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【期中复习】2023-2024学年（人教B版2019+选择性必修第三册）高二数学下册 专题03+导数及其应用考点串讲课件
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这是一份【期中复习】2023-2024学年（人教B版2019+选择性必修第三册）高二数学下册 专题03+导数及其应用考点串讲课件，共60页。PPT课件主要包含了考场练兵，典例剖析，考点透视，知识点2导数的概念，fx0，不等式中不带“”，单调递增，单调递减，极值点是一个实数，连续不断等内容，欢迎下载使用。
知识点1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
(1)平均变化率:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为__________,若Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为__________.
微思考函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的几何意义是什么?
提示 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是指其图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.
导数是用极限来刻画的
(3)导函数:对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即f'(x)=y'=____________________.
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,即k0=__________.
即在点(x0,f(x0))处
微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的斜率吗?
提示 不一定,如果点P在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就是曲线在点P处的切线的斜率,如果点P不在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就不是曲线在点P处的切线的斜率.
知识点3.导数的几何意义
知识点4.函数的单调性与其导数的关系
微思考“函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件?
提示 充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.
微点拨 利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.
常用结论1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),则在(a,b)内f'(x)≥0(≤0)恒成立.2.若函数f(x)在区间(a,b)内存在单调递增(减)区间,则在(a,b)内f'(x)>0(<0)有解.3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”.
知识点5.函数的极值与导数
函数极值反映的是函数局部的性质
微点拨对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?
提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值.
知识点6.函数的最值与导数(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的__________; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值__________比较,其中最大的一个是__________,最小的一个是__________.
反映的是函数整体的性质
微点拨对函数最值的理解(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值;(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在端点处取得;(3)当函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值.
常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.如果函数f(x)在(a,b)内只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.3.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
知识点7.基本初等函数的导数公式
(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]'=__________. ②[f(x)g(x)]'=_________________________,特别地,[cf(x)]'=__________.
(3)复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=__________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
A.-3B.3C.-4D.4
考点2 导数的几何意义
解析:(1)由f(x)=(x+1)ex得f′(x)=ex+(x+1)ex,所以在x=0处的切线的斜率为f′(0)=e0+(0+1)e0=2,又f(0)=1,故切点坐标为(0,1),所以所求的切线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.
[例1] (1)已知f(x)=(x+1)ex,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为 ;
答案:(1)2x-y+1=0
(1)求曲线在点P(x0,y0)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在点P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若在该点P处的导数不存在,则切线垂直于x轴,切线方程为x=x0.(2)求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据斜率相等建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.
[例2] 设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( )A.(0,0) B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)
根据导数的几何意义求切点坐标应注意两点:一是切点坐标既在曲线的图象上又在切线上;二是切线的斜率等于切点的横坐标的导数值.
考点5 求参数的值(范围)
答案:(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
【例题3】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
【例题4】在下列求导运算中,不正确的是( )
规律方法函数求导运算的基本原则(1)熟记常见函数的导数公式和四则运算法则,切勿记错记混;(2)求导前,应利用代数、三角恒等变换对函数解析式进行化简,以便减少运算量,减少差错;(3)复合函数求导,要正确分析函数的复合过程,分清内外层函数,按照法则进行求导;(4)求函数在某一点处的导数且解析式未知时,应先 根 据 条 件 求 出 该 点 所 在 区 间 的 解 析 式 再求导;(5)当函数解析式中含有待定系数(如f'(x0)等)时,应将待定系数看成常数进行求解.
考点4 导数运算的应用 与导数运算有关的新定义问题
规律方法导数新定义问题的求解策略新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情境,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.
考点7 求不含参数函数的单调区间
【例题6】函数f(x)=x-2ln x的单调递减区间是( ) A.(-∞,2)B.(2,+∞) C.(0,2)D.(-∞,0)和(0,2)
【例题7】设f(x)=2x2-x3,则f(x)的单调递减区间是_________.
规律方法求不含参数函数单调区间的步骤与注意点(1)步骤:① 求函数的定义域;②求f(x)的导数f'(x);③在定义域内解不等式,f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.(2)注意:①不能忽视函数定义域;②当函数有多个单调递增区间(或递减区间)时,不能用“∪”连接;③当不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)不可解时,可通过二次求导,分析f'(x)的零点情况,借助图象等得到其解集,进而得到单调区间.
考点8 讨论含参函数的单调性
令f'(x)=0,解得x=a或x=-2a.若a<0,则当0-2a时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,-2a)内为减函数,在(-2a,+∞)内为增函数;若a>0,则当0a时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,a)内为减函数,在(a,+∞)内为增函数;若a=0,则f'(x)>0恒成立,因此f(x)在(0,+∞)内是增函数.综上可得,当a<0时,f(x)在(0,-2a)内为减函数,在(-2a,+∞)内为增函数;当a>0时,f(x)在(0,a)内为减函数,在(a,+∞)内为增函数;当a=0时,f(x)在(0,+∞)内是增函数.
规律方法分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间;(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点;(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ 的讨论,对根的大小比较的讨论等;(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述..
考点9 导数与函数单调性关系的应用 利用导数研究函数图象
【例题9】设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则其导函数f′(x)的图象可能是( )
解析:由f(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)时,函数单调递增,则f′(x)≥0,故排除C,D;当x∈(0,+∞)时,f(x)先单调递减,再单调递增最后单调递减,所以对应的导数值应该先小于0,再大于0,最后小于0,故排除B.故选A.
规律方法利用单调性辨析函数图象的策略辨析函数与其导函数的图象关系时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图象在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.
考向10 导数与函数单调性关系的应用 比较大小或解不等式 【例题10】已知函数f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f'(x)g(a)B.f(a)g(a)+f(b)D.f(a)+g(b)
考向11 根据单调性求参数的值或范围问题 【例题11】若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是( )A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[3,e2-1]
规律方法根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法
考点12 利用导数研究函数的极值 求函数的极值(极值点)
【例题12】设函数f(x)=2ln x-x2,则( )A.x=e为极大值点B.x=1为极大值点C.x=1为极小值点D.无极值点
令f'(x)=0,解得x=1,当x>1时,f'(x)<0,当00,故f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,故x=1是极大值点,故选B.
规律方法求函数极值(极值点)的方法步骤(1)求函数f(x)的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x),并求方程f'(x), =0的根;(3)判断f'(x), =0的根的左右两侧f'(x),值的符号,确定极值点;(4)求出极值.
考点13 利用导数研究函数的极值 已知极值(点)求参数值(范围) 【例题13】若函数f(x)=ax3+3x2+b在x=1处取得极值2,则a-b=( )A.-3B.3C.-2D.2
解析 f'(x)=3ax2+6x,依题意知3ax2+6x=0的根为1,且f(1)=2,
此时f(x)=-2x3+3x2+1,f'(x)=-6x(x-1),所以在(-∞,0)内f'(x)<0,在(0,1)内f'(x)>0,在(1,+∞)内f'(x)<0,所以f(x)在x=1处取得极大值,且f(1)=2,符合题意,因此a-b=-2-1=-3,故选A.
考点13 利用导数研究函数的极值 根据函数的最值求参数
规律方法根据函数最值求参数的注意点(1)注意分析判断最值是在极值点还是区间的端点处取得.(2)注意分析区间是无穷区间、开区间还是闭区间.(3)注意结合函数图象及单调性分析最值情况.
(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及最大值和最小值.
考点14 利用导数研究函数的最值
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
考点15 利用导数解决实际问题
【例题15】某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块AMPN,规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,点B,D分别在边AM,AN上,假设AB长度为x米.若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑,则当AB长为__________时仓库的库容最大(墙体及楼板所占空间忽略不计).
规律方法利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量,建立函数关系式 y =f(x),并确定其定义域;(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答.
考点16 分离参数法解决不等式恒(能)成立问题
规律方法“分离参数法”解决不等式恒成立问题“分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方法,其基本过程如下:(1)已知含参数λ 的不等式f(λx)≥0恒成立;(2)将不等式转化为g(λ)≥h(x),即将参数λ 与变量x 分离,可以将λ 单独分离到不等式一边,也可以将只含有λ 的一个代数式分离到不等式的一边;(3)求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)的形式而确定,可以用导数法、基本不等式法、换元法、单调性法等;(4)得出结论.若h(x)的最大值为 M,则g(λ)≥M;若h(x)不存在最大值,其值域为(m,M )时,g(λ)≥M .
考点17 最值转化法求不等式恒(能)成立问题
【例题17】已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+ln x,a∈R.(1)求函数y=g(x)的单调区间;
【例题17】 已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+ln x,a∈R.(2)若不等式f(x)≥g(x)+1在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题,一般需讨论参数范围,借助函数单调性求解.
考点18 双变量的恒(能)成立问题
(1)讨论函数f(x)的单调性;
②当a<0时,由f′(x)>0得x>-6a,即f(x)的单调递增区间是(-6a,+∞);由f′(x)<0得0
2.已知函数f(x)=ex+x3f'(1),则f(1)=( )
5.已知函数f(x)的导函数g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,则实数a的值为( )A.-1B.0C.1D.2
解析 由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x2-3x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0,解得a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x<2时,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的极值点,1不是极值点,所以a=2满足题意,故选D.
因为x>0,所以ex+x>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在(1,+∞)内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值即最小值,故f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=e+1,故选B.
7.(多选题)已知直线l与曲线f(x)=ln x+x2相切,则下列直线中可能与l垂直的是( )
8.(多选题)已知直线l与曲线f(x)=ln x+x2相切,则下列直线中可能与l垂直的是( )
9.(多选题)设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一直角坐标系中,可能正确的是( )
解析 对选项A,若图中的直线为f'(x)的图象,曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,f(x)的图象先减后增,故A可能正确;对选项B,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)的图象在x=0左右先负后正,f(x)的图象在x=0处先减后增,故B可能正确;对选项C,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)>0恒成立,f(x)的图象为增函数,故C可能正确;对选项D,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,但f(x)的图象为增函数,不符合,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面的曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)<0恒成立,但f(x)的图象为增函数,不符合,故D错误,故选ABC.
13.函数f(x)=e-x·cs x,x∈(0,π)的单调递增区间为__________.
15.函数f(x)=(x-3)ex的极小值为__________.
解析 由已知得f'(x)=(x-2)ex,显然f'(2)=0,∴当x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,因此f(x)在x=2时取得极小值f(2)=-e2.
16.已知f(x)=ax-ln x,a∈R.(1)讨论f(x)的单调区间和极值;(2)当x∈(0,e]时,不等式f(x)≤3有解,求a的取值范围.
17.设函数f(x)=ex-ax,x≥0且a∈R.(1)求函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≥x2+1恒成立,求实数a的取值范围.
知识点1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
(1)平均变化率:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为__________,若Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为__________.
微思考函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的几何意义是什么?
提示 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是指其图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.
导数是用极限来刻画的
(3)导函数:对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即f'(x)=y'=____________________.
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,即k0=__________.
即在点(x0,f(x0))处
微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的斜率吗?
提示 不一定,如果点P在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就是曲线在点P处的切线的斜率,如果点P不在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就不是曲线在点P处的切线的斜率.
知识点3.导数的几何意义
知识点4.函数的单调性与其导数的关系
微思考“函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件?
提示 充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.
微点拨 利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.
常用结论1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),则在(a,b)内f'(x)≥0(≤0)恒成立.2.若函数f(x)在区间(a,b)内存在单调递增(减)区间,则在(a,b)内f'(x)>0(<0)有解.3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”.
知识点5.函数的极值与导数
函数极值反映的是函数局部的性质
微点拨对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?
提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值.
知识点6.函数的最值与导数(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的__________; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值__________比较,其中最大的一个是__________,最小的一个是__________.
反映的是函数整体的性质
微点拨对函数最值的理解(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值;(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在端点处取得;(3)当函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值.
常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.如果函数f(x)在(a,b)内只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.3.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
知识点7.基本初等函数的导数公式
(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]'=__________. ②[f(x)g(x)]'=_________________________,特别地,[cf(x)]'=__________.
(3)复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=__________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
A.-3B.3C.-4D.4
考点2 导数的几何意义
解析:(1)由f(x)=(x+1)ex得f′(x)=ex+(x+1)ex,所以在x=0处的切线的斜率为f′(0)=e0+(0+1)e0=2,又f(0)=1,故切点坐标为(0,1),所以所求的切线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.
[例1] (1)已知f(x)=(x+1)ex,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为 ;
答案:(1)2x-y+1=0
(1)求曲线在点P(x0,y0)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在点P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若在该点P处的导数不存在,则切线垂直于x轴,切线方程为x=x0.(2)求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据斜率相等建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.
[例2] 设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( )A.(0,0) B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)
根据导数的几何意义求切点坐标应注意两点:一是切点坐标既在曲线的图象上又在切线上;二是切线的斜率等于切点的横坐标的导数值.
考点5 求参数的值(范围)
答案:(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
【例题3】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
【例题4】在下列求导运算中,不正确的是( )
规律方法函数求导运算的基本原则(1)熟记常见函数的导数公式和四则运算法则,切勿记错记混;(2)求导前,应利用代数、三角恒等变换对函数解析式进行化简,以便减少运算量,减少差错;(3)复合函数求导,要正确分析函数的复合过程,分清内外层函数,按照法则进行求导;(4)求函数在某一点处的导数且解析式未知时,应先 根 据 条 件 求 出 该 点 所 在 区 间 的 解 析 式 再求导;(5)当函数解析式中含有待定系数(如f'(x0)等)时,应将待定系数看成常数进行求解.
考点4 导数运算的应用 与导数运算有关的新定义问题
规律方法导数新定义问题的求解策略新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情境,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.
考点7 求不含参数函数的单调区间
【例题6】函数f(x)=x-2ln x的单调递减区间是( ) A.(-∞,2)B.(2,+∞) C.(0,2)D.(-∞,0)和(0,2)
【例题7】设f(x)=2x2-x3,则f(x)的单调递减区间是_________.
规律方法求不含参数函数单调区间的步骤与注意点(1)步骤:① 求函数的定义域;②求f(x)的导数f'(x);③在定义域内解不等式,f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.(2)注意:①不能忽视函数定义域;②当函数有多个单调递增区间(或递减区间)时,不能用“∪”连接;③当不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)不可解时,可通过二次求导,分析f'(x)的零点情况,借助图象等得到其解集,进而得到单调区间.
考点8 讨论含参函数的单调性
令f'(x)=0,解得x=a或x=-2a.若a<0,则当0
规律方法分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间;(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点;(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ 的讨论,对根的大小比较的讨论等;(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述..
考点9 导数与函数单调性关系的应用 利用导数研究函数图象
【例题9】设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则其导函数f′(x)的图象可能是( )
解析:由f(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)时,函数单调递增,则f′(x)≥0,故排除C,D;当x∈(0,+∞)时,f(x)先单调递减,再单调递增最后单调递减,所以对应的导数值应该先小于0,再大于0,最后小于0,故排除B.故选A.
规律方法利用单调性辨析函数图象的策略辨析函数与其导函数的图象关系时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图象在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.
考向10 导数与函数单调性关系的应用 比较大小或解不等式 【例题10】已知函数f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f'(x)
考向11 根据单调性求参数的值或范围问题 【例题11】若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是( )A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[3,e2-1]
规律方法根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法
考点12 利用导数研究函数的极值 求函数的极值(极值点)
【例题12】设函数f(x)=2ln x-x2,则( )A.x=e为极大值点B.x=1为极大值点C.x=1为极小值点D.无极值点
令f'(x)=0,解得x=1,当x>1时,f'(x)<0,当0
规律方法求函数极值(极值点)的方法步骤(1)求函数f(x)的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x),并求方程f'(x), =0的根;(3)判断f'(x), =0的根的左右两侧f'(x),值的符号,确定极值点;(4)求出极值.
考点13 利用导数研究函数的极值 已知极值(点)求参数值(范围) 【例题13】若函数f(x)=ax3+3x2+b在x=1处取得极值2,则a-b=( )A.-3B.3C.-2D.2
解析 f'(x)=3ax2+6x,依题意知3ax2+6x=0的根为1,且f(1)=2,
此时f(x)=-2x3+3x2+1,f'(x)=-6x(x-1),所以在(-∞,0)内f'(x)<0,在(0,1)内f'(x)>0,在(1,+∞)内f'(x)<0,所以f(x)在x=1处取得极大值,且f(1)=2,符合题意,因此a-b=-2-1=-3,故选A.
考点13 利用导数研究函数的极值 根据函数的最值求参数
规律方法根据函数最值求参数的注意点(1)注意分析判断最值是在极值点还是区间的端点处取得.(2)注意分析区间是无穷区间、开区间还是闭区间.(3)注意结合函数图象及单调性分析最值情况.
(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及最大值和最小值.
考点14 利用导数研究函数的最值
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
考点15 利用导数解决实际问题
【例题15】某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块AMPN,规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,点B,D分别在边AM,AN上,假设AB长度为x米.若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑,则当AB长为__________时仓库的库容最大(墙体及楼板所占空间忽略不计).
规律方法利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量,建立函数关系式 y =f(x),并确定其定义域;(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答.
考点16 分离参数法解决不等式恒(能)成立问题
规律方法“分离参数法”解决不等式恒成立问题“分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方法,其基本过程如下:(1)已知含参数λ 的不等式f(λx)≥0恒成立;(2)将不等式转化为g(λ)≥h(x),即将参数λ 与变量x 分离,可以将λ 单独分离到不等式一边,也可以将只含有λ 的一个代数式分离到不等式的一边;(3)求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)的形式而确定,可以用导数法、基本不等式法、换元法、单调性法等;(4)得出结论.若h(x)的最大值为 M,则g(λ)≥M;若h(x)不存在最大值,其值域为(m,M )时,g(λ)≥M .
考点17 最值转化法求不等式恒(能)成立问题
【例题17】已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+ln x,a∈R.(1)求函数y=g(x)的单调区间;
【例题17】 已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+ln x,a∈R.(2)若不等式f(x)≥g(x)+1在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题,一般需讨论参数范围,借助函数单调性求解.
考点18 双变量的恒(能)成立问题
(1)讨论函数f(x)的单调性;
②当a<0时,由f′(x)>0得x>-6a,即f(x)的单调递增区间是(-6a,+∞);由f′(x)<0得0
2.已知函数f(x)=ex+x3f'(1),则f(1)=( )
5.已知函数f(x)的导函数g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,则实数a的值为( )A.-1B.0C.1D.2
解析 由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x2-3x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0,解得a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x<2时,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的极值点,1不是极值点,所以a=2满足题意,故选D.
因为x>0,所以ex+x>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在(1,+∞)内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值即最小值,故f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=e+1,故选B.
7.(多选题)已知直线l与曲线f(x)=ln x+x2相切,则下列直线中可能与l垂直的是( )
8.(多选题)已知直线l与曲线f(x)=ln x+x2相切,则下列直线中可能与l垂直的是( )
9.(多选题)设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一直角坐标系中,可能正确的是( )
解析 对选项A,若图中的直线为f'(x)的图象,曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,f(x)的图象先减后增,故A可能正确;对选项B,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)的图象在x=0左右先负后正,f(x)的图象在x=0处先减后增,故B可能正确;对选项C,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)>0恒成立,f(x)的图象为增函数,故C可能正确;对选项D,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,但f(x)的图象为增函数,不符合,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面的曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)<0恒成立,但f(x)的图象为增函数,不符合,故D错误,故选ABC.
13.函数f(x)=e-x·cs x,x∈(0,π)的单调递增区间为__________.
15.函数f(x)=(x-3)ex的极小值为__________.
解析 由已知得f'(x)=(x-2)ex,显然f'(2)=0,∴当x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,因此f(x)在x=2时取得极小值f(2)=-e2.
16.已知f(x)=ax-ln x,a∈R.(1)讨论f(x)的单调区间和极值;(2)当x∈(0,e]时,不等式f(x)≤3有解,求a的取值范围.
17.设函数f(x)=ex-ax,x≥0且a∈R.(1)求函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≥x2+1恒成立,求实数a的取值范围.
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