2022-2023学年福建省南安市柳城中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省南安市柳城中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若csα+sinα=−12，则sin2α=( )
A. −38B. 38C. −34D. 34
2.若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a⊥(a+b)，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.若△ABC的外接圆半径R=56，csB=35，csA=1213，则c=( )
A. 3B. 2C. 32D. 2113
4.已知向量a=(6,−2)，b=(1,m)，且a⊥b，则|a−2b|=( )
A. 8B. 4 5C. 10D. 8 2
5.已知向量a=(1,2)，A(6,4)，B(4,3)，b为向量AB在向量a上的投影向量，则|b|=( )
A. 4 55B. 1C. 5D. 4
6.已知函数f(x)=sin(2x+π6)，则下列结论中错误的是( )
A. f(x)的最小正周期为πB. y=f(x)的图象关于直线x=7π6对称
C. f(x)在区间(π6,2π3)上单调递减D. f(x+π4)的一个零点为x=7π24
7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=12 (ab)2−(a2+b2−c22)2.根据此公式，若acsB+(b−2c)csA=0，且b2+c2−a2=4，则△ABC的面积为( )
A. 6B. 2 3C. 3D. 3 2
8.已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. (0,12]B. (0,2]C. [12,54]D. [12,34]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知sin(α+π)+2sin(α+π2)=0，则( )
A. tanα=−2B. tanα=2
C. sinα+csαsinα−csα=13D. sinα+csαsinα−csα=3
10.若函数f(x)=3sin(2x−π6+φ)是偶函数，则φ的值不可能为( )
A. π6B. π2C. 2π3D. 5π6
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a= 7,b=2,A=π3，则( )
A. c=3B. sinB= 217
C. sinC= 217D. △ABC外接圆的面积为7π3
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，sinA：sinB：sinC=2：3：4，下列结论正确的有( )
A. a：b：c=2：3：4B. sinA−sinB2sinC=18
C. 最小角的正弦值78D. 最大角的余弦值为−14
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为π3，若(ka−b)⊥a，则k的值为______．
14.已知向量a=(2,2)，b=(1,0)，则a在b上的投影向量的坐标为______．
15.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2absin C= 3(b2+c2−a2)，若a= 13，c=3，则△ABC的面积为 ．
16.将函数f(x)=2sin(ωx−π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y=g(x)的图象，若数y=g(x)在[−π4,π3]上为增函数，则ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
己知向量a=(2,3)，b=(m,2)，c=(−l,2)．
(1)若3a+2b与a−3b共线，求m；
(2)若b⊥c，求|2a−b+c|.
18.(本小题12分)
已知在平面直角坐标系xy中，锐角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(35,45)．
(1)求sinα+2csαsinα−csα的值；
(2)若β∈(−π2,0)，且sin(α+β)=−13，求csβ的值．
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且C=π3，c=4．
(Ⅰ)若sinA=34，求a；
(Ⅱ)若△ABC的面积等于4 3，求a，b．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=12sin(2x+π4)，x∈R．
(1)求f(x)的最大值和对应x的取值；
(2)求f(x)在[−π2,π2]的单调递增区间．
21.(本小题12分)
四边形ABCD中，AD//BC，AB=2，AD=1，A=2π3．
(1)求sin∠ADB；
(2)若sin∠BDC=2π3，求四边形ABCD的面积．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12．
(1)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域；
(2)若关于x的方程f2(x)−(m+1)f(x)+m=0在区间[0,π2]上恰有三个不同的实根，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，同角三角平方关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
由sin2α=(csα+sinα)2−1，得解．
【解答】解：因为csα+sinα=−12，
所以sin2α=2sinαcsα
=(csα+sinα)2−1=(−12)2−1=−34．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量夹角公式，向量垂直的充要条件，属于基础题．
根据条件可得出a⋅b=−1，然后即可求出cs的值，从而得出答案．
【解答】
解：∵a⊥(a+b)，
∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=1+a⋅b=0，
∴a⋅b=−1，
∴cs=a⋅b|a||b|=−11×2=−12，
又∈[0,π]，
∴a与b的夹角为2π3．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：由csB=35>0，则B为锐角，所以sinB=45，
由csA=1213>0，则A为锐角，所以sinA=513，
则sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=6365，
可得：c=2RsinC=106×6365=2113．
故选：D．
根据同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理求得c．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了正弦定理的应用，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质，向量的运算，向量的模．
由题意利用两个向量垂直的性质，求出a−2b 的坐标，可得它的模．
【解答】
解：∵向量a=(6,−2)，b=(1,m)，且a⊥b，
∴a⋅b=6−2m=0，
∴m=3，∴a−2b=(4,−8)，
则|a−2b|= 16+64=4 5，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得，AB=(−2,−1)，
由向量投影的定义可得，|b|=|AB⋅a|a||=|−2×1−2×1 5|=4 55．
故选：A．
先求出AB的坐标，然后根据向量投影的定义可得，|b|=|AB⋅a|a||，代入即可求解．
本题主要考查了向量投影的定义及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
6.【答案】D
【解析】解：f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π，故A正确；
∵f(7π6)=sin(7π3+π6)=sin(2π+π2)=1，
∴y=f(x)的图象关于直线x=7π6对称，故B正确；
由x∈(π6,2π3)⇒2x+π6∈(π2,3π2)，而正弦函数在(π2,3π2)上单调递减，
∴f(x)在区间(π6,2π3)上单调递减，故C正确；
∵f(x+π4)=sin[2(x+π4)+π6]=cs(2x+π6)，
又cs(2×7π24+π6)=cs3π4≠0，
∴x=7π24不是f(x+π4)的一个零点，故D错误．
故选：D．
根据三角函数的图象与性质一一判定即可．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：∵acsB+(b−2c)csA=0，
∴sinAcsB+(sinB−2sinC)csA=0，
∴sinAcsB+sinBcsA−2sinCcsA=0，
∴sin(A+B)−2sinCcsA=0，
∴sinC(1−2csA)=0，∵sinC≠0，
∴1−2csA=0，解得：csA=12=b2+c2−a22bc，
∴b2+c2−a2=bc=4，
∴S=12 (bc)2−(b2+c2−a22)2=12 42−(42)2= 3，
故选：C．
根据acsB+(b−2c)csA=0，求出csA=12，再根据余弦定理以及b2+c2−a2=4，求出bc的值，代入三角形面积公式即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
由题意利用正弦函数的单调性可得关于ω的不等式，求解即可．
【解答】
解：∵x∈(π2,π)，ω>0，
∴ωx+π4∈(12ωπ+π4,ωπ+π4)，
∵函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减，
∴周期T=2πω≥π，解得ω≤2
∵f(x)=sin(ωx+π4)的减区间满足：
π2+2kπ<ωx+π4<3π2+2kπ，k∈Z
∴取k=0，得12ωπ+π4≥π2ωπ+π4≤3π2，解之得12≤ω≤54，
故选：C．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得tanα以及sinα+csαsinα−csα的值，从而得出结论．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：∵sin(α+π)+2sin(α+π2)=0，∴−sinα+2csα=0，∴tanα=sinαcsα=2，
故A错误，B正确；
∴sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=3，故C错误，且D正确，
故选：BD．
10.【答案】ABD
【解析】解：由题意及三角函数的性质，可得−π6+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得：φ=kπ+2π3,k∈Z，
当k=0时，可得φ=2π3，无论k取何值，φ都不可能等于π6或π2或5π6．
故选：ABD．
由题意及三角函数的性质，求得φ=kπ+2π3,k∈Z，结合选项，即可求解．
本题考查偶函数的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为a= 7,b=2,A=π3，
由余弦定理得，a2=7=4+c2−2×2c×12，
所以c=3，A正确，
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R，
所以sinB=2× 32 7= 217，sinC=3 2114，R= 213，
所以△ABC外接圆的面积S=πR2=7π3，B正确，C错误，D正确．
故选：ABD．
由已知结合正弦定理，余弦定理分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：对于A，由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC，故A正确；
对于B，由sinA：sinB：sinC=2：3：4，可设sinA=2k，sinB=3k，sinC=4k，
故sinA−sinB2sinC=2k−3k2×4k=−18，故B错误；
对于C，由a：b：c=2：3：4可知角A为最小角，设a=2t，b=3t，c=4t，
故csA=b2+c2−a22bc=9t2+16t2−4t22×3t×4t=78，则sinA= 158，故C错误；
对于D，由C的分析可知C为最大角，则csC=b2+a2−c22ab=9t2+4t2−16t22×2t×3t=−14，
故D正确，
故选：AD．
由正弦定理可判断A；由sinA：sinB：sinC=2：3：4，可设sinA=2k，sinB=3k，sinC=4k，丛而可判断B；根据题意可判断出最小角和最大角，由余弦定理可求得其值，判断C，D．
本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用等知识，属于中等题．
13.【答案】23
【解析】解：∵(ka−b)⊥a，
∴(ka−b)⋅a=ka2−a⋅b=9k−3×4×csπ3=9k−6=0，
解得k=23．
故答案为：23．
由(ka−b)⊥a，得到(ka−b)⋅a=9k−6=0，再求出k的值．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】(2,0)
【解析】解：由题意得：a在b上的投影向量的坐标为a⋅b|b|⋅b|b|=(2,2)(1,0)1⋅(1,0)1=(2,0)．
故答案为：(2,0)．
利用投影向量公式进行计算．
本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
15.【答案】3 3
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式，熟练掌握公式是解决本题的关键，属于基础题．
根据正弦定理和余弦定理求出角A的度数，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：由2absinC= 3(b2+c2−a2)，
得2absinC= 3⋅b2+c2−a22bc⋅2bc=2 3bccsA，
即asinC= 3ccsA，
由正弦定理得sinAsinC= 3sinCcsA，
因为C为三角形内角，所以sinC≠0，
得tanA= 3，又在△ABC中，则A=π3，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
即13=b2+9−6b×12，
整理得b2−3b−4=0，解得b=4或b=−1(舍)，
则三角形的面积S=12bcsinA=12×4×3× 32=3 3，
故答案为：3 3．
16.【答案】(0,32]
【解析】【分析】
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查正弦函数的单调性及运算求解能力，属于中档题．
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求得g(x)=2sinωx(ω>0)，再解不等式组−π4ω≥−π2π3ω≤π2可得答案．
【解答】
解：g(x)=f(x+π3ω)=2sin[ω(x+π3ω)−π3]=2sinωx(ω>0)，
∵y=g(x)在[−π4,π3]上为增函数，
∴−π4ω≥−π2π3ω≤π2，解得0<ω≤32，
故答案为：(0,32].
17.【答案】解：(1)∵向量a=(2,3)，b=(m,2)，
∴3a+2b=(2m+6,13)，a−3b=(2−3m,−3)，
∵3a+2b与a−3b共线，
∴13(2−3m)+3(2m+6)=0，
解得m=43．
(2)∵b=(m,2)，c=(−l,2)，b⊥c，
∴b⋅c=−m+4=0，解得m=4，∴b=(4,2)，
∵a=(2,3)，∴2a−b+c=(−1,6)，
∴|2a−b+c|= 12+62= 37．
【解析】(1)求出3a+2b=(2m+6,13)，a−3b=(2−3m,−3)，由3a+2b与a−3b共线，能求出m．
(2)由b⊥c，求出b=(4,2)，从而2a−b+c=(−1,6)，由此能求出|2a−b+c|.
本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意知，sinα=45,csα=35，
故sinα+2csαsinα−csα=45+2×3545−35=10．
(2)由α+β∈(−π2,π2)，sin(α+β)=−13，
得cs(α+β)= 1−sin2(α+β)= 1−(−13)2=2 23
所以，csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)⋅csα+sin(α+β)⋅sinα，
=2 23×35+(−13)×45=6 2−415．
【解析】(1)结合三角函数的定义可求sinα，csα，然后结合同角基本关系即可求解，
(2)结合同角平方关系及和差角公式即可求解
本题主要考查了三角函数的定义，同角平方关系及和差角公式的简单应用，属于基础试题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理asinA=csinC可知：a34=4 32，
从而求得a=2 3．
(Ⅱ)由△ABC的面积等于4 3，可知S△ABC=12absinC= 34ab=4 3，
从而ab=16①，
由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC可得，16=a2+b2−ab②，
联立①②得a=b=4．
【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理即可计算得解a的值．
(Ⅱ)由已知及三角形面积公式可求ab=16，利用余弦定理可得，16=a2+b2−ab，联立即可解得a，b的值．
本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=12sin(2x+π4),x∈R，
由2x+π4=π2+2kπ,k∈Z，可得x=π8+kπ,k∈Z，
∴当x=π8+kπ,k∈Z时，函数f(x)有最大值12；
(2)由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，可得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
又x∈[−π2,π2]，
∴函数f(x)的单增区间为[−3π8,π8]．
【解析】(1)根据正弦函数的图象和性质即得；
(2)根据正弦函数的单调性结合条件即得．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
21.【答案】解：(1)在△ABD中，AB=2，AD=1，A=2π3，
由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=4+1−2×2×1×cs2π3=7，∴BD= 7，
在△ABD中，由正弦定理得BDsinA=ABsin∠ADB，
即 7sin2π3=2sin∠ADB，
解得sin∠ADB= 217．
(2)设∠CBD=α，
∵AD/​/BC，∴∠ADB=∠CBD=α，∴sinα= 217，
∵0<α<π2，∴csα=2 77，
∵∠BDC=2π3，∴sinC=sin(π3−α)=sinπ3csα−csπ3sinα= 2114，
在△BCD中，由正弦定理得BDsinC=BCsin∠BDC，即 7 2114=BCsin2π3，解得BC=7，
∴S△BCD=12×BD×BC×sinα=12× 7×7× 217=7 32，
S△ABD=12AB×AD×sinA=12×2×1×sin2π3= 32，
∴四边形ABCD的面积：
S=S△BCD+S△ABD=7 32+ 32=4 3．
【解析】(1)由余弦定理求出BD= 7，由此利用正弦定理能求出sin∠ADB．
(2)设∠CBD=α，则sinα= 217，csα=2 77，从而sinC=sin(π3−α)= 2114，由正弦定理求出BC=7，四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△ABD，由此能求出结果．
本题考查余弦定理、正弦定理、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．
22.【答案】解：(1)由题意可得f(x)=1−cs2x2+ 32sin2x+12=sin(2x−π6)+1．
∵x∈[0,π2]，∴−π6≤2x−π6≤5π6，
∴12≤sin(2x−π6)+1≤2，∴f(x)的值域是[12,2]．
(2)∵f2(x)−(m+1)f(x)+m=0，
∴(f(x)−1)(f(x)−m)=0，
∴f(x)=1或f(x)=m，
即sin(2x−π6)=0或sin(2x−π6)=m−1，
当sin(2x−π6)=0时，因为−π6≤2x−π6≤5π6，所以2x−π6=0，∴x=π12．
所以sin(2x−π6)=m−1在区间[0,π2]上恰有两个不同的实数根，

由图像可知12≤m−1<1
即m∈[32,2)．
【解析】(1)先化简函数得f(x)=sin(2x−π6)+1，再利用三角函数的图象和性质求解；
(2)转化得到sin(2x−π6)=m−1在区间[0,π2]上恰有两个不同的实数根，再利用数形结合分析求解．
本题考查三角函数的图像与性质，属于中档题．