2023-2024学年江苏省南通市启东市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市启东市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法中，正确的是( )
A. 不可能事件发生的 概率为0
B. 随机事件发生的概率为12
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
2.将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
( )
A. y=(x−3)2+4B. y=(x+3)2+4C. y=(x+3)2−4D. y=(x−3)2−4
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=100∘，则∠ABC的度数为
( )
A. 80∘B. 130∘C. 50∘D. 50∘或130∘
4.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A1,0，B5,0，下列说法正确的是
( )
A. c<0B. b2−4ac<0
C. a−b+c<0D. 图象的对称轴是直线x=3
5.如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是( )
A. 27cm2B. 54cm2C. 27πcm2D. 54πcm2
6.将分别标有“最”、“美”、“宜”、“昌”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率是( )
A. 16B. 18C. 14D. 516
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是
( )
A. 当x<0时，y随x的增大而增大
B. 当x=4时，y=−2
C. 顶点坐标为(1,2)
D. x=−1是方程ax2+bx+c=0的一个根
8.如图，⊙O是▵ABC的外接圆，半径为5cm，若BC=5cm，则∠A的度数为
( )
A. 30∘B. 25∘C. 15∘D. 10∘
9.已知二次函数y=x2+2(m−2)x−m+2的图象与x轴最多有一个公共点，若y=m2−2tm−3的最小值为3，则t的值为
( )
A. −12B. 32或−32C. −52或−32D. −52
10.已知▵ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1,D是BC上一动点，DM,DN分别切⊙A于点M,N,⊙A的另一条切线交DM,DN于点E,F，则▵DEF周长l的取值范围是
( )
A. 4 2≤l≤6B. 4≤l≤ 23C. 23≤l≤4 2D. 4 2≤l≤2 10
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.二次函数y=2(x−1)2−5的最小值是______．
12.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
那么这种油菜籽发芽的概率是__________(结果精确到0.01)
13.如图，点O是▵ABC外接圆的圆心，点I是▵ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI=35∘，则∠OBC的度数为______．
14.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是__________．
15.如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为58π米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为______．
16.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为______m．
17.如图，点P(3,4)，⊙P半径为2，A(2.8,0)，B(5.6,0)，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是________．
18.对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数y=x2+2x+c(c为常数)有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是___________．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−112x2+23x+53，铅球运行路线如图．
(1)求铅球推出的水平距离；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m．
20.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE/​/AB．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
(2)在(1)的条件下，求证：BD=BF．
21.(本小题8分)
为了响应国家有关开展中小学生：“课后服务”的政策，某学校课后开设了五门课程供学生选择，分别是A：足球：B：书法：C：阅读：D：绘画：E：合唱．学生需要从中选报自己喜欢的两门课程．
(1)若甲同学选第一门课程时，从上面课程中随机挑选一门，则甲同学选中“A：足球”的概率为_______．
(2)若甲同学和乙同学第一次都选择了“A：足球”，第二次都从剩余课程里随机选一门课程，那么他们第二次选课相同的概率是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明．
22.(本小题8分)
如图，▵ABC中，DC为⊙O 的 直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，A为切点，且AC=AB，

(1)求∠ACB的度数；
(2)若BD=6，求图中阴影部分的面积．
23.(本小题8分)
如图，5个座位排成一排，一个座位上坐1人，张老师先坐在最中间的位置．
(1)甲等可能地坐在其他空座位上，则甲与张老师相邻而坐的概率等于______；
(2)甲、乙2人等可能地坐到其他4个空座位中的2个座位上(如图，记其余4个空座位的标号分别为1，2，3，4)，请用画“树状图”或列表格的方法，求甲与张老师不相邻，但和乙相邻的概率．
24.(本小题8分)
已知，二次函数y=ax2−2ax+3(a≠0)．
(1)若该图象过点(3,6)，求a的值；
(2)当0≤x≤3时，y的最大值是92，求a的值；
(3)当a>0时，若Am,y1,Bm+1,y2,Cm+3,y3在函数图象上，且y225.(本小题8分)
如图1，点G为等边▵ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO=DG，连接GB,GC,OB,OC.以点O为圆心，OG为半径作⊙O．

(1)请判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明；
(2)如图2，点M为劣弧BC上一动点(与点B，点C不重合)，连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．
26.(本小题8分)
如图1，抛物线y=−x2+bx与x轴交于点A，与直线y=−x交于点B4,−4，点C0,−4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线y=−x2+bx的表达式；
(2)当BP=2 2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由．
(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【详解】试题分析：不可能事件发生的概率为0，故A正确；
随机事件发生的概率为在0到1之间，故B错误；
概率很小的事件也可能发生，故C错误；
投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D错误；
故选A．
考点：随机事件．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y=(x−3)2+4．
故选：A．
本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】此题考查圆周角性质，圆内接四边形的性质，根据∠AOC=100∘，得到∠ADC=50∘，利用四边形ABCD内接于⊙O，得到∠ADC+∠ABC=180∘由此求出∠ABC=130∘，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角性质是解题的关键．
【详解】解：∵∠AOC=100∘，
∴∠ADC=50∘
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180∘
∴∠ABC=130∘
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以b2−4ac>0，B选项错误；
观察图象可知x=−1时y=a−b+c>0，所以a−b+c>0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是(1,0).(5,0)两点的中垂线，x=1+52，
x=3即为函数对称轴，D选项正确；
故选D
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据圆锥的 侧面积公式S=πrl求解即可得．
【详解】解：由图可知，圆锥的底面半径为62cm=3cm，母线长为9cm，
则圆锥的侧面积为π×3×9=27πcm2，
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是27πcm2，
故选：C．
本题考查了圆锥的侧面积，熟记公式是解题关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率为212=16，
故选：A．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】B
【解析】【分析】利用待定系数法求出二次函的解析式，得出顶点坐标，可判断选项C；由函数的增减性质可判断选项A；代入x=4，可求得y的值，可判断选项B；由x=−1时，y=0，可判断选项D；即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a−b+c=0c=1.5a+b+c=2，解得a=−12b=1c=32,
∴二次函数y=ax2+bx+c的解析式为y=−12x2+x+32=−12(x−1)2+2，
∴顶点坐标为(1,2)，选项C不符合题意；
∵−12<0,开口向下，∴x<1时，y随x的增大而增大，
∴x<0时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
当x=4时，y=−2.5，选项B符合题意；
∵x=−1时，y=0，∴x=−1是方程ax2+bx+c=0的一个根，选项 D不符合题意；
故选：B．
本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】连接OB和OC，证明▵OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【详解】解：连接OB和OC，

∵⊙O半径为5cm，BC=5cm，
∴OB=OC=BC，
∴▵OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60∘，
∴∠A=12∠BOC=30∘，
故选：A．
本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
9.【答案】D
【解析】【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据二次函数y=x2+2(m−2)x−m+2的图象与x轴最多有一个公共点，得Δ=2m−22−4−m+2≤0，求得1≤m≤2，再根据y=m2−2tm−3的最小值为3，分类讨论，求出t值即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2(m−2)x−m+2的图象与x轴最多有一个公共点，
∴Δ=2m−22−4−m+2≤0
化简得m2−3m+2≤0
解得：1≤m≤2，
∵y=m2−2tm−3=m−t2−t2−3，
∵a=1>0，抛物线开口向上，
当t<1时，∵1≤m≤2，y随m增大而增大，
∴m=1时y值最小，此时最小值为1−t2−t2−3=−2t−2
∵y=m2−2tm−3的最小值为3，
∴−2t−2=3
解得：t=−52；
当1≤t≤2时，
当m=t时，y有最小值−t2−3
∵y=m2−2tm−3的最小值为3，
∴−t2−3=3
此时t无解；
当t>2时，∵1≤m≤2，y随m增大而减小，
∴m=2，y值最小，此时最小值为2−t2−t2−3=−4t+1
∵y=m2−2tm−3的最小值为3，
∴−4t+1=3
解得t=−12(舍去)；
综上，若y=m2−2tm−3的最小值为3，则t=−52．
故选：D．
10.【答案】C
【解析】【分析】连接AD，AM，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得l=2 AD2−1，根据垂线段最短可得，当AD⊥BC时，AD最小，求出AD最小值为3 32，当点D与点B(或C)重合时，AD最长，此时AD=3，即可得出3 32≤AD≤3，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
【详解】解：连接AD，AM，设EF切⊙A于G，

∵DM，DN分别是⊙A的切线，
∴DM=DN，
∵EF是⊙A的切线，
∴EM=EG，FN=FG，
∴EF=EG+FG=EM+FN，
∴▵DEF周长l=DE+EF+DF=DE+EM+FN+DF=DM+DN=2DM，
∵DM是⊙A的切线，
∴AM⊥DM，
∴DM= AD2−AM2= AD2−1，
∴l=2 AD2−1，
∴当AD最小时，l最小，当AD最大时，l最大；
根据垂线段最短可得，当AD⊥BC时，AD最小，
∵▵ABC是边长为3的等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=12BC=32，
由勾股定理得：AD= 32−322=3 32，
当点D与点B(或C)重合时，AD最长，此时AD=3，
∴3 32≤AD≤3，
∴ 23≤l≤4 2．
故选：C．
本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得l=2 AD2−1，以及当AD⊥BC时，AD最小，点D与点B(或C)重合时，AD最长是解题的关键．
11.【答案】−5
【解析】【分析】由二次函数的定顶点式可得当x=1时，y取得最小值−5．
【详解】解：∵y=2(x−1)2−5，
∴当x=1时，y取得最小值−5，
故答案为−5．
本题考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
12.【答案】0.95
【解析】【分析】对于不同批次的某种菜籽的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
【详解】解：x=96+284+380+571+948+1902+2848÷100+300+400+600+1000+2000+3000
=7209÷7400
=0.94986…
≈0.95
故答案是：0.95．
本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到 知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】20∘##20度
【解析】【分析】连接OC，由点I是▵ABC的内心可得AI平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠CAI=70∘，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=140∘，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OC，
AI ，
∵点I是▵ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI=35∘，
∴∠BAC=2∠CAI=2×35∘=70∘，
∵点O是▵ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC=2∠BAC=2×70∘=140∘，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12×180∘−∠BOC=12×180∘−140∘=20∘，
故答案为：20∘．
本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
14.【答案】512
【解析】【分析】根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．
【详解】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．
上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色，
所以可配成紫色的 概率是512，
故答案为：512．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
15.【答案】90∘##90度
【解析】【分析】由l=nπr180,直接代入数据进行计算即可．
【详解】解：如图，由题意得：lKS⌢=58π,QK=QS=1.25,
设∠KQS=n,
∴nπ×1.25180=58π,
解得：n=90∘,
故答案为：90∘
本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键．
16.【答案】94m
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意．求出抛物线解析式．根据题意求出抛物线顶点坐标为(1,3)，把(3,0)代入可得解析式，再令x=0求出y值即可得到答案．
【详解】解：如图，

根据题意抛物线顶点坐标为(1,3)，与x轴交点坐标为(3,0)；
设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3，
把(3,0)代入得：0=4a+3，
解得a=−34，
∴y=−34(x−1)2+3，
令x=0得：y=94，
∴水管OA的高度应为94m．
故答案为：94m．
17.【答案】32##1.5
【解析】【详解】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．
∵点P(3,4)，A(2.8,0)，B(5.6,0)，
∴OP= 32+42=5，AO=2.8，OB=5.6，
∴AB=5.6−2.8=2.8，
∴OA=AB，
又∵CM=CB，
∴AC=12OM，
∴当OM最小时，AC最小，
∴当M运动到M′时，OM最小，
此时AC的最小值=12OM′=12(OP−PM′)=32．
考点：1、点与圆的位置关系；2、坐标与图形性质；3、三角形中位线定理
18.【答案】−2【解析】【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c(c为常数)的不动点，根据二次函数y=x2+2x+c(c为常数)有两个不相等且都小于1的不动点得到关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根是都小于1，设这两个实数根为a1,a2，得到Δ=1−4c>0，且a1−1a2−1>0，即可求出答案．
【详解】解：设a是二次函数y=x2+2x+c(c为常数)的不动点，
则a2+2a+c=a，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c(c为常数)有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根是都小于1，
设这两个实数根为a1,a2，则a1+a2=−1,a1a2=c，
∴Δ>0,a1<1,a2<1，
∴Δ=1−4c>0，且a1−1a2−1>0，
∴c<14，a1a2−a1+a2+1>0，
∴c+1+1>0，
∴c>−2
∴−2故答案为：−2此题考查了二次函数的综合应用，涉及新定义，一元二次方程的解的判定及一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握各知识点是解题的关键．
19.【答案】解：令y=0，则−112x2+23x+53=0
x2−8x−20=0
(x−10)(x+2)=0
x1=10，x2=−2(舍去)
∴铅球推出的水平距离为10m．
(2)当y=4时，−112x2+23x+53=4
x2−8x=−28
(x−4)2=−12<0
∴铅球行进高度不能达到4m

【解析】【分析】(1)利用y=0解方程得出答案；
(2)令y=4，代入解析式验证即可；
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出函数顶点式是解题关键．
20.【答案】【小问1详解】
解：方法不唯一，如图所示．
【小问2详解】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
又∵CE//AB，
∴∠ABC=∠BCF，
∴∠BCF=∠ACB．
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BDC=90∘．
又∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF=90∘．
∵CE//AB，
∴∠BFC+∠ABF=180∘，
∴∠BFC=90∘，
∴∠BDC=∠BFC．
∵在▵BCD和▵BCF中，
∠BCD=∠BCF,∠BDC=∠BFC,BC=BC,
∴▵BCD≌▵BCFAAS．
∴BD=BF．

【解析】【分析】(1)根据尺规作图，过点B作AB的垂线，交CE于点F，即可求解；
(2)根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明∠BDC=∠BFC，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出BCD=∠BCF，进而证明▵BCD≌▵BCFAAS，即可得证．
本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21.【答案】【小问1详解】
解：从5门课程中随机挑选一门，则甲选中课程A的概率为15；
故答案为：15．
【小问2详解】
根据题意画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们第二次选课相同的结果数为4，所以他们第二次选课相同的概率为416=14．

【解析】【分析】(1)直接利用概率公式计算；
(2)画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出他俩第二次选课相同的结果数，然后根据概率公式计算．
本题主要考查了列表法或树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22.【答案】【小问1详解】
解：连接OA，

∵AB是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠BAO=90∘，
又∵AB=AC，OA=OC，
∴∠B=∠ACB=∠OAC，
设∠ACB=x∘，则在▵ABC中，有：x∘+x∘+x∘+90∘=180∘，
解得：x=30，
∴∠ACB的度数为30∘；
【小问2详解】
解：∵∠ACB=∠OAC=30∘，
∴∠AOC=120∘，
∵∠BAO=90∘，BD=6，∠B=30∘，
∴OB=2OA=2OD，
∴OD=BD=6=OA，
∴CD=12，
∴AD=12CD=6，
∴AC= 3AD=6 3，
∴S▵AOC=12S▵ACD=12×12AC⋅AD=14×6 3×6=9 3，
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积−三角形AOC的面积，
∴120π×62360−9 3=12π−9 3，
∴阴影部分的面积为12π−9 3．

【解析】【分析】(1)根据切线的性质证明∠B=∠ACB=∠OAC，进而求得∠ACB的度数；
(2)根据阴影部分的面积=扇形AOC的面积−三角形AOC的面积即可解决问题．
本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握切线的性质和扇形面积公式是解题关键．
23.【答案】【小问1详解】
解：甲与张老师相邻而坐的概率=24=12；
【小问2详解】
解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中甲与张老师不相邻，但和乙相邻的结果数为2，
所以甲与张老师不相邻，但和乙相邻的概率=212=16．

【解析】【分析】本题考查了概率公式和用列表法与树状图法求概率．利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
(1)直接根据概率公式求解；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出甲与张老师不相邻，但和乙相邻的结果数，然后根据概率公式求解．
24.【答案】【小问1详解】
解：把点3,6代入y=ax2−2ax+3中，得
6=9a−6a+3，
∴a=1；
【小问2详解】
解：抛物线的对称轴为x=−−2a2a=1，
当a>0时，∵当0≤x≤3时，y的最大值是92，
∴当x=3时，y=92，
∴把3,92代入y=ax2−2ax+3中，得a=12；
当a<0时，∵当0≤x≤3时，y的最大值是92，
∴当x=1时，y=92，
∴把1,92代入y=ax2−2ax+3中，得a=−32；
∴综上所述，a的值为12或−32；
【小问3详解】
解：抛物线的对称轴为x=−−2a2a=1，
当a>0时，∵y2∴m+1<1+12m+1−m，m+3>1+12m+3−m
∴−12
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数的最值．
(1)把点3,6代入y=ax2−2ax+3中，求解即可；
(2)分两种情况：当a>0时，当a<0时，根据最大值是92，求解即可；
(3)根据当a>0时，y21+12m+3−m，求解即可．
25.【答案】【小问1详解】
解：直线AB与⊙O的位置关系是相切，
证明：∵▵ABC是等边三角形，G是重心，点D为BC边的中点，
∴连接点A、G、D，其所在直线是BC的垂直平分线，
∴GO⊥BC，且BD=DC，
∵DO=DG，
∴GO与BC互相垂直且平分，
∴四边形BOCG是菱形；
又∵等边▵ABC中，∠ABC=60∘，BG为∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠GBO=30∘，
∴∠CBO=∠GBC=30∘，
∵∠ABO=∠ABG+∠GBC+∠CBO=90∘，
∴AB⊥OB，
∴AB与⊙O相切；
【小问2详解】
证明：∵∠BGC与∠BMG对应的弦为BC，
∴∠BMC=∠BGC=180∘−60∘=120∘，
∴∠MBC=180∘−120∘−∠MCB=60∘−∠MCB，
∵∠ACB=60∘，
∴∠ACF=60∘−∠MCB，
∴∠ACF=∠MBC，
∵∠BCE=∠A=60∘，BC=AC，
∴▵BEC≌▵FCA(ASA)，
∴AF=CE，
∵AE+CE=AC，
∴AE+AF=AE+CE=AC，
即AE+AF为定值．

【解析】【分析】(1)直线AB与⊙O的位置关系是相切，先四边形BOCG是菱形，再由等边三角形的性质得出∠ABG=∠GBO=30∘，结合菱形的性质和切线的判定定理即可得证；
(2)先求出∠BMC，再说明▵BEC≌▵FCA(ASA)，从而得出AF=CE，结合AE+CE=AC可得AE+AF=AE+CE=AC，即AE+AF为定值．
本题考查切线的判定和性质，与圆有关的性质概念，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题关键．
26.【答案】【小问1详解】
解：∵抛物线y=−x2+bx过点B4,−4，
∴−16+4b=−4，
∴b=3，
∴y=−x2+3x；
【小问2详解】
四边形OCPD是平行四边形．
理由：如图1，作PD⊥OA交抛物线于点D，垂足为H，连接PC，OD．
∵点P在y=−x上，
∴OH=PH，∠POH=45∘，
连接BC，
∵OC=BC=4，
∴OB=4 2，
∵BP=2 2，
∴OP=OB−BP=2 2，
∴OH=PH= 22OP= 22×2 2=2，
当xD=2时，DH=yD=−4+3×2=2，
∴PD=DH+PH=2+2=4，
∵C0,−4，
∴OC=4，
∴PD=OC，
∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，
∴PD//OC，
∴四边形OCPD是平行四边形；
【小问3详解】
如图2，由题意得，BP=OQ，连接BC．
在OA上方作▵OMQ，使得∠MOQ=45∘，OM=BC，
∵OC=BC=4，BC⊥OC，
∴∠CBP=45∘，
∴∠CBP=∠MOQ，
∵BP=OQ，∠CBP=∠MOQ，BC=OM，
∴△CBP≌△MOQSAS，
∴CP=MQ，
∴CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当M，Q，B三点共线时最短)，
∴CP+BQ的最小值为MB，
∵∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45∘+45∘=90∘，
∴MB= OM2+OB2= 42+4 22=4 3，
即CP+BQ的最小值为4 3．

【解析】【分析】(1)用待定系数法求二次函数解析式即可；
(2)作PD⊥OA交抛物线于点D，垂足为H，连接PC，OD，由点P在y=−x上，可知OH=PH，∠POH=45∘，连接BC，得出OB=4 2，则OH=PH= 22OP= 22×2 2=2，当xD=2时，DH=yD=−4+3×2=2，进而得出PD=OC，然后证明PD//OC，即可得出结论；
(3)由题意得，BP=OQ，连接BC.在OA上方作▵OMQ，使得∠MOQ=45∘，OM=BC，证明△CBP≌△MOQSAS，根据CP+BQ=MQ+BQ≥MB得出CP+BQ的最小值为MB，利用勾股定理求得MB，即可得解．
本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
x
−2
−1
0
1
2
y
−2.5
0
1.5
2
1.5
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
284
380
571
948
1902
2848
1
2
张老师
3
4
红
蓝
蓝
红
(红，红)
(蓝，红)
(蓝，红)
蓝
(红，蓝)
(蓝，蓝)
(蓝，蓝)
红
(红，红)
(蓝，红)
(蓝，红)
黄
(红，黄)
(蓝，黄)
(蓝，黄)