勾股定理和折叠的性质求解即可．
【详解】补全图形，如图所示，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA′=∠B=∠C=∠A=90∘,AD=BC= 2,CD=AB，
由第一次折叠得∠DA′E=∠A=90∘,∠ADE=12∠ADC=45∘，
∴∠ADE=∠AED=45∘，
∴AE=AD= 2，
根据勾股定理得DE= 2AD=2，
由第二次折叠得CD=DE=2，
∴AB=CD=2，
故选：A．
本题考查了折叠的性质和勾股定理，弄清楚折叠中线段的数量关系是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义得S矩形BDOE=27，进而求得BD，进一步得到AB，根据平行四边形的面积公式即可求得答案．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB//x轴，
∴直线AB⊥y轴，
∴B、A、D三点共线，
∵∠BEC=∠DOE=∠BDO=90∘，
∴四边形BDOE是矩形，
∵函数y=−27xx<0的图象经过顶点B，
∴S矩形BDOE=27，
∵平行四边形OABC的顶点A的坐标为−3,4，
∴AD=3,DO=4，
∴BD⋅DO=27，即BD×4=27，
∴BD=274，
∴OC=AB=BD−AD=274−3=154，
∴S▱OABC=OC⋅OD=154×4=15，
故选C．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，正确得出BD的长是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】设ED=x，由翻折的性质可知：ED=BE=x，则AE=10−x，最后在Rt△ABE中由勾
股定理列方程求解即可．
【详解】解：设ED=x，由翻折的 性质可知：ED=BE=x，则AE=10−x．
Rt△ABE中，由勾股定理可知：BE2=AB2+AE2，
即x2=42+(10−x)2．
解得：x=5.8．
则DE=5.8．
故选B．
本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，由翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=12∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8cm，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，
即CD=8=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：A．
本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
11.【答案】0
【解析】【分析】由于任何一个正数的平方根都有两个，它们互为相反数，由此可以确定平方根等于它本身的数只有0．
【详解】∵± 0=±0=0，
∴0的平方根等于这个数本身．
故答案为0．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12.【答案】−2
【解析】【分析】利用零指数幂、负指数幂及乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】原式=1+3−6=−2．
故答案为：−2．
本题考查了实数的相关运算，解题关键是熟练运用零指数幂、负指数幂及乘方的运算法则．
13.【答案】50%
【解析】【分析】设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据该地区2018年初及2020年初贫困人口的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，
依题意得：4(1−x)2=1，
解得：x1=0.5=50%，x2=1.5(不合题意，舍去)．
故答案为：50%．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】3x(x+2)(x−2)
【解析】【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3−12x
=3x(x2−4)
=3x(x+2)(x−2)，
故答案为3x(x+2)(x−2)．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15.【答案】23
【解析】【分析】抛掷这个正方体一次，共有6种等可能的情况，用所给图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的个数除以6即可．
【详解】解：所给6个图形中既是轴对称又是中心对称的图形有：线段，矩形，菱形，圆，共4个，
因此抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是46=23．
故答案为：23．
本题考查概率计算，轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
16.【答案】40+40 3
【解析】【分析】过点P作PC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质求出AC、PC，根据正切的定义求出BC，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：过点P作PC⊥AB于C，
在Rt▵APC中，∠APC=45∘，AP=40 2海里，
∴AC=PC= 22AP= 22×40 2=40(海里)，
在Rt△BPC中，∠BPC=60∘，tan∠BPC=BCPC，
∴BC=PC⋅tan∠BPC=40 3，
∴AB=AC+BC=(40+40 3)海里，
∴航程AB 的 值为40+40 3，
故答案为：40+40 3．
本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17.【答案】12,54或2,2或114,1116或135,2625
【解析】【分析】分当∠PAB=90∘和∠PBA=90∘，然后分别PB：AB=OA：OB或AB：PB=OA：OB两种情形求解即可．
【详解】解：过点P做PH⊥y轴，交于点H，
设点B坐标为(0,2a)，则直线CD的表达式为：y=−2x+2a，
∴Aa,0，则AB= 5a，
①当∠PAB=90∘时，
设点Px,−x2+3x，
∵以AB为直角边的▵PAB与▵OAB相似，
∴PB：AB=OA：OB=1:2，即PB=12AB= 5a2，

由题意得：PH2+BH2=PB2,AB2+PB2=PA2，
x2+−x2+3x−2a2= 5a22 5a2+ 5a22=−x2+3x2+x−a2，解得：x=12a=12,,
∴点P坐标为12,54；
当AB：PB=OA：OB时，同理可得：点P坐标2,2；
②当∠PBA=90∘时，当PB：AB=OA：OB=1:2时，同理：点P坐标为114,1116，
当AB：PB=OA：OB时，同理可得：点P坐标为135,2625；
综上所述：点P的坐标为12,54或2,2或114,1116或135,2625．
故答案为12,54或2,2或114,1116或135,2625．
本题为二次函数综合知识运用，主要三角形相似、勾股定理运用等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
18.【答案】5
【解析】【分析】如图，连接DE、DF，作BM⊥EF于M，BN⊥DG于N，则四边形BMHN是矩形，由tan∠BHG=tan∠HBM=MHBM=34，可以假设MH=BN=3k,BM=4k，则BH=5k，证明▵EAD≌▵FCD，进而证明▵DEF是等腰直角三角形，则有EH=HF=BH=5k，再根据条件求出k，进一步证明▵DHK∽▵BME，得DKBE=DHBM，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DE、DF，作BM⊥EF于M，BN⊥DG于N.则四边形BMHN是矩形

∵tan∠BHG=tan∠HBM=MHBM=34，
∴设MH=BN=3k,BM=4k，则BH=5k，
在▵EAD和▵FCD中，
AD=DC∠A=∠FCDAE=CF,
∴▵EAD≌▵FCD，
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,
∴∠EDF=∠ADC=90∘，
∴▵EDF是等腰直角三角形，
∵DG⊥EF，
∴EH=HF=BH=5k，
∵HG//BM，
∴▵FHG∽▵FMB，
∴GHBM=HFFM，
∴GH=52k，
∵▵BGH的面积为3，
∴12×52k×3k=3，
∴k2=45，
∵k>0，
∴k=2 55，
∴DH=BH=2 5,EM=4 55,BE= BM2+EM2=4，
∵∠BEM=∠DKH,∠BME=∠DHK，
∴▵DHK∽▵BME，
∴DKBE=DHBM，
DK4=2 58 55，
∴DK=5，
故答案为：5．
本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．
19.【答案】【小问1详解】
原式=3−1−4× 32−2−2 3
=2−2 3−2+2 3
=0；
【小问2详解】
原式=x−1xx−1−2xxx−1⋅xx−1
=x−1−2xxx−1⋅xx−1
=−x−1，
x+1<3①2x+9>5②,
解①得x<2，
解②得x>−2，
∴不等式组的解集为−2∵x为整数，
∴x=−1,0,1，
∵x≠0,x−1≠0，
∴x≠0,x≠1，
∴x=−1，
∴原式=−−1−1=1−1=0；
【小问3详解】
5x−4x−2+1=4x+103x−6
方程两边同乘3x−2，得35x−4+3x−2=4x+10，
解得x=2，
经检验，当x=2时，x−2=0，
∴x=2不是原方程的解，
∴原方程无解．

【解析】【分析】(1)先计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算实数的加减；
(2)先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简，分别解不等式①②，求解不等式的解集，再根据分式有意义的条件和x为整数，进而得出x的值，即可代入求解；
(3)先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，分式的化简求值，解不等式组和解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AC为直径，AP是⊙O的切线，
∴∠MAE=90°，
∴∠MAB+∠BAE=90°，∠AMB+∠AEB=90°，
∵BM=BA，
∴∠BAM=∠BMA，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE；
(2)解：连接BC，∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAE=∠BEA，∠MAE=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△EAM，
∴ACEM=BCAM，∠AMB=∠C，
即56= 52−32AM，
解得，AM=245，
又∵∠C=∠D，
∴∠AMB=∠D
∴AD=AM=245．


【解析】【分析】(1)根据切线的性质得出∠MAE=90°，由等角的余角相等得出∠BAE=∠AEB，进而得证；
(2)根据圆周角定理的推论得出∠ABC=90°，进而可证明△ABC∽△EAM，利用相似三角形的性质求出AM，由圆周角定理证明∠AMB=∠D即可．
本题考查圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，第(2)题证明△ABC∽△EAM是解题的关键．
21.【答案】【小问1详解】
解：根据题意得：54÷30%=180(人)，
即这次被调查的学生共有180人；
【小问2详解】
解：根据题意得：180×1−20%−15%−30%=63(人)，
想观看“篮球”比赛的学生人数为63人，
360∘×1−20%−15%−30%=126∘
即扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126∘；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为212=16．

【解析】【分析】(1)根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
(2)分别用180、360∘乘以观看篮球比赛的学生所占的百分比即可解答；
(3)画树状图，共有12种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，熟练掌握树状图法是解题的关键．
22.【答案】解：设自驾车平均每小时行驶的路程为xkm，根据题意列方程，得
21x×37=212x+5
解得：x=15，
经检验：x=15是原方程的解且符合题意，
则地铁速度为：15×2+5=35km/h，
答：王经理地铁出行方式上班的平均速度为35km/h．

【解析】【分析】设自驾车平均每小时行驶的路程为xkm，根据地铁出行所用时间是自驾车方式所用时间的37，列方程求解即可．
本题考查分式方程的应用，设出未知数，找出题目中的等量关系式解题的关键．
23.【答案】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
tan∠BAE=BEAE=43，
∵AB=10m，
∴BE=8，AE=6，DG=1.5，BG=1，
∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，
AH=AE+EH=6+1=7．
在中，
∵∠C=∠FDC=30∘，DH=9.5，tan30∘=DHCH= 33，
∴CH=9.5 3．
又∵CH=CA+7，
即9.5 3=CA+7，
∴CA≈9.4(米)．
答：CA的长约是9.4米．

【解析】【分析】构造直角三角形，则AB和CD都为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH−AE−EH即为AC长度．
此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
24.【答案】【详解】解：(1)∵直线y=− 33x−5 33中，令y=0，则x=−5，即OE=5；
令x=0，则y=−5 33，故 F点坐标为(0,−5 33)，
∴EF= (−5)2+(−5 33)2=10 33，
∵M(−1,0)，
∴EM=4，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，
∴△EMH∽△EFO，
∴HMOF=EMEF，即r5 33=410 33，
∴r=2；
∵CH是RT△EHM斜边上的中线，
∴CH=12EM=2．
(2)连接DQ、CQ．
∵∠CHP=∠D，∠CPH=∠QPD，
∴△CHP∽△QDP．
∴CH：DQ=HP：PD=2：3，
∴DQ=3．
∴cs∠QHC=cs∠D=34．
(3)如图3，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则∠GTA=90°，
∴∠MAN+∠4=90°，
∵∠3=∠4
∴∠MAN+∠3=90°
由于∠BKO+∠3=90°，故∠BKC=∠MAN；
而∠BKC=∠AKC，
∴∠AKC=∠2，
在△AMK和△NMA中，∠AKC=∠MAN；∠AMK=∠NMA，
故△MAK∽△MNA，MNAM=AMMK；
即：MN⋅MK=AM2=4，
故存在常数a，始终满足MN⋅MK=a，
常数a=4．

【解析】【分析】(1)在直线y=− 33x−5 33中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；
(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QDP，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cs∠QHC的值；
(3)连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．
此题要能够把一次函数的知识和圆的知识结合起来．掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理的推论、锐角三角函数的概念等，此题的综合性较强．
25.【答案】【小问1详解】
如图，连接QQ′，
由题意得，PC=QC,∠C=90∘，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴∠CPQ=45∘，
∵l⊥AC，
∴∠RPQ=∠RPC−∠CPQ=90∘−45∘=45∘，
由对称可知PQ=PQ′,∠QPQ′=90∘,QQ′=2t,QQ′//CA，
∴∠BQQ′=∠BCA，
∵∠B=∠B，
∴▵BQQ′∽▵BCA，
∴BQQQ′=BCCA=34，即6−t2t=34，
解得t=2.4；
【小问2详解】
当0∵PR//BC，
∴∠B=∠ARP,∠C=∠APR，
∴▵RPA∽▵BCA，
∴RPBC=APAC，即RP6=8−t8，
∴RP=8−t⋅34=24−3t4，
∴S=12RP⋅Q′D=12⋅24−3t4⋅t=−38t2+3t；
当2.4由对称可得∠DPE=∠DEP=45∘，
∵∠PDE=90∘，
∴▵DEP是等腰直角三角形，
∴DP=DE，
∵▵RDE∽▵BCA，
∴DRDE=BCAC=68=34，即DR=34DE，
∵▵RPA∽▵BCA，
∴RPPA=BCAC，即RP8−t=68，
∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+34DE=24−3t4，
∴DE=24−3t7，
∴S=12RP⋅DE=12⋅24−3t4⋅24−3t7=956t2−187t+727；
综上，S=−38t2+3t0【小问3详解】
能，理由如下：
若−38t2+3t=98，整理得t2−8t+3=0，
解得t=8±2 132=4± 13，
∵0∴t=4− 13；
若956t2−187t+727=98，整理得t2−16t+57=0，
解得t=16±2 72=8± 7，
∵2.4∴t=8− 7；
综上，当S为98cm2，此时t的值为4− 13秒或8− 7秒．

【解析】【分析】(1)连接QQ′，先证明△PCQ是等腰直角三角形，可得∠CPQ=45∘，再通过证明▵BQQ′∽▵BCA，根据相似三角形的性质进行求解即可；
(2)分两种情况讨论，当0(3)分别使−38t2+3t=98，956t2−187t+727=98，解一元二次方程即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程的求解，轴对称的性质，二次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
26.【答案】【小问1详解】
解：∵A(m,0)，B(0,n)，
∴OA=m，OB=n．
∴S▵AOB=mn2．
∵m+n=20，
∴n=20−m，
∴S▵AOB=m20−m2=−12m2+10m=−12m−102+50
∵a=−12<0，
∴抛物线的开口向下，
∴m=10时，S最大=50；
【 小问2详解】
∵m=10，m+n=20，
∴n=10，
∴A10,0，B0,10，
设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得
0=10k+b10=b,
解得：k=−1b=10,
y=−x+10．
∵S▵OCA=18S▵OCD，
∴设S▵OCD=8a.则S▵OAC=a，
由双曲线的对称性，可知：S▵OBD=S▵OAC=a，
∴S▵AOB=10a，
∴10a=50，
∴a=5，
∴S▵OAC=a=5,S▵OCD=8a=40，
∴12OA⋅yC=5，
∴yC=1．
∴1=−xC+10，
∴xC=9
∴C9,1，
∴1=k9，
∴k=9；
【小问3详解】
移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′(t,0)，
O′A=10−t，O′E=10．
∵C′D′//CD，
∴▵O′C′D′∽▵O′CD,O′C′OC=O′AO′E，
∴O′D′O′D=O′C′OC=O′AO′E=10−t10，
∴S▵O′C′D′S▵O′CD=O′D′O′D2=10−t102
∴S=S▵O′CD⋅10−t102=40⋅10−t102，
∴S=25t2−8t+40(0
【解析】【分析】(1)由A(m,0)，B(0,n)，可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面积公式就可以求出结论；
(2)由(1)的结论可以求出点A点B的坐标，就可以求出直线AB的解析式，根据双曲线的对称性就可以求出S△OBD=S△OAC的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；
(3)根据平移的性质可以求得▵O′C′D′∽▵O′CD，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S▵O′CD的面积关系，从而可以求出S与运动时间t之间的函数关系式．
本题考查了二次函数的最值的运用，反比例函数的图象的对称性的运用，相似三角形的相似比与面积之比的关系的运用，动点问题直线问题的运用，解答时求出函数的解析式及交点坐标是解答本题的关键．