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2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列实数中，是无理数是( )
A. 253B. 3.14C. 5D. 38
2.下列计算中，正确的是( )
A. (−2)0=1B. 2−1=−2
C. a3⋅a2=a6D. (1−2a)2=1−4a2
3.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.点P(x1,y1)、Q(x2,y2)在反比例函数y=kx的图象上，若x1A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第二、三象限
5.一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是白球的概率为( )
A. 12B. 13C. 15D. 16
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB的值是( )
A. 4B. 5C. 8D. 10
7.要得到抛物线y=2(x−4)2−1，可以将抛物线y=2x2( )
A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
D. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
8.如图，点D、E、F在△ABC的边上，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式中错误的是( )
A. ADAB=AEAC
B. CECF=CACB
C. DEBC=ADBD
D. EFAB=CFCB
9.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是( )
A. 34°B. 36°C. 38°D. 40°
10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16.点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC(或边CB于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.将8240000000用科学记数法可表示为______．
12.函数y=2xx−1中自变量x的取值范围是______．
13.计算： 32+6 12=______．
14.因式分解：9a3−ab2=______．
15.不等式组2x+13>x24x≤3x+2的解集是______．
16.已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为27π，则扇形的弧长为______．
17.我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”。已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2−2x−3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为___________．
18.阅读材料：若x满足(6−x)(x−4)=−3，求(6−x)2+(x−4)2的值．
解：设(6−x)=a，(x−4)=b，则(6−x)(x−4)=ab=−3，a+b=(6−x)+(x−4)=2．
所以(6−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=22−2×(−3)=10．
带仿照上例解决下面问题：
若x满足(20−x)(x−10)=−5，则(20−x)2+(x−10)2的值是______．
19.在矩形ABCD中，点E在直线BC上，BE=2CE，若AB=2，AD=3，则点A到直线DE的距离为______．
20.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=11，点D在AC上，AD=8，∠DBA=∠A，则AB= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
21.如图，甲楼在乙楼的南面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3米，冬天太阳光与水平面的夹角为30度．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为______米；
(2)由于受空间的限制，甲楼到乙楼的距离BD=21米，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建______层．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题7分)
先化简，再求代数式aa+2−1a−1÷a+2a2−2a+1的值，其中a=6tan60°−2．
23.(本小题7分)
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出钝角等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为10．
(2)在方格纸中画出等腰直角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10．
(3)在(1)(2)条件下，连接EF，请直接写出线段EF长．
24.(本小题8分)
某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：
(1)本次调查的学生总数为______人，被调查学生的课外阅读时间的众数是______小时；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)若九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？
25.(本小题10分)
某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元，
(1)甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
(2)商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用45元，且购进两种纪念品的总资金不超过8355元，则最多购进甲种纪念品多少件？
26.(本小题10分)
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足是H，连接AD、BD．
(1)如图1，求证：AD=BD；
(2)如图2，点E在直径CD上，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF，DE=DF，求证：∠CDF=2∠ADC；
(3)如图3，在(2)的条件下，M是弧BC上的点，连接AM交CD于N，连接DM交AB、AF分别于G、P，若∠AMD=2∠MAB，tan∠MAB=12，OH=3，求直径CD的长．
27.(本小题10分)
如图，抛物线y=12(x+m)(x−2)交x轴于A、B两点，交y轴于C点，D在第三象限内的抛物线上，连CD、BD，BD交y轴于F，CD//AB时，DF=1.5BF．
(1)如图1，求该抛物线的解析式；
(2)如图2，P是抛物线第三象限一个动点，过P作y轴的垂线，垂足为H，连接PB交y轴于点E，设P点横坐标为t，△CPE的面积为S，求S与t之间的函数关系式(不要求写自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，如图3，点M在线段PH上，且∠OCM=2∠PBO，HE：CM=3：5，求P点坐标及相应S的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、253是分数，是有理数，故选项不符合题意；
B、3.14是有限小数，是有理数，故选项不符合题意；
C、 5是无理数，选项符合题意；
D、38=2是整数，是有理数，选项不符合题意．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】A
【解析】解：A、非零的零次幂等于1，故A符合题意；
B、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故B不符合题意；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C不符合题意；
D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D不符合题意；
故选：A．
根据零次幂、负整数指数幂与正整数指数幂，同底数幂的乘法底数不变指数相加，完全平方公式，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：∵x1∴k<0，
∴反比例函数经过二、四象限，
故选：B．
根据反比例函数的变化趋势即可求出k与0的大小关系，从而可判断经过哪些象限．
本题考查反比例函数图象的变化趋势，解题的关键是正确理解反比例函数的性质，本题属于基础题型．
5.【答案】A
【解析】解：∵一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，
∴现从中任意摸出一个球，恰好是白球的概率为96+9+3=12，
故选：A．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵sinA=BCAB，
∴AB=BCsinA=635=10．
故选：D．
根据正弦函数的定义即可直接求解．
本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
7.【答案】C
【解析】解：∵y=2(x−4)2−1的顶点坐标为(4,−1)，y=2x2的顶点坐标为(0,0)，
∴将抛物线y=2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y=2(x−4)2−1．
故选：C．
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵DE//BC，
∴ADAB=AEAC，本选项比例式正确，不符合题意；
B、∵EF//AB，
∴CECA=CFCB，
∴CECF=CACB，本选项比例式正确，不符合题意；
C、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，本选项比例式错误，符合题意；
D、∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CFCB，本选项比例式正确，不符合题意；
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质列出比例式，判断即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得，∠AOD=31°，∠BOC=31°，又∠AOC=100°，
∴∠DOB=100°−31°−31°=38°．
故选：C．
根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．
本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当点Q在AC上时，
∵∠A=30°，AP=x，
∴PQ=xtan30°= 33x，
∴y=12×AP×PQ=12×x× 33x= 36x2
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP=x，AB=16，∠A=30°，
∴BP=16−x，∠B=60°，
∴PQ=BP⋅tan60°= 3(16−x)．
∴y=12×AP×PQ=12x⋅ 3(16−x)=− 32x2+8 3x.
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
11.【答案】8.24×109
【解析】解：8240000000=8.24×109，
故答案为：8.24×109．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】x≠1
【解析】解：根据题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
故答案是：x≠1．
根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的范围的求法，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】7 2
【解析】解：
原式=4 2+6× 22，
=4 2+3 2，
=7 2，
故答案为：7 2．
根据二次根式加减运算的法则计算即可．
本题考查了二次根式相加减的问题，熟记加减的运算法则是解题的关键．
14.【答案】a(3a+b)(3a−b)
【解析】解：原式=a(9a2−b2)
=a(3a+b)(3a−b)．
故答案为：a(3a+b)(3a−b)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15.【答案】−2【解析】解：2x+13>x2①4x≤3x+2②，
解不等式①得：x>−2，
解不等式②得：x≤2．
则不等式组的解集是：−2故答案是：−2首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
16.【答案】6π
【解析】解：∵扇形的圆心角为120°，扇形的面积为27π，
∴120πR2360=27π，
解得R=±9(负值舍去)，
∴扇形的弧长为120×π×9180=6π．
故答案为：6π．
根据扇形面积公式S=nπR2360，先求出扇形的半径，再根据扇形的弧长公式l=nπr180进行计算即可求解．
本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式．
17.【答案】3+ 3
【解析】【分析】
连接AC，BC，由抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．
本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．
【解答】
解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
∴点D的坐标为(0,−3)，
∴OD的长为3，
设y=0，则0=x2−2x−3，
解得：x=−1或3，
∴A(−1,0)，B(3,0)
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO⋅BO=3，
∴CO= 3，
∴CD=CO+OD=3+ 3，
故答案为：3+ 3．
18.【答案】110
【解析】解：设20−x=a，x−10=b，则a+b=20−x+x−10=10，ab=−5，
∴(20−x)2+(x−10)2
=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=102−2×(−5)
=100+10
=110；
故答案为：110．
仿照阅读材料，设20−x=a，x−10=b，则a+b=20−x+x−10=10，ab=−5，可得(20−x)2+(x−10)2=(a+b)2−2ab，代入可得答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
19.【答案】6 55或6 1313
【解析】解：分两种情况：
①点E在BC边上时，
如图1所示：连接AE，作AF⊥DE于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，BC=AD=3，∠B=∠C=90°，
∵BE=2CE，
∴BE=2，CE=1，
在Rt△CDE中，DE= 12+22= 5，
∵△ABE的面积+△CDE的面积+△ADE的面积=矩形ABCD的面积，
∴12×2×2+12×1×2+12× 5×AF=3×2，
解得：AF=6 55；
②点E在BC边的延长线时，
如图2所示：作AF⊥DE于F，BA延长线与ED延长线交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD//AB，CD=AB=2，BC=AD=3，∠BAD=∠B=∠C=90°，
∴∠DAG=90°，
∵BE=2CE，
∴BC=CE，
∴CD是△BEG的中位线，
∴BG=2CD=4，
∴AG=2，在Rt△ADG中，DG= 32+22= 13，
∵△ADG的面积=12DG×AF=12DG×AF=12×3×2，
∴AF=6 1313；
综上所述，点A到直线DE的距离为6 55或6 1313；
故答案为：6 55或6 1313．
分两种情况：①点E在BC边上时，连接AE，作AF⊥DE于F，由矩形的性质得出CD=AB=2，BC=AD=3，∠B=∠C=90°，求出BE=2，CE=1，在Rt△CDE中，由勾股定理得出DE= 5，再由△ABE的面积+△CDE的面积+△ADE的面积=矩形ABCD的面积，即可得出结果；
②点E在BC边的延长线时，作AF⊥DE于F，BA延长线与ED延长线交于点G，由矩形的性质得出CD//AB，CD=AB=2，BC=AD=3，∠BAD=∠B=∠C=90°，∠DAG=90°，证出CD是△BEG的中位线，得出BG=2CD=4，AG=2，在Rt△ADG中，由勾股定理得出DG，再由三角形面积公式即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形中位线定理以及分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是关键．
20.【答案】887
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE//CF，
∴AEEF=ADCD=83，
设AE=8a，则EF=3a，BE=8a，
∴BF=5a，AF=11a，
∵∠CBF=60°，
∴CF=5 3a，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：
AF2+CF2=AC2，
(11a)2+(5 3a)2=112，
解得：a=±1114(负值舍去)，
∴AB=16a=887．
过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由平行线易得AEEF=ADCD=83，设AE=8a，则EF=3a，BE=8a，BF=5a，AF=11a，CF=5 3a，在Rt△ACF中，由勾股定理得a=±1114(负值舍去)，即可解答．
本题考查平行线分线段成比例定理、勾股定理，解题关键的恰当作出辅助线．
21.【答案】18 3；4
【解析】解：(1)AB=6×3=18，BD=18×ct30°=18 3(米)；
(2)设甲楼最高应建x层，则3x⋅ct30°≤21，
∴x≤7 3≈4.04，∴x=4．
(1)求出甲楼的高度，根据30°的余切值来求．
(2)根据30°的余切值来求．
本题考查锐角三角函数余切值的应用．
22.【答案】解：原式=aa+2−1a−1⋅(a−1)2a+2
=aa+2−a−1a+2
=1a+2，
当a=6tan60°−2=6 3−2时，
原式=16 3−2+2=16 3= 318．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再求得a的值代入化简即可．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图，△ABE即为所求作．
(2)如图，△CDF即为所求作．
(3)EF= 12+22= 5．
【解析】(1)作出腰为5顶角是钝角的等腰三角形即可．
(2)作出腰为2 5的等腰直角三角形即可．
(3)利用勾股定理求解即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】50 5
【解析】解：(1)∵课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%．
∴1020%=50(人)．
∵课外阅读4小时的人数是32%．
∴50×32%=16(人)．
∴课外阅读4小时的男生人数是16−8=8(人)．
∴课外阅读6小时的男生人数是50−10−16−20−3=1(人)．
∴课外阅读3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人．
∴众数是5小时．
故答案为：50；5．
(2)如图所示
．
(3)∵课外阅读6小时的人数是4人．
∴700×450=56(人)．
答：九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有56人．
(1)根据统计图可知，课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出课外阅读4小时和6小时的男生人数，再根据众数的定义即可得出结论．
(2)根据(1)中求出的人数补全条形统计图即可．
(3)总人数乘以课外阅读时间为6小时的学生人数的百分比即可求出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图，从图中获得必要的信息是解题的关键，必须认真观察，分析和研究统计图．
25.【答案】解：(1)设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，
根据题意得：
x+2y=1702x+y=295，
解得：
x=140y=15，
答：甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元，
(2)设购进甲种纪念品a件，花了140a元，则购进乙种纪念品140a−4515件，
乙种纪念品花了(140a−45)元，
根据题意得：
140a+(140a−45)≤8355，
解得：a≤30，
∵a为整数，
∴a最大为30，
当a=30时，乙种纪念品的件数为：140×30−4515=277，是整数，
∴a最大为30，
答：最多购进甲种纪念品30件．
【解析】(1)设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，根据“若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元”，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，
(2)设购进甲种纪念品a件，花了140a元，则购进乙种纪念品140a−4515件，乙种纪念品花了(140a−45)元，根据“两种纪念品的总资金不超过8355元”，列出关于a的一元一次不等式，解之，取最大值，再代入140a−4515，如果为整数，即为所求答案．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键：(1)正确找出等量关系，列出二元一次方程组，(2)正确找出不等关系，列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：∵CD为直径，CD⊥AB，
∴AH=BH，
∴H是AB的中点，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AD=BD；
(2)证明：由(1)知，△ABD为等腰三角形，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC，∠BAD=∠B，
由圆周角定理可知，∠B=∠F，
∵DE=DF，
∴∠DEF=∠F，
∴∠DEF=∠ADB，
∵∠ADB=2∠ADC，
∴∠CDF=2∠ADC；
(3)解：作AN的垂直平分线交AH于S，连接NS，OB，如图：
∴∠NSH=2∠MAB=∠AMD，AS=NS，
∵tan∠MAB=12，
∴AH=2NH，
在Rt△NSH中，NS2=HS2+NH2，
解得：NS=54NH，
∴tan∠NSH=43，即tanB=43，
设OB=OD=x，
在Rt△OHB中，HB2=OB2−OH2=x2−9，
在Rt△DHB中，tanB=DHBH=43，
∴DH2HB2=(x+3)2x2−9=169，
解得：x=757或−3(舍去)，
∴CD=2x=1507．
【解析】(1)由垂径定理可知，AH=BH，然后根据等腰三角形的判定求证AD=BD即可；
(2)根据圆周角定理可知，∠B=∠F，在根据等腰三角形的性质可以得出∠EDF=∠ADB，从而得证；
(3)作AN的垂直平分线交AH于S，可得∠NSH=2∠MAB=∠AMD=∠B，然后根据三角函数值以及勾股定理，求出∠B的三角函数，连接OB，设半径OD=OB=x，根据三角函数值的定义以及勾股定理求出半径长即可求出直径CD的长．
本题主要考查了圆的综合题，合理运用锐角三角函数的定义是本题解题的关键．
27.【答案】解：(1)当y=0时，12(x+m)(x−2)=0，
解得x=−m或x=2，
∴B(2,0)，A(−m,0)，
∴BO=2，
当x=0时，y=12⋅m⋅(−2)=−m，
C(0,−m)，
∵CD//AB，
∴∠OBF=∠CDF∠BOF=∠DCF，
∴△OBF∽△CDF，
∴BODC=BFDF，
∴2DC=BF1,5BF，
∴CD=3，
∴D(−3,−m)，
∵D点在y=12(x+m)(x−2)图象上，
∴−m=12(−3+m)(−3−2)，
解得m=5，
∴抛物线的解析式为y=12x2+32x−5；
(2)由y=12x2+32x−5得，A(−5,0)，B(2,0)，C(0,−5)，
∵P点横坐标为t，
∴P点纵坐标为12t2+32t−5，
设PB的表达式为y=kx+b，
则2k+b=0kt+b=12t2+32t−5，
解得k=t+52b=−t−5，
∴PB的表达式为y=t+52x−t−5，
∴E(0,−t−5)，
∴EC=−t−5+5=−t，
∵PH=|t|=−t，
∴S=12EC⋅PH=12⋅(−t)⋅(−t)=12t2，
∴S与t之间的函数关系式为S=12t2；
(3)如图，过点E作CE的垂线，作∠OCM的平分线交CE的垂线与F，
过点F作EP的平行线交HP的延长线于N点，连接CN，
∵HP//AB，
∴∠HPB=∠PBO，
∵∠OCM=2∠PBO，∠COM=2∠ECF，
∴∠PBO=∠ECF，
∴∠HPB=∠ECF，
∵∠HPB=∠ECFPH=EC∠PHE=∠CEF，
∴△PHE≌△CEF(ASA)，
∴EF=EH，EP=CF，
设EF=EH=3k，CM=5k，则HC=−t−3k，
∵EF//PN，FN//EP，
∴四边形EFNP是平行四边形，
∴PN=EF=3k，
∴NH=PH+PN=−t+3k，
∵FN=EP，EP=CF，
∴FN=CF，
∴∠FNC=∠FCN，
又∵∠FNM=∠ECF=∠FCM，
∴∠FNC−∠FNM=∠FCN−∠FCM，
即∠MNC=∠MCN，
∴MN=MC=5k，
∴MH=NH−MN=−t+3k−5k=−t−2k，
∵MH2+HC2=MC2，
∴(−t−2k)2+(−t−3k)2=(5k)2，
解得t1=k(舍去)，t2=−6k，
∵tan∠EPH=EHPH=3kt=3k6k=12，
tan∠PBO=OEOB=|−t−5|2=t+52，
∴t+52=12，
解得t=4，
∴12t2+32t−5=−3，
∴P(−4,−3)，
∴S=12t2=12×(−4)2=8．
【解析】(1)先根据函数解析式求出A，B，C的坐标，再根据CD//AB，证明△OBF∽△CDF，由相似三角形的性质得出BODC=BFDF，从而求出点D坐标，再把点D坐标代入抛物线解析式求出m；
(2)由(1)的解析式求出A，B，C的坐标，再根据P的坐标，用待定系数法求出直线PB的解析式，得出点E坐标，从而求出EC，PH，再由三角形的面积公式求出△CPE的面积为S与t之间的函数关系式；
(3)过点E作CE的垂线，作∠OCM的平分线交CE的垂线与F，过点F作EP的平行线交HP的延长线于N点，连接CN，先证明△PHE≌△CEF(ASA)，从而得出EF=EH，EP=CF，设EF=EH=3k，CM=5k，则HC=−t−3k，然后证明四边形EFNP是平行四边形，得出MN=MC=5k，MH=NH−MN=−t+3k−5k=−t−2k，再根据MH2+HC2=MC2，求出t=−6k，然后由tan∠EPH=EHPH=3kt=3k6k=12，tan∠PBO=OEOB=|−t−5|2=t+52，tan∠EPH=tan∠PBO列出关于t的方程，求出t的值，然后求点P坐标和S．
本题考查了二次函数综合题，二次函数的图象和性质、平行四边形的性质与判定，三角形面积等基础知识．考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想及分类与整合思想．正确的作出辅助线，是解题的关键．
1.下列实数中，是无理数是( )
A. 253B. 3.14C. 5D. 38
2.下列计算中，正确的是( )
A. (−2)0=1B. 2−1=−2
C. a3⋅a2=a6D. (1−2a)2=1−4a2
3.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.点P(x1,y1)、Q(x2,y2)在反比例函数y=kx的图象上，若x1
5.一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是白球的概率为( )
A. 12B. 13C. 15D. 16
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB的值是( )
A. 4B. 5C. 8D. 10
7.要得到抛物线y=2(x−4)2−1，可以将抛物线y=2x2( )
A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
D. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
8.如图，点D、E、F在△ABC的边上，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式中错误的是( )
A. ADAB=AEAC
B. CECF=CACB
C. DEBC=ADBD
D. EFAB=CFCB
9.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是( )
A. 34°B. 36°C. 38°D. 40°
10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16.点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC(或边CB于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.将8240000000用科学记数法可表示为______．
12.函数y=2xx−1中自变量x的取值范围是______．
13.计算： 32+6 12=______．
14.因式分解：9a3−ab2=______．
15.不等式组2x+13>x24x≤3x+2的解集是______．
16.已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为27π，则扇形的弧长为______．
17.我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”。已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2−2x−3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为___________．
18.阅读材料：若x满足(6−x)(x−4)=−3，求(6−x)2+(x−4)2的值．
解：设(6−x)=a，(x−4)=b，则(6−x)(x−4)=ab=−3，a+b=(6−x)+(x−4)=2．
所以(6−x)2+(x−4)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=22−2×(−3)=10．
带仿照上例解决下面问题：
若x满足(20−x)(x−10)=−5，则(20−x)2+(x−10)2的值是______．
19.在矩形ABCD中，点E在直线BC上，BE=2CE，若AB=2，AD=3，则点A到直线DE的距离为______．
20.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=11，点D在AC上，AD=8，∠DBA=∠A，则AB= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
21.如图，甲楼在乙楼的南面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3米，冬天太阳光与水平面的夹角为30度．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为______米；
(2)由于受空间的限制，甲楼到乙楼的距离BD=21米，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建______层．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题7分)
先化简，再求代数式aa+2−1a−1÷a+2a2−2a+1的值，其中a=6tan60°−2．
23.(本小题7分)
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出钝角等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为10．
(2)在方格纸中画出等腰直角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10．
(3)在(1)(2)条件下，连接EF，请直接写出线段EF长．
24.(本小题8分)
某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：
(1)本次调查的学生总数为______人，被调查学生的课外阅读时间的众数是______小时；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)若九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？
25.(本小题10分)
某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元，
(1)甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
(2)商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用45元，且购进两种纪念品的总资金不超过8355元，则最多购进甲种纪念品多少件？
26.(本小题10分)
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足是H，连接AD、BD．
(1)如图1，求证：AD=BD；
(2)如图2，点E在直径CD上，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF，DE=DF，求证：∠CDF=2∠ADC；
(3)如图3，在(2)的条件下，M是弧BC上的点，连接AM交CD于N，连接DM交AB、AF分别于G、P，若∠AMD=2∠MAB，tan∠MAB=12，OH=3，求直径CD的长．
27.(本小题10分)
如图，抛物线y=12(x+m)(x−2)交x轴于A、B两点，交y轴于C点，D在第三象限内的抛物线上，连CD、BD，BD交y轴于F，CD//AB时，DF=1.5BF．
(1)如图1，求该抛物线的解析式；
(2)如图2，P是抛物线第三象限一个动点，过P作y轴的垂线，垂足为H，连接PB交y轴于点E，设P点横坐标为t，△CPE的面积为S，求S与t之间的函数关系式(不要求写自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，如图3，点M在线段PH上，且∠OCM=2∠PBO，HE：CM=3：5，求P点坐标及相应S的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、253是分数，是有理数，故选项不符合题意；
B、3.14是有限小数，是有理数，故选项不符合题意；
C、 5是无理数，选项符合题意；
D、38=2是整数，是有理数，选项不符合题意．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】A
【解析】解：A、非零的零次幂等于1，故A符合题意；
B、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故B不符合题意；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C不符合题意；
D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D不符合题意；
故选：A．
根据零次幂、负整数指数幂与正整数指数幂，同底数幂的乘法底数不变指数相加，完全平方公式，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】B
【解析】解：∵x1
∴反比例函数经过二、四象限，
故选：B．
根据反比例函数的变化趋势即可求出k与0的大小关系，从而可判断经过哪些象限．
本题考查反比例函数图象的变化趋势，解题的关键是正确理解反比例函数的性质，本题属于基础题型．
5.【答案】A
【解析】解：∵一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，
∴现从中任意摸出一个球，恰好是白球的概率为96+9+3=12，
故选：A．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵sinA=BCAB，
∴AB=BCsinA=635=10．
故选：D．
根据正弦函数的定义即可直接求解．
本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
7.【答案】C
【解析】解：∵y=2(x−4)2−1的顶点坐标为(4,−1)，y=2x2的顶点坐标为(0,0)，
∴将抛物线y=2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y=2(x−4)2−1．
故选：C．
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵DE//BC，
∴ADAB=AEAC，本选项比例式正确，不符合题意；
B、∵EF//AB，
∴CECA=CFCB，
∴CECF=CACB，本选项比例式正确，不符合题意；
C、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，本选项比例式错误，符合题意；
D、∵EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CFCB，本选项比例式正确，不符合题意；
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质列出比例式，判断即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得，∠AOD=31°，∠BOC=31°，又∠AOC=100°，
∴∠DOB=100°−31°−31°=38°．
故选：C．
根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．
本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当点Q在AC上时，
∵∠A=30°，AP=x，
∴PQ=xtan30°= 33x，
∴y=12×AP×PQ=12×x× 33x= 36x2
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP=x，AB=16，∠A=30°，
∴BP=16−x，∠B=60°，
∴PQ=BP⋅tan60°= 3(16−x)．
∴y=12×AP×PQ=12x⋅ 3(16−x)=− 32x2+8 3x.
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
11.【答案】8.24×109
【解析】解：8240000000=8.24×109，
故答案为：8.24×109．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】x≠1
【解析】解：根据题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
故答案是：x≠1．
根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的范围的求法，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】7 2
【解析】解：
原式=4 2+6× 22，
=4 2+3 2，
=7 2，
故答案为：7 2．
根据二次根式加减运算的法则计算即可．
本题考查了二次根式相加减的问题，熟记加减的运算法则是解题的关键．
14.【答案】a(3a+b)(3a−b)
【解析】解：原式=a(9a2−b2)
=a(3a+b)(3a−b)．
故答案为：a(3a+b)(3a−b)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15.【答案】−2
解不等式①得：x>−2，
解不等式②得：x≤2．
则不等式组的解集是：−2
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
16.【答案】6π
【解析】解：∵扇形的圆心角为120°，扇形的面积为27π，
∴120πR2360=27π，
解得R=±9(负值舍去)，
∴扇形的弧长为120×π×9180=6π．
故答案为：6π．
根据扇形面积公式S=nπR2360，先求出扇形的半径，再根据扇形的弧长公式l=nπr180进行计算即可求解．
本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式．
17.【答案】3+ 3
【解析】【分析】
连接AC，BC，由抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．
本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．
【解答】
解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
∴点D的坐标为(0,−3)，
∴OD的长为3，
设y=0，则0=x2−2x−3，
解得：x=−1或3，
∴A(−1,0)，B(3,0)
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO⋅BO=3，
∴CO= 3，
∴CD=CO+OD=3+ 3，
故答案为：3+ 3．
18.【答案】110
【解析】解：设20−x=a，x−10=b，则a+b=20−x+x−10=10，ab=−5，
∴(20−x)2+(x−10)2
=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=102−2×(−5)
=100+10
=110；
故答案为：110．
仿照阅读材料，设20−x=a，x−10=b，则a+b=20−x+x−10=10，ab=−5，可得(20−x)2+(x−10)2=(a+b)2−2ab，代入可得答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
19.【答案】6 55或6 1313
【解析】解：分两种情况：
①点E在BC边上时，
如图1所示：连接AE，作AF⊥DE于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，BC=AD=3，∠B=∠C=90°，
∵BE=2CE，
∴BE=2，CE=1，
在Rt△CDE中，DE= 12+22= 5，
∵△ABE的面积+△CDE的面积+△ADE的面积=矩形ABCD的面积，
∴12×2×2+12×1×2+12× 5×AF=3×2，
解得：AF=6 55；
②点E在BC边的延长线时，
如图2所示：作AF⊥DE于F，BA延长线与ED延长线交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD//AB，CD=AB=2，BC=AD=3，∠BAD=∠B=∠C=90°，
∴∠DAG=90°，
∵BE=2CE，
∴BC=CE，
∴CD是△BEG的中位线，
∴BG=2CD=4，
∴AG=2，在Rt△ADG中，DG= 32+22= 13，
∵△ADG的面积=12DG×AF=12DG×AF=12×3×2，
∴AF=6 1313；
综上所述，点A到直线DE的距离为6 55或6 1313；
故答案为：6 55或6 1313．
分两种情况：①点E在BC边上时，连接AE，作AF⊥DE于F，由矩形的性质得出CD=AB=2，BC=AD=3，∠B=∠C=90°，求出BE=2，CE=1，在Rt△CDE中，由勾股定理得出DE= 5，再由△ABE的面积+△CDE的面积+△ADE的面积=矩形ABCD的面积，即可得出结果；
②点E在BC边的延长线时，作AF⊥DE于F，BA延长线与ED延长线交于点G，由矩形的性质得出CD//AB，CD=AB=2，BC=AD=3，∠BAD=∠B=∠C=90°，∠DAG=90°，证出CD是△BEG的中位线，得出BG=2CD=4，AG=2，在Rt△ADG中，由勾股定理得出DG，再由三角形面积公式即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形中位线定理以及分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是关键．
20.【答案】887
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE//CF，
∴AEEF=ADCD=83，
设AE=8a，则EF=3a，BE=8a，
∴BF=5a，AF=11a，
∵∠CBF=60°，
∴CF=5 3a，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：
AF2+CF2=AC2，
(11a)2+(5 3a)2=112，
解得：a=±1114(负值舍去)，
∴AB=16a=887．
过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由平行线易得AEEF=ADCD=83，设AE=8a，则EF=3a，BE=8a，BF=5a，AF=11a，CF=5 3a，在Rt△ACF中，由勾股定理得a=±1114(负值舍去)，即可解答．
本题考查平行线分线段成比例定理、勾股定理，解题关键的恰当作出辅助线．
21.【答案】18 3；4
【解析】解：(1)AB=6×3=18，BD=18×ct30°=18 3(米)；
(2)设甲楼最高应建x层，则3x⋅ct30°≤21，
∴x≤7 3≈4.04，∴x=4．
(1)求出甲楼的高度，根据30°的余切值来求．
(2)根据30°的余切值来求．
本题考查锐角三角函数余切值的应用．
22.【答案】解：原式=aa+2−1a−1⋅(a−1)2a+2
=aa+2−a−1a+2
=1a+2，
当a=6tan60°−2=6 3−2时，
原式=16 3−2+2=16 3= 318．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再求得a的值代入化简即可．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图，△ABE即为所求作．
(2)如图，△CDF即为所求作．
(3)EF= 12+22= 5．
【解析】(1)作出腰为5顶角是钝角的等腰三角形即可．
(2)作出腰为2 5的等腰直角三角形即可．
(3)利用勾股定理求解即可．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】50 5
【解析】解：(1)∵课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%．
∴1020%=50(人)．
∵课外阅读4小时的人数是32%．
∴50×32%=16(人)．
∴课外阅读4小时的男生人数是16−8=8(人)．
∴课外阅读6小时的男生人数是50−10−16−20−3=1(人)．
∴课外阅读3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人．
∴众数是5小时．
故答案为：50；5．
(2)如图所示
．
(3)∵课外阅读6小时的人数是4人．
∴700×450=56(人)．
答：九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有56人．
(1)根据统计图可知，课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出课外阅读4小时和6小时的男生人数，再根据众数的定义即可得出结论．
(2)根据(1)中求出的人数补全条形统计图即可．
(3)总人数乘以课外阅读时间为6小时的学生人数的百分比即可求出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图，从图中获得必要的信息是解题的关键，必须认真观察，分析和研究统计图．
25.【答案】解：(1)设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，
根据题意得：
x+2y=1702x+y=295，
解得：
x=140y=15，
答：甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元，
(2)设购进甲种纪念品a件，花了140a元，则购进乙种纪念品140a−4515件，
乙种纪念品花了(140a−45)元，
根据题意得：
140a+(140a−45)≤8355，
解得：a≤30，
∵a为整数，
∴a最大为30，
当a=30时，乙种纪念品的件数为：140×30−4515=277，是整数，
∴a最大为30，
答：最多购进甲种纪念品30件．
【解析】(1)设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，根据“若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元”，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，
(2)设购进甲种纪念品a件，花了140a元，则购进乙种纪念品140a−4515件，乙种纪念品花了(140a−45)元，根据“两种纪念品的总资金不超过8355元”，列出关于a的一元一次不等式，解之，取最大值，再代入140a−4515，如果为整数，即为所求答案．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键：(1)正确找出等量关系，列出二元一次方程组，(2)正确找出不等关系，列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：∵CD为直径，CD⊥AB，
∴AH=BH，
∴H是AB的中点，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AD=BD；
(2)证明：由(1)知，△ABD为等腰三角形，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC，∠BAD=∠B，
由圆周角定理可知，∠B=∠F，
∵DE=DF，
∴∠DEF=∠F，
∴∠DEF=∠ADB，
∵∠ADB=2∠ADC，
∴∠CDF=2∠ADC；
(3)解：作AN的垂直平分线交AH于S，连接NS，OB，如图：
∴∠NSH=2∠MAB=∠AMD，AS=NS，
∵tan∠MAB=12，
∴AH=2NH，
在Rt△NSH中，NS2=HS2+NH2，
解得：NS=54NH，
∴tan∠NSH=43，即tanB=43，
设OB=OD=x，
在Rt△OHB中，HB2=OB2−OH2=x2−9，
在Rt△DHB中，tanB=DHBH=43，
∴DH2HB2=(x+3)2x2−9=169，
解得：x=757或−3(舍去)，
∴CD=2x=1507．
【解析】(1)由垂径定理可知，AH=BH，然后根据等腰三角形的判定求证AD=BD即可；
(2)根据圆周角定理可知，∠B=∠F，在根据等腰三角形的性质可以得出∠EDF=∠ADB，从而得证；
(3)作AN的垂直平分线交AH于S，可得∠NSH=2∠MAB=∠AMD=∠B，然后根据三角函数值以及勾股定理，求出∠B的三角函数，连接OB，设半径OD=OB=x，根据三角函数值的定义以及勾股定理求出半径长即可求出直径CD的长．
本题主要考查了圆的综合题，合理运用锐角三角函数的定义是本题解题的关键．
27.【答案】解：(1)当y=0时，12(x+m)(x−2)=0，
解得x=−m或x=2，
∴B(2,0)，A(−m,0)，
∴BO=2，
当x=0时，y=12⋅m⋅(−2)=−m，
C(0,−m)，
∵CD//AB，
∴∠OBF=∠CDF∠BOF=∠DCF，
∴△OBF∽△CDF，
∴BODC=BFDF，
∴2DC=BF1,5BF，
∴CD=3，
∴D(−3,−m)，
∵D点在y=12(x+m)(x−2)图象上，
∴−m=12(−3+m)(−3−2)，
解得m=5，
∴抛物线的解析式为y=12x2+32x−5；
(2)由y=12x2+32x−5得，A(−5,0)，B(2,0)，C(0,−5)，
∵P点横坐标为t，
∴P点纵坐标为12t2+32t−5，
设PB的表达式为y=kx+b，
则2k+b=0kt+b=12t2+32t−5，
解得k=t+52b=−t−5，
∴PB的表达式为y=t+52x−t−5，
∴E(0,−t−5)，
∴EC=−t−5+5=−t，
∵PH=|t|=−t，
∴S=12EC⋅PH=12⋅(−t)⋅(−t)=12t2，
∴S与t之间的函数关系式为S=12t2；
(3)如图，过点E作CE的垂线，作∠OCM的平分线交CE的垂线与F，
过点F作EP的平行线交HP的延长线于N点，连接CN，
∵HP//AB，
∴∠HPB=∠PBO，
∵∠OCM=2∠PBO，∠COM=2∠ECF，
∴∠PBO=∠ECF，
∴∠HPB=∠ECF，
∵∠HPB=∠ECFPH=EC∠PHE=∠CEF，
∴△PHE≌△CEF(ASA)，
∴EF=EH，EP=CF，
设EF=EH=3k，CM=5k，则HC=−t−3k，
∵EF//PN，FN//EP，
∴四边形EFNP是平行四边形，
∴PN=EF=3k，
∴NH=PH+PN=−t+3k，
∵FN=EP，EP=CF，
∴FN=CF，
∴∠FNC=∠FCN，
又∵∠FNM=∠ECF=∠FCM，
∴∠FNC−∠FNM=∠FCN−∠FCM，
即∠MNC=∠MCN，
∴MN=MC=5k，
∴MH=NH−MN=−t+3k−5k=−t−2k，
∵MH2+HC2=MC2，
∴(−t−2k)2+(−t−3k)2=(5k)2，
解得t1=k(舍去)，t2=−6k，
∵tan∠EPH=EHPH=3kt=3k6k=12，
tan∠PBO=OEOB=|−t−5|2=t+52，
∴t+52=12，
解得t=4，
∴12t2+32t−5=−3，
∴P(−4,−3)，
∴S=12t2=12×(−4)2=8．
【解析】(1)先根据函数解析式求出A，B，C的坐标，再根据CD//AB，证明△OBF∽△CDF，由相似三角形的性质得出BODC=BFDF，从而求出点D坐标，再把点D坐标代入抛物线解析式求出m；
(2)由(1)的解析式求出A，B，C的坐标，再根据P的坐标，用待定系数法求出直线PB的解析式，得出点E坐标，从而求出EC，PH，再由三角形的面积公式求出△CPE的面积为S与t之间的函数关系式；
(3)过点E作CE的垂线，作∠OCM的平分线交CE的垂线与F，过点F作EP的平行线交HP的延长线于N点，连接CN，先证明△PHE≌△CEF(ASA)，从而得出EF=EH，EP=CF，设EF=EH=3k，CM=5k，则HC=−t−3k，然后证明四边形EFNP是平行四边形，得出MN=MC=5k，MH=NH−MN=−t+3k−5k=−t−2k，再根据MH2+HC2=MC2，求出t=−6k，然后由tan∠EPH=EHPH=3kt=3k6k=12，tan∠PBO=OEOB=|−t−5|2=t+52，tan∠EPH=tan∠PBO列出关于t的方程，求出t的值，然后求点P坐标和S．
本题考查了二次函数综合题，二次函数的图象和性质、平行四边形的性质与判定，三角形面积等基础知识．考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想及分类与整合思想．正确的作出辅助线，是解题的关键．
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