2023-2024学年辽宁省朝阳市高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与−20°角终边相同的角是( )
A. −300°B. −280°C. 320°D. 340°
2.已知向量a=(2,t)，b=(t+3,2)，且a//b，则实数t=( )
A. 1或4B. 1或−4C. 14或1D. −14或1
3.已知p：a∈{x|x=2k,k∈N*}，q：正整数a能被4整除，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.在平面直角坐标系xOy中，角α与β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若csα=−37，则csβ=( )
A. 37B. −37C. 2 107D. −2 107
5.袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ex，则f(ln2)=( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
7.函数f(x)=(−a−5)x−2,x≥2x2+2(a−1)x−3a,x<2，若对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则实数a的取值范围为( )
A. [−4,−1]B. [−4,−2]C. (−5,−1]D. [−5,−4]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.以下关于平面向量的说法中，正确的是( )
A. 有向线段就是向量B. 所有单位向量的模都相等
C. 零向量没有方向D. 平行向量也叫作共线向量
9.下列转化结果正确的是( )
A. 90°化成弧度是π2B. −23π化成角度是−60°
C. −120°化成弧度是−56πD. π10化成角度是18°
10.下列函数既是偶函数，又在(−∞,0)上是减函数的是( )
A. y=x45B. y=3|x|C. y=lg(x2+1)D. y=x−1x
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=2lg2(2x+1)−1，则下列说法正确的是( )
A. f(−72)=5
B. 当x∈(−∞,0)时，f(x)=1−2lg2(−2x+1)
C. f(x)在R上单调递增
D. 不等式f(x)≥1的解集为[12,+∞)
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
12.已知集合A={x|−1A. [0,1)B. (−1,2]C. (1,2]D. (0,1)
13.函数f(x)=ax−1(a>0且a≠1)恒过定点______．
14.桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为120°，半径为30m，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为(结果保留π) ______m.
15.已知事件A，B相互独立，且P(A)=2P(A−)，2P(B)=P(B−)，则P(AB)= ______．
16.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若EF=2FB，AF=λAB+μAD(λ,μ∈R)，则2λ+μ=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知tanα=23．
(1)求sinα−2csαcsα−2sinα的值；
(2)求sin2α−2cs2α的值．
18.(本小题12分)
(1)已知x>0，y>0，x+y=2，求4x+1y的最小值；
(2)已知019.(本小题12分)
已知函数f(x)=(4m2−3m)xm2+3m4−1是幂函数，且f(3)(1)求实数m的值；
(2)若f(2a+1)20.(本小题12分)
对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
(1)求出表中M，p及图中a的值；
(2)若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；
(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数.(保留一位小数)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)．
(1)若f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
(2)解关于x的不等式lg13(−ax−1)>lg13(a−x2)．
22.(本小题12分)
设a∈R，已知函数f(x)=2x+a2x−a为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)若a<0，判断并证明函数f(x)的单调性；
(3)在(2)的条件下，函数f(x)在区间[m,n](m答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为与−20°角终边相同的角是−20°+360°k，k∈Z，
当k=1时，这个角为340°，
只有选项D满足，其他选项不满足k∈Z．
故选：D．
由终边相同的角的性质即可求解．
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为a=(2,t)，b=(t+3,2)，且a//b，
所以2×2−t(t+3)=0，
解得t=1或−4．
故选：B．
根据平面向量共线定理的坐标表示，列方程求出t的值．
本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理应用问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：若p成立，则a∈{x|x=2k,k∈N*}，可知a为正偶数，不一定推出q：正整数a能被4整除，故充分性不成立；
反之，若q成立，则正整数a能被4整除，可知a一定是正偶数，可以推出p：a∈{x|x=2k,k∈N*}，即必要性成立．
因此，p是q的必要不充分条件．
故选：B．
根据整数的整除性，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查了整数的整除性、等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为角α与β均以Ox为始边，且它们的终边关于y轴对称，
所以csβ=−csα=37．
故选：A．
根据任意角的概念及诱导公式，即可得解．
本题考查任意角的概念及诱导公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，袋中共有5个球，从中任取2个，有C52=10种不同的取法，
5个球中，有2个白球和2个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×2=4种；
则两球颜色为一白一黑的概率P=410=25；
故选：B．
首先由组合数公式，计算从袋中的5个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
本题考查等可能事件的概率计算，是基础题，注意正确使用排列、组合公式．
6.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(−x)=−f(x)恒成立，
因为x<0时，f(x)=ex，
所以f(ln2)=−f(−ln2)=−e−ln2=−12．
故选：C．
由已知结合奇函数的定义及已知区间上的函数解析式即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，
所以f(x)是R上的减函数，
则4+4(a−1)−3a≥2(−a−5)−2−a−5<01−a≥2，
解得−4≤a≤−1．
故选：A．
确定函数f(x)在R上单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案．
本题考查函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】BD
【解析】解：由有向线段、向量的定义知，A不正确；
单位向量是长度为1的向量，B正确；
零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫作共线向量，D正确．
故选：BD．
根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答．
本题考查平面向量的相关概念，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：因为90°=π2rad，所以选项A正确；
因为−23πrad=−120°，所以选项B不正确；
因为−120°=−2π3rad，所以选项C不正确；
因为π10rad=18°，所以选项D正确．
故选：AD．
根据1°=π180(rad)，1(rad)=(180π)°计算判断即可．
本题主要考查了弧度制与角度制的互化，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据幂函数的性质可知，y=x45为偶函数且在(−∞,0)上是减函数，A正确；
根据指数函数的性质可知，y=3|x|为偶函数且在(−∞,0)上是减函数，B正确；
根据对数函数及复合函数的性质可知，y=lg(x2+1)为偶函数且在(−∞,0)上是减函数，C错误；
函数y=x−1x为奇函数，不符合题意．
故选：ABC．
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=2lg2(2x+1)−1，
所以f(−72)=−f(72)=−(2lg28−1)=−2，A错误；
当x<0时，−x>0，则f(−x)=2lg2(−2x+1)−1=−f(x)，
所以f(x)=1−2lg2(1−2x)+1，B正确；
因为f(0)=0，f(−1+2142)=2lg2(2×−1+2142)−1=−12当x>0时，由f(x)=2lg2(2x+1)−1≥1可得x≥12，
当x<0时，由f(x)=1−2lg2(−2x+1)≥1可得x无解，
又f(0)=0<1，
故x≥12，D正确．
故选：BD．
由奇函数定义及已知x>0时的函数解析式可检验AB；
结合已知x>0时的解析式及奇函数定义检验选项C；
结合已知函数解析式及对数函数的性质检验选项D．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：A={x|−1故选：A．
由交集的定义直接求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
13.【答案】(1,1)
【解析】解：令x−1=0，解得x=1，
当x=1时，f(x)=1，
故函数f(x)恒过定点(1,1)．
故答案为：(1,1)．
结合指数函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数的性质，属于基础题．
14.【答案】20π+60
【解析】解：因为120°=2π3，所以，扇形的圆心角为2π3，半径为30m，
所以，该花园的护栏的总长度为30×2π3+2×30=20π+60(m)．
故答案为：20π+60．
确定扇形的圆心角的弧度数，结合扇形的弧长公式可求得该公园护栏的总长度．
本题主要考查扇形的弧长公式，属于基础题．
15.【答案】29
【解析】解：∵P(A)=2P(A−)=2[1−P(A)]，∴P(A)=23，
∵2P(B)=P(B−)=1−P(B)，∴P(B)=13，
又∵事件A，B相互独立，∴P(AB)=P(A)P(B)=29．
故答案为：29．
由已知结合对立事件概率公式求得P(A)与P(B)，再由相互独立事件的乘法公式求解．
本题考查对立事件概率公式及独立事件乘法公式，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：∵EF=2FB，E为CD的中点，
∴BF=13BE=13(BC+CE)=13AD−16AB，
∴AF=AB+BF=AB+13AD−16AB=56AB+13AD，
∵AF=λAB+μAD(λ,μ∈R)，
∴λ=56，μ=13，
∴2λ+μ=2，
故答案为：2．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵tanα=23，
∴sinα−2csαcsα−2sinα=tanα−21−2tanα=23−21−2×23=6；
(2)sin2α−2cs2α=sin2α−2cs2αsin2α+cs2α=tan2α−2tan2α+1=−1413．
【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
(1)分子分母同除以csα，即可求解结论；
(2)分母1转化为sin2α+cs2α，再分子分母同除以cs2α，即可求解结论．
18.【答案】解：(1)∵x>0，y>0且x+y=2，
∴4x+1y=12(4x+1y)(x+y)=12(5+4yx+xy)≥12(5+2 4yx⋅xy)=92，
当且仅当4yx=xy，即x=43，y=23时，等号成立，
∴4x+1y的最小值为92；
(2)∵00，
∴y= x(1−4x)= 14(4x)(1−4x)≤12⋅4x+1−4x2=14，
当且仅当4x=1−4x即x=18时等号成立．
∴y= x(1−4x)的最大值14．
【解析】(1)利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件；
(2)由题设知1−4x>0，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=(4m2−3m)xm2+3m4−1是幂函数，
所以4m2−3m=1，
解得m=1或m=−14，
当m=−14时，f(x)=x−98，此时f(3)>f(5)，不符合题意；
当m=1时，f(x)=x34，此时f(3)综上，m=1；
(2)因为f(x)=x34，所以f(x)的定义域为[0,+∞)，且在[0,+∞)上单调递增，
所以f(2a+1)解得−12≤a<13，即实数a的取值范围是[−12,13)．
【解析】(1)由已知f(3)(2)结合幂函数的单调性即可求解不等式．
本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由分组[10,15)对应的频数是10，频率是0.20，可得10M=0.20，
解得M=50，
所以10+24+m+2=50，解得m=14，
所以p=mM=1450=0.28,a=2450×5=0.096；
(2)估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数为2450×300=144；
(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是15+202=17.5，
因为n=2450=0.48，
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足0.2+(x−15)×0.485=0.5，
解得x=18.125，
即该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1，
估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是12.5×0.20+17.5×0.48+22.5×0.28+27.5×0.04=18.3．
【解析】(1)根据频率的定义求出M，p，根据频率分布直方图的性质求解a；
(2)根据频率分布直方图的性质求解；
(3)根据中位数、众数和平均数的定义求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数、平均数和中位数的定义，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为y=lgax在[a,2a]上为单调函数，
且函数y=lgax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1，
所以|lga(2a)−lgaa|=|lga2|=1，
解得a=2或12．
(2)因为函数y=lg13x是(0,+∞)上的减函数，
所以−ax−1>0a−x2>0−ax−1当0当a>1时，−1a>−1>− a，原不等式解集为(−1,−1a)．
【解析】(1)已知函数f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；
(2)利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集．
本题主要考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由函数f(x)为奇函数，有f(−x)+f(x)=0，
有12x+a12x−a+2x+a2x−a=0，
有(2x−a)(12x+a)+(2x+a)(12x−a)=0，
有(1−a2+a⋅2x−a2x)+(1−a2−a⋅2x+a2x)=0，有a2=1，得a=±1．
①当a=1时，f(x)=2x+12x−1，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=12x+112x−1=1+2x1−2x=−f(x)，符合题意；
②当a=−1时，f(x)=2x−12x+1，定义域为R，f(−x)=12x−112x+1=1−2x1+2x=−f(x)，符合题意．
由上知a=−1或1；
(2)当a<0时，有a=−1，即f(x)定义域为R，结论为：f(x)在R上单调递增，
设R上任意两个实数x1，x2，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1+1−2x2−12x2+1=(2x1−1)(2x2+1)−(2x2−1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
而2x2−2x1>0，2x1+1>0，2x2+1>0，
∴(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0，
即f(x1)(3)由m0，
由(2)知f(x)在R上单调递增，结合题意有f(m)=k⋅2m,f(n)=k⋅2n,
得2m−12m+1=k⋅2m,2n−12n+1=k⋅2n,，即m，n是2x−12x+1=k⋅2x的两个不同实根，
令t=2x>0，则kt2+(k−1)t+1=0在(0,+∞)上有两个不同实根，
有k>0,Δ=(k−1)2−4k>0,t1+t2=1−kk>0,t1t2=1k>0,可得0故实数k的取值范围为(0,3−2 2)．
【解析】(1)直接根据奇函数定义f(−x)=−f(x)，代入解析式即可求出参数a的值；
(2)由(1)知，当a<0时，得a=−1，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性；
(3)首先根据函数单调性可得f(m)=k⋅2m,f(n)=k⋅2n,，即2m−12m+1=k⋅2m,2n−12n+1=k⋅2n,，令t=2x>0，将原问题转化为kt2+(k−1)t+1=0在(0,+∞)上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可．
本题综合考查了函数的奇偶性及单调性的应用，属于中档题．分组
频数
频率
[10,15)
10
0.20
[15,20)
24
n
[20,25)
m
p
[25,30]
2
0.04
合计
M
1