【期中复习】2023-2024学年（苏教版2019选修二）高二数学下册专题03+概率统计综合应用专题训练.zip

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一．条件概率及其性质应用
1．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“出现一个6点”，则概率的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，将三枚骰子各掷一次，有种情况，
其中，若三个点数都不相同，有种情况，，
若三个点数都不相同且出现一个6点，有种情况，，
故概率．故选：B．
2．（22-23高二下·江苏宿迁·期中）设A，B为两个事件，已知，，，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
【答案】B
【解析】根据题意，，则，
则，
解可得：．故选：B．
3．（22-23高二下·江苏南通·期中）已知随机事件，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知可得，.
因为，所以，.
又,所以，.
又，所以，.故选：A.
4．（22-23高二下·江苏扬州·期中）某个班级名学生中，有男生名，女生名，男生中有名团员，女生中有名团员．在该班随机选取名学生，在选到的是团员的条件下，选到的是男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记事件A为“选到团员”，事件B为“选到男生”，
则，，所以.故选：D．
5．（22-23高二下·江苏徐州·期中）徐州有很多春游踏青的景点，现有甲、乙两个学校准备从彭园、九顶山、园博园、云龙湖、潘安湖5个旅游景点中随机选择一个组织学生去春游. 设事件A为“甲和乙至少有一所学校选择园博园”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，事件A为“甲和乙至少有一所学校选择园博园”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，
可得，
又由事件B为“甲和乙选择的景点不同”， 可得，
所以.故选：A.
6．（22-23高二下·江苏南京·期中）盒中装有6个同种产品，其中4个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求：
（1）取两次，两次都取得一等品的概率；
（2）取两次，第二次取得一等品的概率；
（3）取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据题意，第1次取得一等品的概率为，第2次取到一等品的概率为，
根据相互独立事件的概率公式，可得两次都取得一等品的概率为.
（2）根据题意，可分为两类情况：
①第1次取得一等品，第2次取得一等品，其概率为；
②第1次取得二等品，第2次取得一等品，其概率为，
由互斥事件的概率加法公式，可得第二次取得一等品的概率.
（3）设第2次取得一等品为事件，由（2）知：，
设第1次取得二等品为事件，可得，
所以所求概率为.
二．全概率公式与贝叶斯公式
7．（22-23高二下·江苏扬州·期中）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为，若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）
A．0.69B．0.49C．0.42D．0.39
【答案】A
【解析】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为，
记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，
则，且两两互斥，
所以，
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为，
记事件为“选到绑带式口罩”，则
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为.
故选：A.
8．（22-23高二下·江苏连云港·期中）市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为，且三家工厂的次品率分别为，则市场上该品牌产品的次品率为（ ）
A．0.01B．0.02C．0.03D．0.05
【答案】B
【解析】设分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；表示买到一件次品，
由题意有，
由全概率公式，得
.故选：B.
9．（22-23高二下·江苏苏州·期中）讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%.若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（ ）
A．0.275B．0.28C．0.32D．0.6
【答案】C
【解析】.故选：C
10．（22-23高二下·江苏常州·期中）有甲、乙两只不透明的袋子，其中甲袋放有3个红球，2个白球，乙袋放有2个红球，3个白球，且所有球的大小和质地均相同．
（1）先随机取一只袋子，再从该袋中随机取1个球，求取出的该球是白球的概率；
（2）先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的2个球均为红球的概率．
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）先随机取一只袋子，记“取到的是甲袋”为事件，“取到的是乙袋”为事件，
再从袋中随机取1个球，“取出的该球是白球”为事件B，
则事件B有两类：取到的是甲袋且从中取出的是白球，
取到的是乙袋且从中取出的是白球，即，
因为与互斥，所以，
由概率的乘法公式得，
又因为，，，，
所有
先随机取一只袋子，再从该袋中随机取1个球，取出的该球是白球的概率为
（2）记“从甲袋中取出2个红球”为事件，“从甲袋中取出2个白球”为事件，
“从甲袋中取出1个红球和1个白球”为事件，
“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件D，显然，事件，，两两互斥，
且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，
由全概率公式得，
先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，再从之乙袋中任取2个球，
则从乙袋中取出的2个球均为红球的概率为
11．（22-23高二下·江苏连云港·期中）有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有大小、形状完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球．假设试验选到甲袋或乙袋的概率都是．
（1）求从袋子中摸出红球的概率；
（2）求在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球"为事件，
∵，
∴，
所以从袋子中摸出红球的概率为．
（2）因为是对立事件，，又，
所以，
所以在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率为.
12．（22-23高二下·江苏常州·期中）有甲、乙两只不透明的袋子，其中甲袋放有2个红球，3个白球，乙袋放有3个红球，2个白球，且所有球的大小和质地均相同.
（1）从这10个球中随机取4个球，设事件A为“取出的4个球中恰有2个红球，且这2个红球来自同一个袋子”，求事件A发生的概率；
（2）先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的2个球均为红球的的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可知，从这10个球中随机取4个球共有种选法，
事件A的选法共有种，故.
所以事件A发生的概率为.
（2）记“从甲袋中取出2个红球”为事件，“从甲袋中取出2个白球”为事件，
“从甲袋中取出1个红球和1个白球”为事件，
记“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件B，
显然，事件，，两两互斥，且++为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，
由全概率公式得：=.
所以先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，
则从乙袋中取出的2个球均为红球的的概率为.
三．分布列的均值与方差应用
13．（22-23高二下·江苏盐城·期中）随机变量的分布列如表所示，且，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】依题意，又，解得，.故选：B
14．（22-23高二下·江苏淮安·期中）已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】结合表格可知，
即，解得：，
所以.故选:D.
15．（22-23高二下·江苏镇江·期中）设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，故A错误；
，故B错误；
，
因为，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.故选：D.
16．（22-23高二下·江苏盐城·期中）已知为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如表，则 .（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【解析】，
所以
，
因为为互不相等的正实数，
所以
，即.
17．（22-23高二下·江苏无锡·期中）（多选）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】依题意，解得，
所以的分布列为：
则，则；
所以的分布列为：
则，，
所以；故选：ACD.
18．（22-23高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量的概率分布表如下表所示：
其中，，，，记随机变量的数学期望和方差分别为，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，，
所以
（2）
四．离散型随机变量的分布列
19．（22-23高二下·江苏淮安·期中）某乐队准备从3首摇滚歌曲和5首校园民谣中随机选择4首进行演唱.
（1）求该乐队至少演唱1首摇滚歌曲的概率；
（2）假设演唱1首摇滚歌曲，观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱1首校园民谣，观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的分布列.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）设“至少演唱1首摇滚歌曲”为事件A，
则事件A的对立事件为“没有1首摇滚歌曲被演唱”，
所以；
（2）设乐队共演唱Y首摇滚歌曲，Y的所有可能值为0，1，2，3，
则，()，
，，，，
因为，当时，对应，
即X的所有可能值为：5a，6a，7a，8a，
，，
，
所以X的分布列为：
20．（22-23高二下·江苏常州·期中）某校为了普及科普知识，增强学生的科学素养，在全校组织了一次科普知识竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛．规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分．假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队的总得分．
（1）求的分布列和数学期望；
（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．
【答案】（1）分布列见解析；期望为；（2）
【解析】（1）由题意知的所有可能取值为0，10，20，30，
可得，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
所以数学期望.
（2）记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A，“甲队得20分，
乙队得10分”为事件B，则A，B为互斥事件，
可得，
，
则，
所以甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为.
21．（22-23高二下·江苏扬州·期中）甲､乙两位同学参加学校组织的数学文化知识答题游戏，规则如下：甲同学先回答2道题，至少答对一道题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次答题机会.两位同学每答对一道题可获得5积分，答错不得分，甲同学每道题答对的概率均为，乙同学每道题答对的概率均为，每道题答对与否互不影响.
（1）求乙同学有机会答题的概率；
（2）记X为甲和乙同学一共拿到的积分，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）记“乙同学有机会答题”为事件，
所以，
（2）的所有可能取值为，
所以，

所以的分布列为：
所以
22．（22-23高二下·江苏徐州·期中）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有名男教师，名女教师报名，有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，本周随机选取人参加，每名女教师至多从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性均为；每名男教师至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为.每人每参加项活动可获得“体育明星” 积分分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：
（1）在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
（2）记随机选取的两人得分之和为，参加活动的女教师人数为，
（i）求与的关系；
（ii）求两人得分之和的数学期望.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）42.5
【解析】（1）记有女教师参加活动为事件A，恰有1名女教师参加活动为事件B
， ，
故在有女教师参加活动的条件下，恰有1名女教师参加活动概率为
（2）根据题意，一名女教师参加活动可获得分数的期望为，
一名男教师参加活动可获得分数的期望为
设恰有Y名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，，
则，，．
所以Y的分布列为
则有，
所以．
法二：设恰有Y名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，
则，，．
23．（22-23高二下·江苏连云港·期中）一种微生物可以经过自身繁殖不断生存下来，繁殖后自身即消亡.设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，，且，，成公差为的等差数列.
（1）求，，；
（2）设表示1个微生物个体在第2代的个数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1），，；（2）分布列见解析；期望为
【解析】（1）因为，，成公差为的等差数列，
所以，，又，
故，解得，于是，.
（2）由题意的所有可能值为0，1，2，3，4.
且，
，
，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望.
24．（22-23高二下·江苏无锡·期中）水蜜桃是生活中常见的水果之一，适量食用可以增高人体血红蛋白的含量，补充人体的维生素和膳食纤维，但水蜜桃的外皮较薄，往往小的划痕都容易造成它的腐烂变质.某水果批发市场，在水蜜桃成熟以后进行装箱，每一箱10个．根据以往经验，该种水果每箱含有0，1，2个坏果的概率分别为，，．
（1）现随机取三箱该水蜜桃，求三箱水蜜桃中坏果总数恰有3个的概率；
（2）现随机打开一箱该水蜜桃，并从中任取2个，设X为坏果的个数，求X的分布列及期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）箱水蜜桃中坏果总数恰有3个坏果的情况有：
有一箱有2个坏果，一箱有1个坏果，另外一箱没有坏果，或者三箱各有一个坏果，
三箱水果中坏果总数恰有3个坏果的概率为
（2）由题意可知：可取0，1，2.
时，有可能箱中无坏果，概率为；有1个坏果但没抽中，概率为；
有2个坏果但没抽中，概率为.则；
时，箱中有可能1个坏果且被抽中，概率为；
两个坏果但只被抽中1个，概率为，
则；
时，箱中有2个坏果且被抽中，则.
综上，得分布列如下：
期望为
五．二项分布与超几何分布
25．（22-23高二下·江苏连云港·期中）从含有7件次品的20件产品中，任意的抽取4件，表示抽取的次品个数，则表示（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为表示从20件产品中任意选取4件的选法，
表示选取的4件产品中有3件次品，1件正品的选法
表示选取的4件产品全是次品的选法.
所以故选:D.
26．（22-23高二下·江苏南通·期中）为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了，它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的，假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使飞机比飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若飞机正常飞行，至少3个引擎正常运行，
概率，
若飞机正常飞行，2个引擎都正常运行，概率，
由题意可知，，解得：，
则，所以飞机引擎的故障率应控制的范围是.故选：C
27．（22-23高二下·江苏徐州·期中）已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位.若移动次，则当时，质子位于原点的概率为 ，当 时，质子位于6对应点处的概率最大.
【答案】；或
【解析】设第次移动时向左移动的概率为，
事件时质子位于原点等价于事件前次移动中有且只有次向左移动，
所以事件时质子位于原点的概率为，
事件第次移动后质子位于对应点处等价于事件质子在次移动中向右移了次，
所以第次移动后质子位于对应点处的概率，
设，
则，
令可得，
化简可得，
所以，，所以，
令可得，，所以，
又，
所以或，即或时，质子位于对应点处的概率最大.
28．（22-23高二下·江苏徐州·期中）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：服从二项分布，所以.
同理：服从二项分布，所以.
因为，所以，所以.
对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增，
所以当时，有，即.故选：C
29．（22-23高二下·江苏南通·阶段练习）盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．
（1）现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；
（2）从中抽取3个球进行检测，随机变量表示取出黑球的个数，求的分布列及期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为.
【解析】（1）记第二次取出黑球为事件A,第一次取出红球记为事件,第一次取出黑球记为事件，
所以.
（2）可能为0，1，2,
；；.
的分布列为：
.
30．（22-23高二下·江苏南京·期中）为响应“双减政策”，丰富学生课余生活，某校举办趣味知识竞答活动，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答.小明、小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为，小红答对的概率为，且每道题是否答对相互独立.记高二1班答对题目的数量为随机变量
（1）若，①求高二1班答对某道题的概率； ②求的分布列和数学期望；
（2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于，求的最小值.
【答案】（1）①；②分布列见解析，；（2）
【解析】（1）①高二1班答对某道题的概率：
根据题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，
则，
计算对应概率为，，
，，，
故的分布列为
则对应期望为；
（2）高二1班答对某道题的概率：
答错的概率：，所以，解得，
故的最小值为
31．（22-23高二下·江苏淮安·期中）某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
（1）统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；
（2）若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）由题意得：，
，，
.
（2），
，则，
可能的取值为，
的分布列为：
数学期望.
32．（22-23高二下·江苏泰州·期中）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立. 当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率：表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.
（1）若每个元件正常工作的概率.当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元. 请用表示出设备升级后单位时间内的利润y（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）答案见解析
【解析】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
所以，
，，
所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为
控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为 ；
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以
设备升级后单位时间内的利润为，即.
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以
，
即，
所以当时，，当时，，
又因为，所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.
六．正态分布模型应用
33．（22-23高二下·河南开封·期中）某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ）
A．3200B．6800C．3400D．6400
【答案】B
【解析】因为高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，且，
于是，因此，
所以高二男生身高不低于170cm的人数约为.故选：B.
34．（22-23高二下·江苏徐州·期中）已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：
甲：
乙：
丙：
丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】对于甲，取任何值，都有，所以甲为真命题；
对于乙，若，则该正态分布的均值；
对于丙，若，则该正态分布的均值；
乙和丙至少有一个真命题，又因为乙和丙等价，所以乙和丙都是真命题；
对于丁，
，
丁为假命题．故选：D
35．（22-23高二下·江苏常州·期中）已知随机变量，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】随机变量，且，，
，，.故选：A.
36．（22-23高二下·江苏苏州·期中）在某项测验中，假设测验数据服从正态分布.如果按照，，，的比例将测验数据从大到小分为，，，四个等级，则等级为的测验数据的最小值可能是（ ）
【附：随机变量服从正态分布，则，，】
A．75B．79C．83D．91
【答案】B
【解析】设测验数据为，依题意，则，，
设等级为的测验数据的最小值为，则，
因为，所以，
所以，所以的可能取值为.故选：B
37．（22-23高二下·江苏徐州·期中）已知随机变量，若，则 .
【答案】
【解析】由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，
因为，则.
38．（22-23高二下·江苏南京·期中）新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门.
（1）若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.
附：，，.
【答案】（1）；（2）①人；②不可信.
【解析】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语，
若另一门相同的选择物理、历史中的一门，有种，
在生物学、化学、思想政治、地理4门中甲乙选择不同的2门，
则，即种；
若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法.
（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则，
由题知，，，，
则，
所以，
所以估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有人；
②不可信.
，
则，
4000名学生中成绩大于420分的约有人，
这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.
七．线性回归分析
39．（22-23高二下·江苏苏州·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍；
B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；
C．线性相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定.
【答案】BD
【解析】对于A，将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，
方差也变为原来的倍，A错误；
对于B，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，正确；
对于C，线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
反之，相关系数r的绝对值越接近于0，线性相关性越弱，C错误；
对于D，预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定，x只能解释部分y的变化
即在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定，正确；故选：BD
40．（22-23高二下·江苏常州·期中）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强；
B．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好；
C．对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大；
D．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是.
【答案】ABD
【解析】A. 因为乙数据的相关系数的绝对值为，比甲数据的相关系数的绝对值0.66大 ，
所以乙组数据的线性相关性更强，所以该选项正确；
B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，
残差平方和越小，拟合效果越好，所以该选项正确；
C. 对变量x与y的统计量来说，值越小，
判断“x与y有关系”的把握性越小，所以该选项错误；
D. 由题得，所以样本中心点满足方程，
所以，所以该选项正确.故选：ABD
41．（22-23高二下·江苏连云港·期中）设两个相关变量和分别满足下表：
若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（ ）
（参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为非线性回归方程为：，则有，
令，即，列出相关变量关系如下：
所以，，
，，
所以，
所以，所以，
即，即，因为，所以，
当时，.故选：B
42．（22-23高二下·江苏南通·期中）某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示.（残差＝观测值－预测值）
根据表中数据，得出关于的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为 .
【答案】4.5
【解析】由题意可得时的预测值为，
则有，即，
又，
故.
43．（22-23高二下·江苏泰州·期中）小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为.
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）.
参考数据：；
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）由已知得,
.
因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，
从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题可得，
，
故关于的经验回归方程为.
44．（22-23高二下·江苏常州·期中）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
其中a，b，c为等差数列，并计算得：，，．
（1）求b的值；
（2）若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程（若，则认为两个变量的线性相关性一般；若，则认为两个变量的线性相关性很强）；
附：相关系数，
回归直线中，，．
（3）根据回归直线方程估计a，c的值（精确到0.01）．
【答案】（1）b＝0.06；（2）这种树木的根部横截面积与材积量具有很强的线性相关性，
（3）a≈0.05，c≈0.07．
【解析】（1）由a，b，c为等差数列，得，由表格得该树木根部横截面积的平均值为，
可得，
故，解得．
（2）由已知得，
，
相关系数，
故这种树木的根部横截面积与材积量具有很强的线性相关性．
，，
所以该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程为．
（3）由表格数据可得，根部横截面积为a，c时对应的材积量分别为，，
代入回归直线方程分别得，，
解得，．
八．独立性检验
45．（22-23高二下·江苏淮安·期中）某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到22列联表如下表所示：
（1）是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由；
（2）用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率.
附：
参考公式：，.
【答案】（1）有的把握认为购买手机款式与性别有关；（2）
【解析】（1）由给定的的列联表，可得，
因为，所以有的把握认为购买手机款式与性别有关.
（2）从所有购买两款手机的人中，选出4人可以看成了4次独立重复试验，
每次选出购买款手机的人的概率均为，
设随机变量为4人中选出购买款手机的人数，则，
所以，
所以，
即不超过人的概率为.
46．（22-23高二下·江苏盐城·期中）“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表：
（1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；
（2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附：
参考公式：，其中.
【答案】（1）表格见解析，无关；（2）分布列见解析，
【解析】（1）根据男，女员工各50人，可以补充列联表，
零假设为：爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关，
由已知数据可求得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即爱好运动与性别无关，
由此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）的取值可能为.
，
所以的分布列为
的数学期望为.
47．（22-23高二下·江苏常州·期中）某实验中学的暑期数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了位同学月份玩手机的时间单位：小时，并将这个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表：
将月份玩手机时间为小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，小时以下者视为“手机自我管理到位”.
（1）请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”；
（2）学校体育老师从手机自我管理不到位的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮训练，已知男生投篮进球的概率为，女生投篮进球的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投篮进球总次数的分布列和数学期望.
附录：，其中.
独立性检验临界值表：
【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）分布列见解析，
【解析】（1）列联表如下：
的观测值，
所以没有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”.
（2）设3人投篮进球总次数为，
由题意知随机变量的可能取值分别为0，1，2，3；
故，
，
，
，
所以分布列如下表，
所以.
48．（22-23高二下·江苏南京·期中）在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．
（1）请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．
（2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．
（3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为 ，当取最大值时，求k的值．
附：，其中．
【答案】（1）填表见解析；能；（2）分布列见解析；期望为；（3）
【解析】（1）

答：能在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关
（2）个人中优秀的人数为，
则合格的人数为人，由分层抽样可知：人中有人优秀，人合格；
由题意可以取
，
，
则的分布列为：

答：的期望为
（3）由题意可知，则

解得，又，故
答：当时，取最大值时
49．（22-23高二下·江苏南通·期中）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：
单位：人
（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；
（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，．
【答案】（1）购车种类与性别有关；（2）X的分布列见解析，.
【解析】（1）设零假设为：购车种类与性别无关，
根据数表可得，
所以零假设是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，
可以认为购车种类与性别有关.
（2）随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为，
被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，
依题意，，
，，
，，
所以X的分布列为：
X的数学期望.
50．（22-23高二下·江苏南京·期中）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离出中国首株新型冠状病毒毒种．6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约万名受试者．为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取名，其中大龄受试者有人，舒张压偏高或偏低的有人，年轻受试者有人，舒张压正常的有人．
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否能够以的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关?
（2）在上述人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取人，若从抽出的人中任取人，求取出的人都是大龄受试者的概率．
运算公式：
对照表：
【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）
【解析】（1）列联表如下：
.
所以，没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．
（2）由题意得，采用分层抽样抽取的人中，大龄受试者有人，
设他们为，年轻受试者有人，设他们为．
则从这人中取出人包含的基本事件：
共有种，其中取出的人都是大龄受试者的有种．
所以，取出的人都是大龄受试者的概率.－1
0
2
P
0
2
P
…
…
X
5a
6a
7a
8a
P
0
10
20
30
P
0
5
10
15
20
Y
0
1
2
P

20
30
40
50
60

0
1
2
3
4
0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
4
疼痛指数X
人数
10
81
9
名称
无症状感染者
轻症感染者
重症感染者
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
产量
3a
0
设备运行概率
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元）
2
1
0
1
3
3
4
3
4
5
6
2.5
3
4
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
0.9
1.2
1.5
1.4
1.6
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平均值
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
a
b
c
0.07
0.06
材积量
0.25
0.41
0.22
0.54
0.53
0.34
0.35
0.39
0.43
0.44
0.39
购买A款
购买B款
总计
女
25
20
45
男
15
40
55
总计
40
60
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男性
女性
总计
爱好
30
不爱好
10
总计
100
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男性
女性
总计
爱好
30
40
70
不爱好
20
10
30
总计
50
50
100
0
1
2
玩手机时间
人数
手机自我管理到位
手机自我管理不到位
合计
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
手机自我管理到位
手机自我管理不到位
合计
男生
52
8
60
女生
28
合计
80
20
100
1
2
3
上课转笔
上课不转笔
合计
优秀
25
合格
40
合计
100
上课转笔
上课不转笔
合计
优秀
5
25
30
合格
40
30
70
合计
45
55
100
2
3
4
5

购置新能源汽车
购置传统燃油汽车
总计
男性
50
10
60
女性
25
15
40
总计
75
25
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
大龄受试者
年轻受试者
合计
舒张压偏高或偏低
舒张压正常
合计
大龄受试者
年轻受试者
合计
舒张压偏高或偏低
舒张压正常
合计