还剩17页未读，
继续阅读
2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2024的绝对值是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.下列学校的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.根据中国汽车工业协会的数据，2023年中国汽车出口4910000辆，首次超过日本，跃居全球首位.其中数据4910000用科学记数法表示为( )
A. 4.91×106B. 0.491×107C. 4.91×105D. 49.1×105
4.下列计算结果正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. 2a6÷a2=2a3C. (3a3)2=9a6D. 2a2⋅3a3=6a6
5.不等式组x−1≤012x>−2的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，m//n，其中∠1=25°，则∠2的度数为( )
A. 145°B. 155°C. 165°D. 175°
7.一次函数y=2x−6的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰.某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树.设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为( )
A. 70x=50x−3B. 70x=50x−3C. 70x−3=50xD. 70x+3=50x
9.近年来，从昆曲、京剧、端午节，到珠算、中医针灸，二十四节气，我国多项非遗在联合国教科文组织申遗成功，成为全人类共同保护和记忆的文化遗产，极大提升了中华儿女的文化自信.某校组织学生去某非遗馆研学，其中有六个非遗项目体验，同学们有机会随机参加两个不同的非遗项目，A同学最想体验京剧和中医针灸，此次研学活动他恰好体验到这两个项目的概率是( )
A. 15B. 16C. 115D. 130
10.乘方是特殊的乘法运算，乘方具有简洁之美，请观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，请思考：30+3+32+33+34+⋯+32024的个位数字是( )
A. 0B. 1C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：m2−9=______．
12.为了解某种电动汽车一次充满电后行驶的里程数，随机抽检了6辆车，其调查结果如下(单位：公里)：420，390，400，420，410，430，则充满电后该类型电动车行驶里程的中位数和众数分别是______、______．
13.若关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
14.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接AO，CE=2，AB=8，则⊙O的半径为______．
15.某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为28m2，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为x m，另一边长为ym的矩形(如图所示)，依题意可得y关于x的函数关系式为______(不必写明自变量x的取值范围)．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，若CD=2，BD=4，则tanB= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(3−π)0−2sin60°+|− 3|+(15)−1．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+1x+2−1x+2)÷x2−4x+4x2−4，其中x=−1．
19.(本小题6分)
2023年12月18日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目.如图，AB表示原长为300m的冰滑梯，坡角为30°，AC⊥BC于点C.为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点B移至点D，此时冰滑梯延长了150米(忽略缓冲长度)．
(1)求该冰滑梯的高度AC；
(2)求冰滑梯新终点D与原终点B之间的距离(计算结果保留根号，图中假设C，B，D三点共线且A，C，B，D都在同一平面内，滑道AB、BD没有起伏，为平直的斜坡)．
20.(本小题8分)
每年的8月8日是“全民健身日”，全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，以青少年和儿童为重点.为了解某校初三年级学生对健身知识的掌握情况，随机抽取了50名学生进行问卷调查，并将他们的成绩进行整理得到下列不完整的统计图表．
请根据所给信息，解答以下问题：
(1)填空：m= ______；
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
(3)若把D等级定为“优秀”等级，C等级定为“良好”等级，请你估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人？
21.(本小题8分)
如图，AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C，延长BO交⊙O于点D，连接AD，∠D=30°．
(1)求证：AD=AB；
(2)已知AB=4 3，求阴影部分的面积(结果保留根号和π)．
22.(本小题9分)
汉字是世界上最为奇妙的表意文字之一，为继承和弘扬中华优秀传统文化，培养学生规范书写汉字的良好习惯，某校初二年级举办了“赏花拾笔，书写最美春天”汉字书写比赛.学校为在大赛中获得一、二等奖共60名学生购买奖品，其中一等奖奖品每份30元，二等奖奖品每份20元，共花费了1400元．
(1)求获一等奖、二等奖的学生分别有多少人？
(2)若该校初一、初三年级也计划开展此类汉字书写比赛，两个年级计划购买同等价位的两种奖品共150份，购买总费用不超过3500元，则最多购买30元一份的奖品多少份？
23.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC上的中点，过点O作OE⊥BC，垂足为E且BE=CE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若OA=2 3,OE=2，求BC的长及四边形ABCD的周长．
24.(本小题10分)
我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若两个点关于点P(1,0)对称，则称这两个点互为“友谊点”．
示例：点Q(−2,2)关于点P(1,0)的“友谊点”是(4,−2)
新知识：对直线y1=k1x+b1(k1≠0)和y2=k2x+b2(k2≠0)，若k1⋅k2=−1，则直线y1与y2互相垂直；若直线y1与y2互相垂直，则k1⋅k2=−1
根据以上约定，完成下列各题．
(1)点A(2,3)关于点P(1,0)的“友谊点”是______；点B(−1,−12)关于点P(1,0)的“友谊点”是______；点C(m,n)关于点P(1,0)的“友谊点”是______(用含m，n的式子表示)．
(2)(2)关于x的函数y=kx+b(k≠0,k,b是常数)上存在不同的两点互为“友谊点”，求常数k，b的关系．
(3)记抛物线y=−x2+6x−7的顶点为点M，将抛物线y关于点P(1,0)对称后得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为点N，过点P的直线y1=k1x+b1(k1≠0,k1,b1是常数)交抛物线y于A，B(点A在点B的右侧)两点，交新抛物线y′于C，D两点(点C在点D的右侧)，当四边形MAND是菱形时，求AB的长．
25.(本小题10分)
如图，D是△ABC中AB边上的中点，连接CD，CD=AD=4.点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→B的路径运动，运动时间为t(秒)，当点E到达点B时停止运动，点F在线段CD上同时运动，且始终保持DE=DF，连接CE，AF．
(1)如图1，当点E在线段AD上时，求证：∠DAF=∠DCE．
(2)如图1，射线AF将△ABC的面积分成两部分．
①当射线AF将△ABC的面积分成相等的两部分时，求点E运动的时间t；
②当射线AF将△ABC的面积分成1：n(n为正整数)的两部分时，求点E运动的时间t(用含n的式子表示，直接写出结果)．
(3)如图2，射线AF交线段CE于点P，当CD⊥AB时，求点E从A→D→B的运动过程中，点P的路径长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的绝对值是2024．
故选：A．
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)．
2.【答案】C
【解析】解：A.选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
B.选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
C.选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意；
D.选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：4910000=4.91×106．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
4.【答案】C
【解析】解：2a+3b不能合并，故选项A错误，不符合题意；
2a6÷a2=2a4，故选项B错误，不符合题意；
(3a3)2=9a6，故选项C正确，符合题意；
2a2⋅3a3=6a5，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：x−1≤0①12x>−2②，
解不等式①得，x≤1；
解不等式②得，x>−4；
∴不等式组的解集为−4数轴表示如图所示，
故选：A．
先求出两个不等式的解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可．
本题考查的是解一元一次不等式组及数轴表示，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵m//n，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°，
∴∠2=180°−25°=155°．
故选：B．
先根据m//n，得出∠1=∠3=25°，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
7.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=2x−6中，k=2>0，b=−6<0，
∴此函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
直接根据一次函数的性质进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0，b<0，时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植(x−3)棵树，
根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程70x=50x−3，
故选：A．
甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植(x−3)棵树，甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项．
本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．
9.【答案】C
【解析】解：把六个非遗项目昆曲、京剧、端午节，到珠算、中医针灸，二十四节气体验分别记为：A、B、C、D、E，F
画树状图如下：
共有30种等可能的结果，其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有2种，
∴恰好选中京剧和中医针灸的概率为230=115．
故选：C．
画树状图，共有30种等可能的结果，其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】A
【解析】解：∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，
30=1，30+31=4，30+31+32=13，30+31+32+33=40，30+31+32+33+34=121，30+31+32+34+35=364⋯⋯
∴30=1的个位数字是1，
30+31=4的个位数字是4，
30+31+32=13的个位数字是3，
30+31+32+33=40的个位数字是0，
30+31+32+33+34=121的个位数字是1，
30+31+32+34+35=364的个位数字是4，
由上可得，上面式子的个位数字以1，4，3，0依次出现，
∵2024÷4=506，
∴30+3+32+33+34+⋯+32024的个位数字是0，
故选：A．
根据题意和题目中的数据，可以写出前几个式子的个位数字，从而可以发现个位数字的变化特点，从而可以得到所求式子的个位数字．
本题考查零指数幂、有理数的乘法、数字的变化类、个位数字的特征，解答本题的关键是发现个位数字总是四个一循环．
11.【答案】(m+3)(m−3)
【解析】解：m2−9
=m2−32
=(m+3)(m−3)．
故答案为：(m+3)(m−3)．
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解因式．
此题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
12.【答案】420 415
【解析】解：数据420出现了2次，最多，
故众数为420，
共6辆车，排序后位于第3和第4位的数分别为410，420，
故中位数为(410+420)÷2=415．
故答案为：420，415．
根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
13.【答案】−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=0，
即：22−4(−m)=0，
解得：m=−1，
故选答案为−1．
由于关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
14.【答案】5
【解析】解：∵AB⊥CD，AB=8，
∴AE=BE=4，
设OA=r，
∵CE=2，
∴OE=r−2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得OA2=AE2+OE2，
即：r2=(r−2)2+42，
解得r=5，即⊙O的半径为5，
故答案为：5．
由垂径定理得出AE=BE=4，设OA=r，则OE=r−2再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
15.【答案】y=7x
【解析】解：根据题意，得4x⋅y=28，
故y=7x，
故答案为：y=7x．
根据4x⋅y=28变形计算即可．
本题考查了反比例函数的解析式确定，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．
16.【答案】 33
【解析】解：连接AD，根据作图，得到AD=BD=4，
∴AC= AD2−CD2=2 3，
∴tanB=ACBC=ACCD+BD=2 32+4= 33，
故答案为： 33．
连接AD，根据作图，得到AD=BD=4，利用勾股定理AC= AD2−CD2=2 3，根据正切函数的定义，计算即可．
本题考查了线段垂直平分线的作图，勾股定理，三角函数的计算，理解作图的意义，熟记三角函数的定义是解题的关键．
17.【答案】解：(3−π)0−2sin60°+|− 3|+(15)−1
=1−2× 22+ 3+5
=6．
【解析】根据(3−π)0=1,sin60°= 32,|− 3|= 3,(15)−1=5计算即可．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握公式，熟记三角函数值是解题的关键．
18.【答案】解：(x+1x+2−1x+2)÷x2−4x+4x2−4
=xx+2×(x+2)(x−2)(x−2)2
=xx−2，
当x=−1时，
原式=−1−1−2=13．
【解析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
19.【答案】解：(1)依题意得：AB=300m，
∵AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AC=12AB=150m，
则该冰滑梯的高度AC为150m；
(2)依题意得：AD=AB+150=450m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC= AB2−AC2= 3002−1502=150 3，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
DC= AD2−AC2= 4502−1502=300 2，
BD=DC−BC=300 2−150 3=150(2 2− 3)m，
故冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离为150(2 2− 3)m．
【解析】(1)根据含30°的直角三角形的性质可得AC=12AB即可求解；
(2)运用勾股定理即可求解．
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
20.【答案】24
【解析】解：(1)1−12%−36%−28%=24%，
∴m=24，
故答案为：24；
(2)B组对应扇形的圆心角的度数为：360°×24%=86.4°；
(3)800×(36%+28%)=512人，
答：估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有512人．
(1)用1减去其它三组的频率，即可得出答案；
(2)用360度乘以B组的百分比即可得出答案；
(3)利用样本估计总体即可得出答案．
本题考查扇形统计图、频数分布表，掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提．
21.【答案】(1)证明：连接OA，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠D=30°，OA=OD，
∴∠D=∠DAO=30°，
∴∠B=180°−∠D−∠DAO−∠OAB=30°，
∴∠D=∠B，
∴AD=AB；
(2)解：∵∠B=30°，∠OAB=90°，
∴∠AOB=60°，OB=2OA，
∵AB=4 3，
∴OA2+AB2=OB2，即OA2+(4 3)2=(2OA)2，
∴OA=4，
∴阴影部分的面积为：S△OAB−S扇形OAC=12×4 3×4−60π×42360=8 3−8π3．
【解析】(1)连接OA，先根据切线的性质得出∠OAB=90°，求出∠D=∠DAO=30°，得出∠B=180°−∠D−∠DAO−∠OAB=30°，推出∠D=∠B，即可得出结论；
(2)先求出∠AOB=60°，OB=2OA，再根据勾股定理得出OA=4，根据S△OAB−S扇形OAC即可得出答案．
本题考查切线的性质定理，扇形的面积，解题的关键是灵活运用相关知识．
22.【答案】解：(1)设x名学生获一等奖，y名学生获二等奖，根据题意得：
x+y=6030x+20y=1400，
解得：x=20y=40，
答：20名学生获一等奖，40名学生获二等奖；
(2)设购买30元的奖品m份，则购买20元的奖品(150−m)份，
根据题意得：30m+20(150−m)≤3500，
解得：m≤50，
答：最多购买30元一份的奖品50份．
【解析】(1)设x名学生获一等奖，y名学生获二等奖，根据共60名学生获得一、二等奖且购买这些奖品共花费1400元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买30元的奖品m份，则购买20元的奖品(150−m)份，根据“两个年级计划购买同等价位的两种奖品共150份，购买总费用不超过3500元”可得关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵O是对角线AC上的中点，BE=CE．
∴OE//AB,OE=12AB，
∵OE⊥BC，
∴AB⊥BC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形 ABCD是矩形，OA=2 3,OE=2，
∴AC=2OA=4 3,AB=2OE=4，
∴BC= AC2−AB2=4 2，
故四边形的周长为2(AB+BC)=2(4+4 2)=8+8 2．
【解析】(1)根据中位线定理，得到OE//AB,OE=12AB，结合OE⊥BC，得到AB⊥BC即可证明四边形 ABCD是矩形；
(2)根据矩形的性质，中位线定理，得 AC=2OA=4 3,AB=2OE=4，利用勾股定理计算即可．
本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和勾股定理是解题的关键．
24.【答案】(0,−3) (3,12) (2−m,−n)
【解析】解：(1)设A(2,3)关于点 P(1,0)的“友谊点”是：(x,y)，
∴2+x2=13+y2=0，
解得：x=0y=−3，
则A(2,3)关于点 P(1,0)的“友谊点”是：(0,−3)，
设点 B(−1,−12)关于点 P(1,0)的“友谊点”是(x,y)，
∴−1+x2=1−12+y2=0，
解得：x=3y=12，
则点 B(−1,−12)关于点 P(1,0)的“友谊点”是(3,12)，
点C(m,n)关于点 P(1,0)的“友谊点”是：(x,y)，
x=2×1−my=0−n，
解得x=2−my=−n，
则点C(m,n)关于点 P(1,0)的“友谊点”是：(2−m,−n)，
故答案为：(0,−3)，(3,12)，(2−m,−n)；
(2)设y=kx+b(k≠0,k,b是常数)上存在不同的两点互为“友谊点”的其中一点为(x,kx+b)，
则它的友谊点为：(2−x,−kx−b)，
∵(2−x,−kx−b)在y=kx+b图象上，
故代入解析式得：k(2−x)+b=−kx−b，
解得：k=−b；
(3)如图所示：
∵y=−x2+6x−7=−(x−3)2+2，
∴M(3,2)，
∵抛物线 y 关于点P(1,0)对称后得到新抛物线 y′，新抛物线的顶点为点 N，
∴M(3,2)关于点P(1,0)对称点为点 N，
∴N(−1,−2)，
∴新抛物线 y′的解析式为：y′=(x+1)2−2，
设过点M、N的直线解析式为yMN=ax+b，
将M(3,2)，N(−1,−2)代入得：2=3a+b−2=−a+b，
解得a=1b=−1，
则过点M、N的直线解析式为yMN=x−1，
∵四边形 MAND是菱形，
∴对角线MN与对角线AD互相垂直，
∴k1=−1，
∴过点P的直线 y1=k1x+b1即是y1=−x+b1，
将P(1,0)代入y1=−x+b1得：0=−1+b1，
解得：b1=1，
∴过点P的直线为：y1=−x+1，
过点P的直线y1=−x+1与抛物线 y=−x2+6x−7交于点A，B，
联立得：y1=−x+1y=−x2+6x−7，
解得x=7+ 172y=−5− 172或x=7− 172y=−5+ 172，
∵点A在点B 的右侧，
∴A(7− 172,−5+ 172),B(7+ 172,−5− 172)，
∴AB= (7+ 172−7− 172)2+(−5− 172−−5+ 172)2= 34．
(1)根据新定义和中点公式即可求解；
(2)设一次函数图象上其中一点为(x,kx+b)，则它的友谊点为：(2−x,−kx−b)，代入解析式即可求解；
(3)把二次函数y=−x2+6x−7化为顶点式求出点M，再根据新定义求出M关于点P(1,0)对称点为点 N，用待定系数法求出过直线MN的解析式，再利用新知识中的若直线 y1与y2互相垂直，则 k1⋅k2=−1，即可求出过点P的直线 y1=k1x+b1中的k1，再联立直线y1=−x+1与抛物线 y=−x2+6x−7即可求解
本题考查了二次函数的综合题，抛物线的解析式，一次函数的解析式，抛物线与坐标轴的顶点以及新定义的问题，菱形的性质，对称的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是理解“友谊点”这个新定义，和熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
25.【答案】(1)证明：在△ADF和△CDE中，
AD=CD∠ADC=∠ADCDF=DE，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠DAF=∠DCE；
(2)解：①设射线AF交BC于G，过G作GH平行AB，如图：
∵射线AF将△ABC的面积分成相等的两部分，
∴CG=BG，
∴CH：CD=GH：BD=CG：BC=1：2，
∵D是AB中点，
∴AD=BC，
∴FH：FD=HG：AD=HG：BD=1：2，
∴DF=23DH=13CD=2，
∴DE=2，
∴AE=AD−DE或AD+DE=2或6，
∴t=2或6，
②∵射线AF将△ABC的面积分成1：n(n为正整数)的两部分，
∴CG：BG=1：n或n：1，
∴CH：CD=GH：BD=CG：BC=1：(n+1)或n：(n+1)，
∴FH：FD=HG：AD=HG：BD=1：(n+1)或n：(n+1)，
∴DF=4(n+1)2或4n2(n+1)2，
∴AE=4±4(n+1)2或4±4n2(n+1)2，
∴t=4±4(n+1)2或4±4n2(n+1)2；
(3)∵AD=BD=CD，
∴△ABC为直角三角形，
∵CD⊥AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=8，AC=BC=4 2，
当E在AD上时，如图，取AC中点M，连接DM，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴△ACD也是等腰直角三角形，
∴A和C，E和F关于DM对称，
∴P在线段DM上，
∴P的轨迹长度即为DM=12AC=2 2，
当E在BD上时，如图，取AC中点M，连接DM，PM，
由(1)知，∠DAF=∠DCE，
∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠DAF+∠CED=90°，
∴AP⊥CE，
∴P在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴CPD=14⋅2π⋅2 2= 2π，
∴P的轨迹长度为： 2(2+π)．
【解析】(1)根据已知条件证明△ABF和△ADE全等，即可求证∠DAF=∠DCE；
(2)①因为AF平分△ABC的面积，所以AF也是△ABC的中线，设射线AF交BC于G，过G作GH平行AB，根据平行线分线段成比例求出DF的长即可求出DE的长，从而求出t的值；
②辅助线与及解题思路与①相同，用n表示出DE的长，即可求出t的值；
(3)因为D是AB中点，CD=AD，所以△ABC是直角三角形，然后可知△ABC也是等腰直角三角形，根据E在D的左边还是右边分类讨论，得出P的轨迹即可求其长度；
本题主要考查了三角形综合题，综合考查了全等三角形的判定和性质、三角形中线的性质以及等腰直角三角形的判定和性质，正确找出P点的运动轨迹是本题解题的关键．组别
分数段
频数
频率
A
60≤x<70
6
12%
B
70≤x<80
12
m%
C
80≤x<90
18
36%
D
90≤x<100
n
28%
1.−2024的绝对值是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.下列学校的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.根据中国汽车工业协会的数据，2023年中国汽车出口4910000辆，首次超过日本，跃居全球首位.其中数据4910000用科学记数法表示为( )
A. 4.91×106B. 0.491×107C. 4.91×105D. 49.1×105
4.下列计算结果正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. 2a6÷a2=2a3C. (3a3)2=9a6D. 2a2⋅3a3=6a6
5.不等式组x−1≤012x>−2的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，m//n，其中∠1=25°，则∠2的度数为( )
A. 145°B. 155°C. 165°D. 175°
7.一次函数y=2x−6的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰.某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树.设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为( )
A. 70x=50x−3B. 70x=50x−3C. 70x−3=50xD. 70x+3=50x
9.近年来，从昆曲、京剧、端午节，到珠算、中医针灸，二十四节气，我国多项非遗在联合国教科文组织申遗成功，成为全人类共同保护和记忆的文化遗产，极大提升了中华儿女的文化自信.某校组织学生去某非遗馆研学，其中有六个非遗项目体验，同学们有机会随机参加两个不同的非遗项目，A同学最想体验京剧和中医针灸，此次研学活动他恰好体验到这两个项目的概率是( )
A. 15B. 16C. 115D. 130
10.乘方是特殊的乘法运算，乘方具有简洁之美，请观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，请思考：30+3+32+33+34+⋯+32024的个位数字是( )
A. 0B. 1C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：m2−9=______．
12.为了解某种电动汽车一次充满电后行驶的里程数，随机抽检了6辆车，其调查结果如下(单位：公里)：420，390，400，420，410，430，则充满电后该类型电动车行驶里程的中位数和众数分别是______、______．
13.若关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
14.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接AO，CE=2，AB=8，则⊙O的半径为______．
15.某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为28m2，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为x m，另一边长为ym的矩形(如图所示)，依题意可得y关于x的函数关系式为______(不必写明自变量x的取值范围)．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，若CD=2，BD=4，则tanB= ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(3−π)0−2sin60°+|− 3|+(15)−1．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+1x+2−1x+2)÷x2−4x+4x2−4，其中x=−1．
19.(本小题6分)
2023年12月18日哈尔滨冰雪大世界正式开园，作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”，超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目.如图，AB表示原长为300m的冰滑梯，坡角为30°，AC⊥BC于点C.为让游客有更舒缓的体验感，设计师对该冰滑梯进行了优化改造，在不改变冰滑梯高度的情况下，将终点B移至点D，此时冰滑梯延长了150米(忽略缓冲长度)．
(1)求该冰滑梯的高度AC；
(2)求冰滑梯新终点D与原终点B之间的距离(计算结果保留根号，图中假设C，B，D三点共线且A，C，B，D都在同一平面内，滑道AB、BD没有起伏，为平直的斜坡)．
20.(本小题8分)
每年的8月8日是“全民健身日”，全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，以青少年和儿童为重点.为了解某校初三年级学生对健身知识的掌握情况，随机抽取了50名学生进行问卷调查，并将他们的成绩进行整理得到下列不完整的统计图表．
请根据所给信息，解答以下问题：
(1)填空：m= ______；
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
(3)若把D等级定为“优秀”等级，C等级定为“良好”等级，请你估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人？
21.(本小题8分)
如图，AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C，延长BO交⊙O于点D，连接AD，∠D=30°．
(1)求证：AD=AB；
(2)已知AB=4 3，求阴影部分的面积(结果保留根号和π)．
22.(本小题9分)
汉字是世界上最为奇妙的表意文字之一，为继承和弘扬中华优秀传统文化，培养学生规范书写汉字的良好习惯，某校初二年级举办了“赏花拾笔，书写最美春天”汉字书写比赛.学校为在大赛中获得一、二等奖共60名学生购买奖品，其中一等奖奖品每份30元，二等奖奖品每份20元，共花费了1400元．
(1)求获一等奖、二等奖的学生分别有多少人？
(2)若该校初一、初三年级也计划开展此类汉字书写比赛，两个年级计划购买同等价位的两种奖品共150份，购买总费用不超过3500元，则最多购买30元一份的奖品多少份？
23.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC上的中点，过点O作OE⊥BC，垂足为E且BE=CE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若OA=2 3,OE=2，求BC的长及四边形ABCD的周长．
24.(本小题10分)
我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若两个点关于点P(1,0)对称，则称这两个点互为“友谊点”．
示例：点Q(−2,2)关于点P(1,0)的“友谊点”是(4,−2)
新知识：对直线y1=k1x+b1(k1≠0)和y2=k2x+b2(k2≠0)，若k1⋅k2=−1，则直线y1与y2互相垂直；若直线y1与y2互相垂直，则k1⋅k2=−1
根据以上约定，完成下列各题．
(1)点A(2,3)关于点P(1,0)的“友谊点”是______；点B(−1,−12)关于点P(1,0)的“友谊点”是______；点C(m,n)关于点P(1,0)的“友谊点”是______(用含m，n的式子表示)．
(2)(2)关于x的函数y=kx+b(k≠0,k,b是常数)上存在不同的两点互为“友谊点”，求常数k，b的关系．
(3)记抛物线y=−x2+6x−7的顶点为点M，将抛物线y关于点P(1,0)对称后得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为点N，过点P的直线y1=k1x+b1(k1≠0,k1,b1是常数)交抛物线y于A，B(点A在点B的右侧)两点，交新抛物线y′于C，D两点(点C在点D的右侧)，当四边形MAND是菱形时，求AB的长．
25.(本小题10分)
如图，D是△ABC中AB边上的中点，连接CD，CD=AD=4.点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→B的路径运动，运动时间为t(秒)，当点E到达点B时停止运动，点F在线段CD上同时运动，且始终保持DE=DF，连接CE，AF．
(1)如图1，当点E在线段AD上时，求证：∠DAF=∠DCE．
(2)如图1，射线AF将△ABC的面积分成两部分．
①当射线AF将△ABC的面积分成相等的两部分时，求点E运动的时间t；
②当射线AF将△ABC的面积分成1：n(n为正整数)的两部分时，求点E运动的时间t(用含n的式子表示，直接写出结果)．
(3)如图2，射线AF交线段CE于点P，当CD⊥AB时，求点E从A→D→B的运动过程中，点P的路径长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的绝对值是2024．
故选：A．
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)．
2.【答案】C
【解析】解：A.选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
B.选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
C.选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意；
D.选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：4910000=4.91×106．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
4.【答案】C
【解析】解：2a+3b不能合并，故选项A错误，不符合题意；
2a6÷a2=2a4，故选项B错误，不符合题意；
(3a3)2=9a6，故选项C正确，符合题意；
2a2⋅3a3=6a5，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：x−1≤0①12x>−2②，
解不等式①得，x≤1；
解不等式②得，x>−4；
∴不等式组的解集为−4
故选：A．
先求出两个不等式的解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可．
本题考查的是解一元一次不等式组及数轴表示，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵m//n，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°，
∴∠2=180°−25°=155°．
故选：B．
先根据m//n，得出∠1=∠3=25°，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
7.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=2x−6中，k=2>0，b=−6<0，
∴此函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
直接根据一次函数的性质进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0，b<0，时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植(x−3)棵树，
根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程70x=50x−3，
故选：A．
甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植(x−3)棵树，甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项．
本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．
9.【答案】C
【解析】解：把六个非遗项目昆曲、京剧、端午节，到珠算、中医针灸，二十四节气体验分别记为：A、B、C、D、E，F
画树状图如下：
共有30种等可能的结果，其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有2种，
∴恰好选中京剧和中医针灸的概率为230=115．
故选：C．
画树状图，共有30种等可能的结果，其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】A
【解析】解：∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，
30=1，30+31=4，30+31+32=13，30+31+32+33=40，30+31+32+33+34=121，30+31+32+34+35=364⋯⋯
∴30=1的个位数字是1，
30+31=4的个位数字是4，
30+31+32=13的个位数字是3，
30+31+32+33=40的个位数字是0，
30+31+32+33+34=121的个位数字是1，
30+31+32+34+35=364的个位数字是4，
由上可得，上面式子的个位数字以1，4，3，0依次出现，
∵2024÷4=506，
∴30+3+32+33+34+⋯+32024的个位数字是0，
故选：A．
根据题意和题目中的数据，可以写出前几个式子的个位数字，从而可以发现个位数字的变化特点，从而可以得到所求式子的个位数字．
本题考查零指数幂、有理数的乘法、数字的变化类、个位数字的特征，解答本题的关键是发现个位数字总是四个一循环．
11.【答案】(m+3)(m−3)
【解析】解：m2−9
=m2−32
=(m+3)(m−3)．
故答案为：(m+3)(m−3)．
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解因式．
此题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
12.【答案】420 415
【解析】解：数据420出现了2次，最多，
故众数为420，
共6辆车，排序后位于第3和第4位的数分别为410，420，
故中位数为(410+420)÷2=415．
故答案为：420，415．
根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
13.【答案】−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=0，
即：22−4(−m)=0，
解得：m=−1，
故选答案为−1．
由于关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
14.【答案】5
【解析】解：∵AB⊥CD，AB=8，
∴AE=BE=4，
设OA=r，
∵CE=2，
∴OE=r−2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得OA2=AE2+OE2，
即：r2=(r−2)2+42，
解得r=5，即⊙O的半径为5，
故答案为：5．
由垂径定理得出AE=BE=4，设OA=r，则OE=r−2再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
15.【答案】y=7x
【解析】解：根据题意，得4x⋅y=28，
故y=7x，
故答案为：y=7x．
根据4x⋅y=28变形计算即可．
本题考查了反比例函数的解析式确定，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．
16.【答案】 33
【解析】解：连接AD，根据作图，得到AD=BD=4，
∴AC= AD2−CD2=2 3，
∴tanB=ACBC=ACCD+BD=2 32+4= 33，
故答案为： 33．
连接AD，根据作图，得到AD=BD=4，利用勾股定理AC= AD2−CD2=2 3，根据正切函数的定义，计算即可．
本题考查了线段垂直平分线的作图，勾股定理，三角函数的计算，理解作图的意义，熟记三角函数的定义是解题的关键．
17.【答案】解：(3−π)0−2sin60°+|− 3|+(15)−1
=1−2× 22+ 3+5
=6．
【解析】根据(3−π)0=1,sin60°= 32,|− 3|= 3,(15)−1=5计算即可．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握公式，熟记三角函数值是解题的关键．
18.【答案】解：(x+1x+2−1x+2)÷x2−4x+4x2−4
=xx+2×(x+2)(x−2)(x−2)2
=xx−2，
当x=−1时，
原式=−1−1−2=13．
【解析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
19.【答案】解：(1)依题意得：AB=300m，
∵AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AC=12AB=150m，
则该冰滑梯的高度AC为150m；
(2)依题意得：AD=AB+150=450m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC= AB2−AC2= 3002−1502=150 3，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
DC= AD2−AC2= 4502−1502=300 2，
BD=DC−BC=300 2−150 3=150(2 2− 3)m，
故冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离为150(2 2− 3)m．
【解析】(1)根据含30°的直角三角形的性质可得AC=12AB即可求解；
(2)运用勾股定理即可求解．
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
20.【答案】24
【解析】解：(1)1−12%−36%−28%=24%，
∴m=24，
故答案为：24；
(2)B组对应扇形的圆心角的度数为：360°×24%=86.4°；
(3)800×(36%+28%)=512人，
答：估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有512人．
(1)用1减去其它三组的频率，即可得出答案；
(2)用360度乘以B组的百分比即可得出答案；
(3)利用样本估计总体即可得出答案．
本题考查扇形统计图、频数分布表，掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提．
21.【答案】(1)证明：连接OA，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠D=30°，OA=OD，
∴∠D=∠DAO=30°，
∴∠B=180°−∠D−∠DAO−∠OAB=30°，
∴∠D=∠B，
∴AD=AB；
(2)解：∵∠B=30°，∠OAB=90°，
∴∠AOB=60°，OB=2OA，
∵AB=4 3，
∴OA2+AB2=OB2，即OA2+(4 3)2=(2OA)2，
∴OA=4，
∴阴影部分的面积为：S△OAB−S扇形OAC=12×4 3×4−60π×42360=8 3−8π3．
【解析】(1)连接OA，先根据切线的性质得出∠OAB=90°，求出∠D=∠DAO=30°，得出∠B=180°−∠D−∠DAO−∠OAB=30°，推出∠D=∠B，即可得出结论；
(2)先求出∠AOB=60°，OB=2OA，再根据勾股定理得出OA=4，根据S△OAB−S扇形OAC即可得出答案．
本题考查切线的性质定理，扇形的面积，解题的关键是灵活运用相关知识．
22.【答案】解：(1)设x名学生获一等奖，y名学生获二等奖，根据题意得：
x+y=6030x+20y=1400，
解得：x=20y=40，
答：20名学生获一等奖，40名学生获二等奖；
(2)设购买30元的奖品m份，则购买20元的奖品(150−m)份，
根据题意得：30m+20(150−m)≤3500，
解得：m≤50，
答：最多购买30元一份的奖品50份．
【解析】(1)设x名学生获一等奖，y名学生获二等奖，根据共60名学生获得一、二等奖且购买这些奖品共花费1400元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买30元的奖品m份，则购买20元的奖品(150−m)份，根据“两个年级计划购买同等价位的两种奖品共150份，购买总费用不超过3500元”可得关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵O是对角线AC上的中点，BE=CE．
∴OE//AB,OE=12AB，
∵OE⊥BC，
∴AB⊥BC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形 ABCD是矩形，OA=2 3,OE=2，
∴AC=2OA=4 3,AB=2OE=4，
∴BC= AC2−AB2=4 2，
故四边形的周长为2(AB+BC)=2(4+4 2)=8+8 2．
【解析】(1)根据中位线定理，得到OE//AB,OE=12AB，结合OE⊥BC，得到AB⊥BC即可证明四边形 ABCD是矩形；
(2)根据矩形的性质，中位线定理，得 AC=2OA=4 3,AB=2OE=4，利用勾股定理计算即可．
本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和勾股定理是解题的关键．
24.【答案】(0,−3) (3,12) (2−m,−n)
【解析】解：(1)设A(2,3)关于点 P(1,0)的“友谊点”是：(x,y)，
∴2+x2=13+y2=0，
解得：x=0y=−3，
则A(2,3)关于点 P(1,0)的“友谊点”是：(0,−3)，
设点 B(−1,−12)关于点 P(1,0)的“友谊点”是(x,y)，
∴−1+x2=1−12+y2=0，
解得：x=3y=12，
则点 B(−1,−12)关于点 P(1,0)的“友谊点”是(3,12)，
点C(m,n)关于点 P(1,0)的“友谊点”是：(x,y)，
x=2×1−my=0−n，
解得x=2−my=−n，
则点C(m,n)关于点 P(1,0)的“友谊点”是：(2−m,−n)，
故答案为：(0,−3)，(3,12)，(2−m,−n)；
(2)设y=kx+b(k≠0,k,b是常数)上存在不同的两点互为“友谊点”的其中一点为(x,kx+b)，
则它的友谊点为：(2−x,−kx−b)，
∵(2−x,−kx−b)在y=kx+b图象上，
故代入解析式得：k(2−x)+b=−kx−b，
解得：k=−b；
(3)如图所示：
∵y=−x2+6x−7=−(x−3)2+2，
∴M(3,2)，
∵抛物线 y 关于点P(1,0)对称后得到新抛物线 y′，新抛物线的顶点为点 N，
∴M(3,2)关于点P(1,0)对称点为点 N，
∴N(−1,−2)，
∴新抛物线 y′的解析式为：y′=(x+1)2−2，
设过点M、N的直线解析式为yMN=ax+b，
将M(3,2)，N(−1,−2)代入得：2=3a+b−2=−a+b，
解得a=1b=−1，
则过点M、N的直线解析式为yMN=x−1，
∵四边形 MAND是菱形，
∴对角线MN与对角线AD互相垂直，
∴k1=−1，
∴过点P的直线 y1=k1x+b1即是y1=−x+b1，
将P(1,0)代入y1=−x+b1得：0=−1+b1，
解得：b1=1，
∴过点P的直线为：y1=−x+1，
过点P的直线y1=−x+1与抛物线 y=−x2+6x−7交于点A，B，
联立得：y1=−x+1y=−x2+6x−7，
解得x=7+ 172y=−5− 172或x=7− 172y=−5+ 172，
∵点A在点B 的右侧，
∴A(7− 172,−5+ 172),B(7+ 172,−5− 172)，
∴AB= (7+ 172−7− 172)2+(−5− 172−−5+ 172)2= 34．
(1)根据新定义和中点公式即可求解；
(2)设一次函数图象上其中一点为(x,kx+b)，则它的友谊点为：(2−x,−kx−b)，代入解析式即可求解；
(3)把二次函数y=−x2+6x−7化为顶点式求出点M，再根据新定义求出M关于点P(1,0)对称点为点 N，用待定系数法求出过直线MN的解析式，再利用新知识中的若直线 y1与y2互相垂直，则 k1⋅k2=−1，即可求出过点P的直线 y1=k1x+b1中的k1，再联立直线y1=−x+1与抛物线 y=−x2+6x−7即可求解
本题考查了二次函数的综合题，抛物线的解析式，一次函数的解析式，抛物线与坐标轴的顶点以及新定义的问题，菱形的性质，对称的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是理解“友谊点”这个新定义，和熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
25.【答案】(1)证明：在△ADF和△CDE中，
AD=CD∠ADC=∠ADCDF=DE，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠DAF=∠DCE；
(2)解：①设射线AF交BC于G，过G作GH平行AB，如图：
∵射线AF将△ABC的面积分成相等的两部分，
∴CG=BG，
∴CH：CD=GH：BD=CG：BC=1：2，
∵D是AB中点，
∴AD=BC，
∴FH：FD=HG：AD=HG：BD=1：2，
∴DF=23DH=13CD=2，
∴DE=2，
∴AE=AD−DE或AD+DE=2或6，
∴t=2或6，
②∵射线AF将△ABC的面积分成1：n(n为正整数)的两部分，
∴CG：BG=1：n或n：1，
∴CH：CD=GH：BD=CG：BC=1：(n+1)或n：(n+1)，
∴FH：FD=HG：AD=HG：BD=1：(n+1)或n：(n+1)，
∴DF=4(n+1)2或4n2(n+1)2，
∴AE=4±4(n+1)2或4±4n2(n+1)2，
∴t=4±4(n+1)2或4±4n2(n+1)2；
(3)∵AD=BD=CD，
∴△ABC为直角三角形，
∵CD⊥AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=8，AC=BC=4 2，
当E在AD上时，如图，取AC中点M，连接DM，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴△ACD也是等腰直角三角形，
∴A和C，E和F关于DM对称，
∴P在线段DM上，
∴P的轨迹长度即为DM=12AC=2 2，
当E在BD上时，如图，取AC中点M，连接DM，PM，
由(1)知，∠DAF=∠DCE，
∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠DAF+∠CED=90°，
∴AP⊥CE，
∴P在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴CPD=14⋅2π⋅2 2= 2π，
∴P的轨迹长度为： 2(2+π)．
【解析】(1)根据已知条件证明△ABF和△ADE全等，即可求证∠DAF=∠DCE；
(2)①因为AF平分△ABC的面积，所以AF也是△ABC的中线，设射线AF交BC于G，过G作GH平行AB，根据平行线分线段成比例求出DF的长即可求出DE的长，从而求出t的值；
②辅助线与及解题思路与①相同，用n表示出DE的长，即可求出t的值；
(3)因为D是AB中点，CD=AD，所以△ABC是直角三角形，然后可知△ABC也是等腰直角三角形，根据E在D的左边还是右边分类讨论，得出P的轨迹即可求其长度；
本题主要考查了三角形综合题，综合考查了全等三角形的判定和性质、三角形中线的性质以及等腰直角三角形的判定和性质，正确找出P点的运动轨迹是本题解题的关键．组别
分数段
频数
频率
A
60≤x<70
6
12%
B
70≤x<80
12
m%
C
80≤x<90
18
36%
D
90≤x<100
n
28%
相关试卷
2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团八年级（上）期中数学试卷： 这是一份2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团八年级（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙一中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年湖南省长沙一中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
