2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是
．( )
A. B.
C. D.
2.杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为
．( )
A. 79×10−4B. 7.9×10−4C. 79×10−5D. 0.79×10−3
3.下列运算正确的是
．( )
A. a2⋅a3=a5B. (a2)3=a5C. (−2a)3=−2a3D. a9÷a3=a3
4.如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB//ED,∠A=∠D，添加下列条件不⋅能⋅判定▵ABC≌▵DEF的是
．( )
A. AC/​/DFB. AB=DEC. EC=BFD. AC=DF
5.一个多边形每个外角都是72∘，则该多边形的边数是
．( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.如图是折叠凳及其侧面示意图．若AC=BC=18cm，则折叠凳的宽AB可能为
．( )
A. 70cmB. 55cmC. 40cmD. 25cm
7.下列各式从左到右变形正确的是
．( )
A. −y−x=−yxB. x+1x+3=13C. x+2x2−4=1x−2D. xy2x2y=1
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC,AB,BC的对称点，给出下面三个结论：
①AE=AD；
②∠DPE=90∘；
③∠ADC+∠BFC+∠BEA=270∘．
上述结论中，所有正确结论的序号是．( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.若代数式3x−1有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式：a3−ab2=
11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A−1,−1关于x轴的对称点A′的坐标为 ．
12.计算：6a3−9a2÷3a2= ．
13.已知等腰三角形的一个角是40∘，则它的顶角的度数是 ．
14.如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线．若AB=8，AC=13，则▵ABD的周长为 ．
15.把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC=35∘，则∠CBD= °.
16.请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a.分子和分母均为正整数；
b.分子小于分母；
c.分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d.去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：1664去掉相同的数字6之后，得到的分数14恰好与原来的分数相等，则1664是一个“乐数”．
(1)判断：1339 (填“是”或“不是”)“乐数”；
(2)写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.计算：(−3)2−(π−2024)0+(12)−1+|−2|．
四、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
(1)已知x2+2x−2=0，求代数式xx−2+x+32的值．
(2)计算：1x−1+1x+1÷2xx2−2x+1．
19.(本小题10分)
小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起(即AO=CO，BO=DO)，如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点__与点__之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90∘,∠A=30∘.在线段AC上求作一点D，使得CD=12AD.小明发现作∠ABC的平分线交AC于点D，点D即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵∠A=30∘,∠C=90∘，
∴∠ABC=_________ ∘．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30∘．
∴∠ABD=∠A．
∴AD=_________．
在Rt▵BCD中，∠CBD=30∘，
∴CD=12BD(____________________________________________)(填推理依据)．
∴CD=12AD．
21.(本小题10分)
如图所示的4×4网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，△ABC为格点三角形．
(1)∠ABC=__________ ∘；
(2)在图2和图3中分别画出一个以点C1，C2为顶点，与△ABC全等，且位置互不相同的格点三角形．
22.(本小题10分)
列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
23.(本小题10分)
如图，四边形ABCD中，AB=AC,∠D=90∘，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF．

(1)求证：AF=AD；
(2)若BF=7,DE=3，求CE的长．
24.(本小题10分)
小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为n1+m.利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________(用含a的式子表示)．
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC，作直线AP，使得45∘<∠PAC<90∘.过点B作BD⊥AP于D，在DA的延长线上取点E，使DE=BD.连接BE，CE．
(1)依题意补全图形；
(2)若∠ABD=α，求∠CBE(用含α的式子表示)；
(3)用等式表示线段AE,CE,DE之间的数量关系，并证明．
26.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n∘.对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且▵MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n∘点．
(1)如图1，若点M2,0，N4,0，点P为M，N的45∘点，连接OP，OQ．
①∠POQ=________________∘；
②求点P的纵坐标；
(2)已知点Mm,0，Nm+t,0．
①当t=2时，点P为M，N的60∘点，且点P的横坐标为−2，则m=____________________；
②当m=−2时，点P为M，N的30∘点，且点P的横坐标为2，则t=___________________．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故不符合要求；
B中图形不是轴对称图形，故不符合要求；
C中图形是轴对称图形，故符合要求；
D中图形不是轴对称图形，故不符合要求．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，将0.00079写成a×10−n的形式即可，其中1≤a<10，n为整数，n的值与小数点移动位数相同．
【详解】解：0.00079=7.9×10−4，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：A．a2⋅a3=a5，故 A选项计算正确，符合题意；
B.(a2)3=a6，故 B选计算错误，不符合题意；
C.(−2a)3=−8a3，故 C选计算错误，不符合题意；
D.a9÷a3=a6，故 D选计算错误，不符合题意．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键．
根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可．
【详解】解：∵AB//ED，∴∠B=∠E．
当AC/​/DF时，∠ACB=∠DFE，此时无法证明▵ABC≌▵DEF，故 A符合要求；
当AB=DE时，▵ABC≌▵DEFASA，故 B不符合要求；
当EC=BF时，则EF=BC，▵ABC≌▵DEFAAS，故 C不符合要求；
当AC=DF时，▵ABC≌▵DEFAAS，故 D不符合要求；
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．
【详解】解：边数n=360°÷72°=5．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形，熟知多边形的外角和为360°是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答．
【详解】解：如图．∵AC=BC=18cm，
∴18−18∴只有D选项符合题意．
故选D．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质判断，即可得到答案．
【详解】解：A、−y−x=yx，原式变形错误，不符合题意；
B、x+1x+3≠13，原式变形错误，不符合题意；
C、x+2x2−4=x+2x+2x−2=1x−2，原式变形正确，符合题意；
D、xy2x2y=yx，原式变形错误，不符合题意；
故选C．
8.【答案】A
【解析】【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据对称得到垂直平分线进而得到等腰三角形计算即可．
【详解】连接PA、PB、PC，如图．
∵点D，E，F分别是点P关于直线AC,AB,BC的对称点，
∴AC垂直平分PD，AB垂直平分PE，BC垂直平分PF，
∴CD=CP，AD=AP，AP=AE，BP=BE，BP=BF，CP=CF，
∴AD=AP=AE，故①正确，
∵AD=AP=AE，
∴∠APD=∠ADP，∠APE=∠AEP，
∵∠APE+∠AEP+∠APD+∠ADP=180∘，
∴∠APE+∠APD=90∘，即∠DPE=90∘，故②正确；
∵CD=CP，AD=AP，
∴∠CPD=∠CDP，∠APD=∠ADP，
∴∠ADC=∠APC，
同理∠AEB=∠APB，∠BFC=∠BPC，
∴∠ADC+∠BFC+∠BEA=∠APC+∠BPC+∠BPA=360∘，故③错误；
故选：A．
9.【答案】x≠1
【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键
直接运用分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵代数式3x−1有意义，
∴x−1≠0，即x≠1．
故答案为x≠1．
10.【答案】aa+ba−b
【解析】利用提取公因式法和公式法因式分解．
a3−ab2=aa2−b2=aa+ba−b．
11.【答案】(−1,1)
【解析】【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特点，根据关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于x轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：∵点A−1,−1关于x轴的对称点为点A′，
∴点A′的坐标为−1,1，
故答案为：−1,1．
12.【答案】2a−3
【解析】【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
原式运用多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】(6a3−9a2)÷3a2
=6a3÷3a2−9a2÷3a2，
=2a−3
故答案为：2a−3．
13.【答案】40∘或100∘
【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180∘，分度数为40∘的角为顶角和底角两种情况进行求解即可．
【详解】解：当度数为40∘的角是顶角时，则顶角的度数为40∘；
当度数为40∘的角为底角时，则顶角的度数为180∘−2×40∘=100∘；
综上所述，顶角的度数为40∘或100∘，
故答案为：40∘或100∘．
14.【答案】21
【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键，根据垂直平分线的性质，可知BD=CD，进而可求出▵ABD的周长．
【详解】解：∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴▵ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=8+13=21，
故答案为：21．
15.【答案】20
【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出∠BAD=∠BAE，根据两直线平行，内错角相等求出∠BAE=∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90∘−∠BAD=55∘即可．
【详解】解：如图，由题意，得AE/​/BD，∠BAD=∠BAE，
∴∠BAE=∠ABD，
∴∠ABD=∠BAD=35∘，
∵∠ABC=90∘−∠BAD=55∘，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=20∘，
故答案为：20
16.【答案】不是
1995(答案不唯一)

【解析】本题考查了了分式的定义，新定义．
(1)根据“乐数”的定义可以判断1339不是“乐数”；
(2)设分子的十位数字为a，分母的个位数字为b，由题意得10a+990+b=ab，推出b=10−10a+1，由a，b为正整数，得到a+1=2或5或10，据此求解即可．
【详解】解：(1)1339去掉相同的数字3之后，得到的分数为19，而1339=13，19≠13，
故1339不是“乐数”；
(2)设分子的十位数字为a，分母的个位数字为b，
由题意得10a+990+b=ab，
整理得ab=10a−b，即b=10−10a+1．
∵a，b为正整数，
∴a+1=2或5或10，
∴a=1或4或9(舍去)，
∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是1995或4998．
故答案为不是；1995 ．
17.【答案】解：原式=9−1+2+2
=12．

【解析】根据零指数幂、负指数幂和绝对值的意义对原式进行化简，再进行计算即可．
本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和绝对值的意义，相关公式有a0=1a≠0 ，a−p=1apa≠0 ，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=x2−2x+x2+6x+9
=2x2+4x+9；
∵x2+2x−2=0，
∴x2+2x=2．
∴2x2+4x=4.
∴原式=4+9=13．
(2)原式=x+1(x−1)(x+1)+x−1(x−1)(x+1)⋅(x−1)22x
=2x(x−1)(x+1)⋅(x−1)22x
=x−1x+1．

【解析】本题考查了整式的化简求值和分式的混合运算，掌握运算法则和通分、约分是解题的关键．
(1)先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x=2代入化简后的式子计算即可；
(2)先通分括号里面的，再把除法转化为乘法计算即可．
19.【答案】解：C，D.理由如下：
连接CD，如图所示．
在△COD和▵AOB中，
OC=OA∠COD=∠AOBOD=OB,
∴△COD≌△AOB(SAS)，
∴CD=AB，
∴点C与点D的距离为该花瓶内底的宽．

【解析】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
20.【答案】(1)解：如图所示，点D即为所求．
(2)证明：∵∠A=30∘,∠C=90∘，
∴∠ABC=60∘．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30∘．
∴∠ABD=∠A．
∴AD=BD．
在Rt△BCD中，∠CBD=30∘，
∴CD=12BD(在直角三角形中，如果一个锐角等于30∘，那么它所对的直角边等于斜边的一半．)．
∴CD=12AD．
故答案为：60；BD；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

【解析】(1)按照角平分线的作图步骤作图即可；
(2)根据直角三角形两锐角互余得到∠ABC=60∘，由角平分线定义得∠ABD=∠CBD=30∘.则∠ABD=∠A.由等角对等边得到AD=BD.则根据直角三角形的性质得到CD=12BD，即可得到结论．
此题考查了角平分线的作图、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，根据性质进行正确推理是解题的关键．
21.【答案】解：由勾股定理，AB2=22+12=5，BC2=22+12=5，AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90∘，
故答案为：90．
(2)解：如图，▵A1B1C1和▵A2B2C2即为所求作．

【解析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定．
(1)由勾股定理分别求出AB2=5，BC2=5，AC2=10，再利用勾股定理的逆定理，得出△ABC是直角三角形，即可得到∠ABC的度数；
(2)根据三条边分别对应相等的两个三角形全等画图即可．
22.【答案】解：设1名快递员平均每天配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x，
依题意可得：60005x+2=60004x，解得：x=150．
经检验，x=150是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．

【解析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．
设1名快递员平均每天配送包裹x件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x件，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．
23.【答案】(1)证明：∵∠D=90∘，
∴AD⊥ED．
∵BE⊥AC于点F，EA平分∠DEF，
∴DE=EF，
∴△AFE≌△ADE，
∴AF=AD．
(2)解：∵BE⊥AC于点F，
∴∠AFB=90∘．
在Rt△AFB和Rt△ADC中，
AB=AC,AF=AD,
∴▵AFB≌▵ADCHL．
∴BF=CD．
∵BF=7，
∴CD=7．
∵DE=3，
∴CE=CD−DE=7−3=4．

【解析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点运用HL证得▵AFB≌▵ADC是解题的关键．
(1)运用角平分线的性质定理证明△AFE≌△ADE，进而可得结论；
(2)先证明▵AFB≌▵ADC可得BF=CD，即CD=7，最后根据线段的和差即可解答．
24.【答案】解：(1)11+2=13，
故答案为：13；
(2)①根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为11+4a，
第二次过滤后水中杂质含量为11+4a1+2a=1(1+4a)(1+2a)，
故答案为：11+4a，11+4a1+2a；
②11+6a−11+5a1+a=5a21+6a1+5a1+a．
∵a>0，
∴5a2>0，1+6a1+5a1+a>0．
∴5a21+6a1+5a1+a>0．
∴11+6a>11+5a1+a．
同理，可得11+5a1+a>11+4a1+2a．
∴11+4a1+2a<11+5a1+a<11+6a．
∴方案C的最终过滤效果最好．
(3)设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用6a−x个单位，
∴第一次净水后，杂质含量为：11+x，
∴第二次净水后，杂质含量为：11+x1+6a−x=11+x1+6a−x，
∵11+x1+6a−x
=1−x2+6ax+6a+1
=1−x−3a2+9a2+6a+1，
∵−x−3a2≤0，
∴−x−3a2+9a2+6a+1≤9a2+6a+1，
当−x−3a2=0，即x=3a时，−x−3a2+9a2+6a+1有最大值为9a2+6a+1，
∴此时分数1−x−3a2+9a2+6a+1有最小值，
即第一次使用3a个单位的净水材料，第二次使用3a个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少，
故答案为：3a．

【解析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算，
(1)根据水中的杂质含量为n1+m计算即可；
(2)①根据(1)中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答；
(3)设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用6a−x个单位，即第一次净水后，杂质含量为：11+x，第二次净水后，杂质含量为：11+x1+6a−x=11+x1+6a−x，即有11+x1+6a−x=1−x−3a2+9a2+6a+1，问题随之得解．
25.【答案】解：(1)依题意，补全图形如图所示：
(2)解：∵BD⊥AP于D，
∴∠BDE=90∘．
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=45∘．
∵∠ABD=α，
∴∠ABE=∠DBE−∠ABD=45∘−α．
∵∠ABC=90∘，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=45∘+α．
(3)AE+CE=2DE．
证明：如图，在AD延长线上取点F，使DF=AD，连接BF．
∵BD⊥AP，AD=DF，
∴BA=BF，则∠BAD=∠BFD，
∴∠FBD=∠ABD=α．
∵∠DBE=45∘，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=45∘+α．
∴∠EBF=∠CBE．
∵AB=BC，
∴BF=BC．
∵BE=BE，
∴△BEF≌△BEC(SAS)．
∴FE=CE．
∵AE=DE−AD，CE=FE=DE+DF，AD=DF，
∴AE+CE=2DE．

【解析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键．
(1)根据题中要求补全图形即可；
(2)根据等腰直角三角形的性质得到∠DBE=∠DEB=45∘，进而根据图形进行角度的运算即可；
(3)在AD延长线上取点F，使DF=AD，连接BF，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得∠FBD=∠ABD=α，进而得到∠EBF=∠CBE，证明△BEF≌△BEC(SAS)得到FE=CE，进而可得结论．
26.【答案】解：(1)①如图所示，设点C为第一象限内l上一点，
∵△QMN为等边三角形，M2,0，N4,0，则MN=MQ=OM=2
∴∠QMO=120∘，∠QOM=∠OQM=30∘
∵点P为M，N的45∘点，
∴l与x轴的夹角为45∘，即∠COM=45∘
∴∠POC=∠QOC=45∘−30∘=15∘，
∴∠POQ=30∘，
故答案为：30．
②过点P作PA⊥y轴于A，过点Q作QB⊥x轴于B，
∴∠PAO=∠QBO=90∘．
∵点P为线段MN的45∘点，
∴PO=QO，∠AOC=∠BOC=45∘，∠POC=∠QOC．
∴∠AOP=∠BOQ．
在△OPA和▵OQB中，
∠PAO=∠QBO,∠AOP=∠BOQ,OP=OQ,
∴△OPA≌△OQB(AAS)．
∴AO=BO．
∵△MNQ是等边三角形，点M(2,0)，点N(4,0)，
∴OM=MN=2．
∵QB⊥MN，
∴BM=12MN=1．
∴AO=BO=3．
∴P点纵坐标为3．
(2)①如图所示，延长NQ交l于点D，连接PD交y轴于A，过点Q作QB⊥x轴于B，
∵点P为M，N的60∘点，
∴l//MQ，则▵ODN是等边三角形．
过点D作DE⊥x轴于点E，则OE=EN，
∴∠EDN=30∘.
∵P,Q关于l对称，
∴∠PDO=∠QDO=60∘，则∠PDO=∠DOB=60∘，
∴PD//x轴，
∵点P的横坐标为−2
∴PA=2，
∵DE⊥ON，则OE=12ON=12m+2=AD，
∵DN=DP=m+2，DQ=DP=DA+AP=12m+2+2，则DN=DQ+QN=12m+2+2+2=12m+5，
∴m+2=12m+5
解得：m=6
故答案为：6．
②当m=−2时，点M−2,0，N−2+t,0．
当t>0时，点N在点M的右侧，如图所示，过点P作PA⊥y轴于A，过点Q作QB⊥x轴于B，设A关于l的对称点为A′，则△OAP≌△OA′Q ．
∵AP=QA′=2，∠QA′O=∠PAO=90∘，∠A′MO=60∘，则∠A ′OM=30∘ ，
∴A′M=12OM=1，
∴MQ=2+1=3
∵MN=MQ=3
∴t=3
当t<0时，点N在点M的左侧，
同理可得A′Q=AP=2，∠A′ON=30∘，则A′N=12NO=122−t，
∴QN=QA′+A′N=2+122−t=−t，
解得：t=−6，
综上所述，t=3或t=−6．
故答案为：3或−6．

【解析】(1)①设点C为第一象限内l上一点，得出l与x轴的夹角为45∘，即∠COM=45∘，则∠POC=∠QOC=15∘ ，即可得出∠POQ=30∘；
②过点P作PA⊥y轴于A，过点Q作QB⊥x轴于B，证明△OPA≌△OQB(AAS).根据▵MNQ是等边三角形，点M(2,0)，点N(4,0)，得出AO=BO=3，即可求解；
(2)①延长NQ交l于点D，连接PD交y轴于A，过点Q作QB⊥x轴于B，根据定义得出▵ODN是等边三角形，证明PD//x轴，得出PA=2，分别求得DN=m+2=12m+5，解方程，即可得出m=6；
②当t>0时，点N在点M的右侧，如图所示，过点P作PA⊥y轴于A，过点Q作QB⊥x轴于B，设A关于l的对称点为A′，则△OAP≌△OA′Q，根据含30°角的直角三角形的性质得出MN=MQ=3；当t<0时，点N在点M的左侧，根据QN=QA′+A′N=2+122−t=−t，解方程，即可求解．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
方案
编号
第一次过滤
用净水材料的单位量
第一次过滤后
水中杂质含量
第二次过滤
用净水材料的单位量
第二次过滤后
水中杂质含量
A
6a
11+6a
B
5a
11+5a
a
1(1+5a)(1+a)
C
4a
2a