2023-2024学年广西百色市德保高中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广西百色市德保高中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )
A. 4B. 5C. 9D. 20
2.若复数z满足(1−i)⋅z=2i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A. (−1,1)B. (−1,−1)C. (1,1)D. (1,−1)
3.下列各式化简结果正确的是( )
A. AB+AC=BCB. AM+MB+BO+OM=AM
C. AB+BC−AC=0D. AB−AD−DC=BC
4.已知函数f(x)=ax2−lnx的图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=3x平行，则该切线的方程为( )
A. x−3y+5=0B. 3x−y−1=0C. 3x−y+1=0D. x−3y+1=0
5.若α∈(0,π2)，tan2α=csα2−sinα，则tanα=( )
A. 1515B. 55C. 53D. 153
6.如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足MN⊥l的是( )
A. B.
C. D.
7.若函数f(x)=x−4x−alnx单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−4]C. [−4,4]D. (−∞,4]
8.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如：φ(1)=1；φ(3)=2(与3互素有1、2)；φ(9)=6(与9互素有1、2、4、5、7、8).记Sn为数列{n⋅φ(3n)}的前n项和，则S10=( )
A. 192×310+12B. 212×310+12C. 194×311+34D. 214×311+14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于导数运算正确的有( )
A. (xsinx)′=sinx+xcsxB. (x3−2x+1)′=3x2−2xln2
C. (lnxx)′=1−lnxxD. (e−2x)′=−2e−2x
10.已知函数f(x)=sinxcsx− 3cs2x+ 32，则( )
A. f(x)在区间[0,π2]上单调递增B. f(x)的值域是[−1,1]
C. f(x)的图象关于点(π6,0)对称D. f(x−π12)为偶函数
11.已知函数f(x)=(x+1)lnx，则( )
A. f(x)存在唯一的极值点B. f(x)存在唯一的零点
C. 直线2x−y−2=0与f(x)的图像相切D. 若f(ax)≥f(lnx)，则a≥1e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=−2时取得极大值4，则a+b= ______．
13.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有______种.
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的点，若∠F1PF2=60°，|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=12n2+72n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1anan+1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tk>425(k∈N*)，求k的最小值．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R=2 2，且tanB+tanC= 2sinAcsC．
(1)求B和b的值；
(2)求AC边上高的最大值．
17.(本小题15分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M为CC1的中点，∠A1MB=120°．
(1)求CC1的长；
(2)求二面角M−AB−C的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=12x2−alnx．
(1)若a=2，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)在(1,e)上的单调性．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线y=k(x−1)(k>0)与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若MB=AN，求k的值；
(3)若点Q的坐标为(74,0)，求证：QA⋅AN为定值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据分类加法计数原理可知，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有4+5=9种选派方法．
故选：C．
根据分类加法计数原理求解即可．
本题主要考查了计数原理的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵(1−i)⋅z=2i，∴(1+i)(1−i)z=2i(1+i)，
∴2z=2(i−1)，
∴z=−1+i，
∴在复平面内，z对应的点的坐标是(−1,1)．
故选：A．
利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：AB+AC≠BC，A错误；
AM+MB+BO+OM=AB+BO+OM
=AO+OM=AM，B正确；
AB+BC−AC=AC−AC=0，C错误；
AB−AD−DC=DB−DC=CB，D错误．
故选：B．
根据向量的加减法运算法则求解．
本题主要考查向量的加减法运算法则，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由f(x)=ax2−lnx，得f′(x)=2ax−1x，
∴f′(1)=2a−1，
由2a−1=3，得a=2．
∴f(x)=2x2−lnx，可得f(1)=2，
∴所求切线的方程为y=3(x−1)+2，即3x−y−1=0．
故选：B．
求出原函数的导函数，利用导函数值为3求解a值，进一步求出f(1)，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为α∈(0,π2)，tan2α=csα2−sinα=sin2αcs2α=2sinαcsα1−2sin2α，
因为csα≠0，
所以4sinα−2sin2α=1−2sin2α，
所以sinα=14，csα= 154，tanα= 1515．
故选：A．
由已知结合同角基本关系及二倍角公式进行化简可求sinα，然后结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：如图，在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线l的端点为B，D1，
对于A选项，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，M(1,2,2)，N(2,1,0)，
所以直线l的方向向量a=(2,2,−2)，
MN=(1,−1,−2)，显然MN⋅a=4≠0，直线MN与l不垂直，A选项错误；
对于选项B，由选项A知，直线l的方向向量a=(2,2,−2)，M(0,1,2)，N(2,0,1)，
则MN=(2,−1,−1)，显然MN⋅a=4≠0，直线MN与l不垂直，B选项错误；
对于C选项，由选项A知，直线l的方向向量a=(2,2,−2)，M(0,2,1)，N(1,0,0)，
则MN=(1,−2,−1)，显然MN⋅a=0，MN⊥l，C选项正确；
对于D选项，由选项A知，直线l的方向向量a=(2,2,−2)，M(2,0,1)，N(1,2,0)，
则MN=(−1,2,−1)，显然MN⋅a=4≠0，直线MN与l不垂直，D选项错误．
故选：C．
根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得．
本题考查线线垂直的判定，坐标法的应用，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：依题意f′(x)=1+4x2−ax=x2−ax+4x2≥0，即x2−ax+4≥0对任意x>0恒成立，
即a≤4x+x恒成立，因为4x+x≥2 x×4x=4(当且仅当x=2时取“=”)，所以a≤4，
所以a的取值范围为(−∞,4]．
故选：D．
由f′(x)≥0恒成立分离常数a，利用基本不等式求出a的取值范围．
本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为与3n互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，⋯，3n−1，共有2×3n−1，所以φ(3n)=2×3n−1，
则n⋅φ(3n)=2n×3n−1，于是Sn=2×30+4×31+6×32+⋯+2n×3n−1①，
3Sn=2×31+4×32+6×33+⋯+2n×3n②，
由①−②得−2Sn=2×30+2×31+2×32+⋯+2×3n−1−2n×3n=2⋅1−3n1−3−2n×3n，
则Sn=2n−12⋅3n+12，
于是S10=192×310+12．
故选：A．
根据欧拉函数定义得出φ(3n)，然后由错位相减法求得和Sn，从而可得S10．
本题考查了欧拉函数定义和错位相减求和，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由题意(xsinx)′=sinx+xcsx，(x3−2x+1)′=3x2−2xln2，
(lnxx)′=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，(e−2x)′=−2e−2x．
故选：ABD．
由导数四则运算法则以及复合函数的导数即可验算．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由已知，f(x)=sinxcsx− 32(2cs2x−1)=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)，
对A，当x∈[0,π2]时，2x−π3∈[−π3,2π3]，
则f(x)不单调，故A选项不正确；
对B，因为f(x)max=1，f(x)min=−1，则f(x)的值域是[−1,1]，故B选项正确；
对C，因为f(π6)=0，则f(x)的图象关于点(π6,0)对称，故C选项正确；
对D，f(x−π12)=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)=−cs2x为偶函数，故D选项正确．
故选：BCD．
对于A选项，根据三角函数相关公式对f(x)化简，根据x的区间求出2x−π3的区间，据此即可判断单调性，对于B选项，根据f(x)表达式即可判断最大值和最小值，据此即可求出值域，对于C选项，根据f(π6)=0，据此即可判断C选项，对于D选项，根据偶函数定义判断即可．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，f(x)=(x+1)lnx，f′(x)=lnx+1x+1，
令g(x)=lnx+1x+1，则g′(x)=1x−1x2=x−1x2，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(1)=2>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)没有极值点，故A错误；
对于B，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(1)=0，
所以f(x)存在唯一零点1，故B正确；
对于C，令f′(x)=lnx+1x+1=2，则x=1，即切点为(1,0)，
所以切线方程为y=2(x−1)，即2x−y−2=0，故C正确；
对于D，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(ax)≥f(lnx)，
所以lnx>0，ax≥lnx，可得x>1，a≥lnxx，
令h(x)=lnxx(x>1)，则h′(x)=1−lnxx2，
当x∈(1,e)时，h′(x)>0；当x∈(e,+∞)时，h′(x)<0，
所以h(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以h(x)max=h(e)=1e，所以a≥1e．
故选：BCD．
求出f′(x)=lnx+1x+1，令g(x)=lnx+1x+1，根据g(x)的单调性得f′(x)>0可判断A；结合f(x)在(0,+∞)上单调性及f(1)=0可判断B；令f′(x)=2求出切点坐标可得切线方程可判断C；根据f(x)在(0,+∞)上单调递增得a≥lnxx(x>1)，令h(x)=lnxx(x>1)，求出h(x)max可判断D．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与极值等知识与方法，属于中档题．
12.【答案】3
【解析】解：由题意可知f′(x)=3x2+2ax，
因为函数f(x)=x3+ax2+b在x=−2时取得极大值4，
所以f(−2)=4a+b−8=4f′(−2)=12−4a=0，
解之得a=3b=0，
检验：此时f′(x)=3x(x+2)，
令f′(x)>0⇒x>0或x<−2，
令f′(x)<0⇒x>−2，
所以f(x)在(−∞,−2)，(0,+∞)上单调递增，在(−2,0)上单调递减，
即a=3b=0，满足题意，
故a+b=3．
故答案为：3．
利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】24
【解析】解：根据题意，用排除法分析：
若三人选书没有要求，则有33=27种，
若三人选择的书完全相同，则有C31=3种，
所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27−3=24种．
故答案为：24．
根据题意，用排除法分析：先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可．
本题考查排列组合的应用，注意用排除法分析，属于基础题．
14.【答案】 33
【解析】解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，
故|PF1|=4a3,|PF2|=2a3，
由余弦定理得cs∠F1PF2=|F1P|2+|F2P|2−|F1F2|22|F1P|⋅|F2P|=16a29+4a29−4c22⋅4a3⋅2a3=20a29−4c216a29，
故20a29−4c216a29=12，故40a29−8c2=16a29，
解得ca= 33，故离心率为 33．
故答案为： 33．
根据椭圆定义求出|PF1|=4a3,|PF2|=2a3，由余弦定理求出方程，求出离心率．
本题主要考查椭圆性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)当n≥2时，由Sn=12n2+72n，得an=Sn−Sn−1=12n2+72n−[12(n−1)2+72(n−1)]=n+3；
当n=1时，a1=S1=4，符合上式，
综上所述，an=n+3．
(2)bn=1anan+1=1(n+3)(n+4)=1n+3−1n+4，
所以Tn=(14−15)+(15−16)+⋯+(1n+3−1n+4)=14−1n+4=n4n+16，
由Tk>425，得k4k+16>425，解得k>649，
又k∈N*，所以k的最小值为8．
【解析】(1)利用an=Sn−Sn−1(n≥2)求解即可，注意检验n=1的情形；
(2)采用裂项相消法求和，再解不等式即可．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用an=Sn−Sn−1(n≥2)求通项公式，裂项相消法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵tanB+tanC= 2sinAcsC，∴sinBcsB+sinCcsC= 2sinAcsC，
即sinBcsC+csBsinC= 2sinAcsB，
∴sin(B+C)= 2sinAcsB，
∴sinA= 2sinAcsB，∵sinA≠0，
∴csB= 22，0由正弦理得bsinB=2R，∴b=2R⋅sinB=2×2 2× 22=4；
(2)由余弦定理知，b2=a2+c2−2ac⋅csB，即42=a2+c2− 2ac，
由基本不等式可得16=a2+c2− 2ac≥2ac− 2ac，当且仅当a=c时取等号，
∴ac≤162− 2=8(2+ 2)，
∴S△ABC=12⋅acsinB= 24ac≤ 24×8(2+ 2)=4+4 2，
又S△ABC=12⋅b⋅h，∴h≤2+2 2．
∴AC边上高的最大值为2+2 2．
【解析】(1)由已知可得sinBcsC+csBsinC= 2sinAcsB，可得csB= 22，进而可求B和b的值；
(2)求得ac的最大值，进而可求三角形面积的最大值，进而可求AC边上高的最大值．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设CC1=n，则A(2,0,0)，A1(2,0,n)，M(0,0,12n)，B(0,2,0)，
则MA1=(2,0,12n)，MB=(0,2,−12n)，
∴cs∠A1MB=MA1⋅MB|MA1|⋅|MB|=−12，
即−n24 4+n24⋅ 4+n24=−12，解得n=4，
故CC ​1的长为4；
(2)设平面ABM的一个法向量为m=(x,y,z)，
由题意知AB=(−2,2,0)，AM=(−2,0,2)，
则由m⋅AB=−2x+2y=0m⋅AM=−2x+2z=0，
令x=1，可得y=z=1，
∴平面ABM的一个法向量为m=(1,1,1)，
易得平面ABC的一个法向量为CC1=(0,0,4)，
则cs=m⋅CC1|m|⋅|CC1|=4 3×4= 33，
∴二面角M−AB−C的余弦值为 33．
【解析】(1)以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用cs∠A1MB=MA1⋅MB|MA1|⋅|MB|=−12，可求CC1的长；
(2)求得平面MAB与平面ABC的一个法向量可求二面角M−AB−C的余弦值．
本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
18.【答案】解：(1)a=2时，f(x)=12x2−2lnx，
∴f(1)=12，故切点为(1,12)，
∵f′(x)=x−2x，
∴f′(1)=−1，
故切线方程为y−12=−(x−1)，即2x+2y−3=0．
(2)∵f′(x)=x−ax=x2−ax，x∈(1,e)，
当a≤1时，f′(x)>0，此时f(x)在(1,e)上单调递增；
当1当x∈(1, a)时，f′(x)<0，此时f(x)在(1, a)上单调递减，
当x∈( a,e)时，f′(x)>0，f(x)在( a,e)上单调递增；
当a≥e2时，f′(x)<0，f(x)在(1,e)上单调递减，
综上所述，当a≤1时，f(x)在(1,e)上单调递增；
当1当a≥e2时，f(x)在(1,e)上单调递减．
【解析】(1)根据导数的几何意义，先求出切线斜率k及切点坐标，进而可求切线方程；
(2)对函数求导，对a分类讨论，进而判定f′(x)的正负，即可判断函数的单调性．
本题综合考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．．
19.【答案】(1)解：因为e=ca= 22，所以a2=2c2，代入a2=b2+c2得b=c，
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，
即12b×2c=2，即bc=2，
以上各式联立解得a2=4，b2=2，
则椭圆方程为：x24+y22=1；
(2)解：直线y=k(x−1)与x轴交点为M(1,0)，
与y轴交点为N(0,−k)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x2+2y2=4y=k(x−1)，整理可得：(1+2k2)x−4k2x+2k2−4=0，
Δ=16k4−4(1+2k2)(2k2−4)=24k2+16>0，
则x1+x2=4k21+2k2，
又MB=(x2−1,y2)，AN=(−x1,−k−y1)，
由MB=AN可得x2−1=−x1，即x1+x2=1=4k21+2k2，
解得：k=± 22，
由k>0得k= 22；
(3)证明：由(2)知x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−41+2k2，
所以QA⋅AN=(x1−74,y1)⋅(−x1,−k−y1)=−x1(x1−74)+k(x1−1)⋅(−k−kx1+k)
=−x12−74x1−kx12+kx1=−(1+k2)x
QA⋅QB=(x1−74,y1)⋅(x2−74,y2)=(x1−74)(x2−74)+k2(x1−1)(x2−1)
=(1+k2)x1x2+(−74−k2)(x1+x2)+k2+4916
=(1+k2)2k2−41+2k2+(−74−k2)4k21+2k2+k2+4916
=−8k2−41+2k2+4916=−4+4916=−1516．
所以QA⋅QB为定值，且定值为−1516．
【解析】(1)根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出a2，b2，则椭圆方程可得；
(2)联立方程组，根据根与系数的关系以及向量相等的坐标关系即可求出k；
(3)根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．
本题考查了椭圆的方程的求法，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．