2023-2024学年广东省潮州市饶平二中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省潮州市饶平二中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z+z−=2，且z−z−=−4i，则|z|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
2.设集合A={x|x2−3x<0}，B={x|lg2x>1}，则A∩(∁RB)=( )
A. (0,2)B. (0,2]C. (1,2]D. (2,3)
3.已知向量a=(2,m)，b=(m+1,1)，且a与b方向相反，若c=(2,1)，则a在c方向上的投影向量的坐标是( )
A. (12,−12)B. (45,25)C. (−12,12)D. (−45,−25)
4.函数f(x)=2csxx2+1的部分图象可能为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)>0的解集为( )
A. (0,13)∪(2,+∞)B. (−∞,13)∪(13,2)C. (−∞,0)∪(13,2)D. (−1,0)∪(1,3)
6.有7种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A. 462B. 630C. 672D. 882
7.已知函数f(x)=ex−ax2的定义域为(12,2)，且对∀x1,x2∈(12,2),x1≠x2,f(x1)−f(x2)x1−x2A. [e24−1,+∞)B. [ e−1,+∞)C. (−∞,e2−1]D. (−∞,e2−1)
8.函数y=f(x)的导数y=f′(x)仍是x的函数，通常把导函数y=f′(x)的导数叫做函数的二阶导数，记作y=f′′(x)，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数….一般地，n−1阶导数的导数叫做n阶导数，函数y=f(x)的n阶导数记为y=f(n)(x)，例如y=ex的n阶导数(ex)(n)=ex.若f(x)=xex+cs2x，则f(50)(0)=( )
A. 49+249B. 49C. 50D. 50−250
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)=2，则△x→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2
B. (csxx)′=xsinx+csxx2
C. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=12
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
10.某校高二年级安排甲、乙、丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有( )
A. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹⋅布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个实数x0使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点.现新定义：若x0满足f(x0)=−x0，则称x0为f(x)的次不动点.设函数f(x)=ex+1+e−x−1+x2+x+a，若f(x)在区间(−2,1)上存在次不动点，则a的取值可以是( )
A. −1B. e2+e−2+4C. −e2−e−2−3D. −e2−e−2−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=1x，g(x)=mx，且g′(3)=1f′(3)，则m= ______．
13.某冬令营计划利用寒假开设甲、乙等六门体验课程，每天一门，连续开设六天，若课程甲、乙排在不相邻的两天，则不同的排法种数有______．
14.已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)=2023，若对任意的x∈R，都有f(x)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2+ax−2lnx(a∈R)．
(1)当a=0时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接矩形，PA是圆柱的母线．
(1)证明：在侧棱PD上存在点E，使PB/​/平面AEC；
(2)在(1)的条件下，设二面角D−AE−C为60°，AP=1，AD= 3，求三棱锥E−ACD的体积．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−ax(e是自然对数的底数)．
(1)当a=1时，求f(x)的极值点；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)若g(x)=ex(x−1)−alnx+f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
18.(本小题15分)
已知数列{an}和{bn}，其中bn=2an，n∈N*，数列{an+bn}的前n项和为Sn．
(1)若an=2n，求Sn；
(2)若{bn}是各项为正的等比数列，Sn=3n，求数列{an}和{bn}的通项公式．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2(lnx+a)．
(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若存在x1，x2∈(0,+∞)，且x1e2a+1．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设z=a+bi，a，b∈R，
则z−=a−bi，
所以z+z−=2a=2，z−z−=2bi=−4i，
解得a=1，b=−2，即z=1−2i，
所以|z|= 12+(−2)2= 5．
故选：D．
设z=a+bi，利用复数的四则运算列方程求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x2−3x<0}={x|01}={x|x>2}，
则CRB={x|x≤2}，
故A∩(∁RB)=(0,2]．
故选：B．
根据已知条件，结合集合的运算，即可求解．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知向量a=(2,m)，b=(m+1,1)共线，
故2×1−m(m+1)=0，解得m=1或m=−2，
又因为且a与b方向相反，故m=−2，
所以a=(2,−2)，而c=(2,1)，
则a在c方向上的投影向量是a⋅c|c|⋅c|c|=2×2−2×1 5⋅(2,1) 5=(45,25)，
即a在c方向上的投影向量的坐标是(45,25)．
故选：B．
根据向量的共线求得m的值，结合a与b方向相反确定m，根据向量的投影向量的定义即可求得答案．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)=2csxx2+1，
由于f(π2)=0，排除B，C；
求导可得：f′(x)=−2(x2+1)sinx−4xcsx(x2+1)2，
当x∈(0,π2)时，−2(x2+1)sinx−4xcsx<0，即f′(x)<0，故f(x)在(0,π2)上单调递减，排除D．
故选：A．
根据题意，由函数的解析式求出据f(π2)=0，排除B、C，再求出函数的导数，分析单调性排除D，即可得答案．
本题考查函数的图象，涉及函数单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：结合导数与单调性的关系及已知函数图象可知，
当x∈(2,+∞)和(−∞,13)时，函数单调递增，f′(x)>0，
当x∈(13,2)，函数单调递减，f′(x)<0，
由xf′(x)>0可得，x>0f′(x)>0或x<0f′(x)<0，
解可得，x>2或0故选：A．
结合图象可知，当∈(2,+∞)和(−∞,13)时，函数单调递增，f′(x)>0，当x∈(13,2)，函数单调递减，f′(x)<0，结合已知不等式可求．
本题主要考查了导数与单调性关系的简单应用，属于基础试题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①用2种颜色涂色，有C72×2=42种涂色方法；
②用3种颜色涂色，有C73×3×2×(2+1)=630种涂色方法；
故有42+630=672种涂色方法．
故选：C．
根据题意，按使用颜色的数目分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设x1>x2，因为∀x1,x2∈(12,2),x1≠x2,f(x1)−f(x2)x1−x2等价于f(x1)−f(x2)令F(x)=f(x)−x2=ex−ax2−x2，则F(x1)所以F′(x)=ex−2(a+1)x≤0在在(12,2)上恒成立，即exx≤2(a+1)在(12,2)上恒成立，
令h(x)=exx，x∈(12,2)，则h′(x)=ex(x−1)x2>0，
所以函数h(x)在(12,2)上单调递减，在(1,2)单调递增，
又h(12)=2 e，h(2)=e22，且2 e所以h(x)max所以e22≤2(a+1)，解得a≥e24−1，
故选：A．
设x1>x2，由题意，原问题等价于f(x1)−x12本题主要考查不等式的恒成立问题，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：f′(x)=ex+xex−2sin2x=(x+1)ex−2sin2x，f″(x)=ex+(x+1)ex−4cs2x=(x+2)ex−4cs2x，
∴f(50)(x)=(x+50)ex−250cs2x，
∴f(50)(0)=50−250．
故选：D．
可通过求一阶导数和二阶导数找规律，从而得出f(x)的50阶导数，然后即可得出答案．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)2Δx=2f′(1)=4，故A错误．
对于B，(csxx)′=−xsinx−1×csxx2=−xsinx−csxx2，故B错误．
对于C，f′(x)=12x+1(2x+1)′=22x+1，若f′(x0)=1，则22x0+1=1即x0=12，故C正确．
对于D，f′(x)=2x+3f′(2)+1x，故f′(2)=4+3f′(2)+12，故f′(2)=−94，故D正确．
故选：CD．
根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误．
本题主要考查了导数的定义及函数的求导公式的应用，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53−43=61(种)，故A正确；
对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52=25(种)，故B错误；
对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有5×4×3=60(种)，故C正确；
对于D，甲、乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲、乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有52=25(种)，故D错误．
故选：AC．
对于A，根据社区A必须有同学选择，由甲、乙、丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B，根据同学甲必须选择社区A，有乙丙都有5种选择求解；对于C，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D，由甲、乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；
本题主要考查了排列组合知识，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：根据题意，若f(x)在区间(−2,1)上存在次不动点，
则f(x)=−x在区间(−2,1)上有解，
即ex+1+e−x−1+x2+x+a=−x，
即ex+1+e−(x+1)+(x+1)2=1−a有解，
令t=x+1，t∈(−1,2)，则1−a=t2+et+e−t，
令函数g(t)=t2+et+e−t，g′(t)=2t+et−e−t且单调递增，
当t∈(0,2)时，g′(t)>0，
所以g(t)在(0,2)上单调递增，
g(−t)=t2+et+e−t=g(t)，
所以g(t)为偶函数，
所以g(t)在(−1,0)上单调递减，
g(t)min=g(0)=2，g(t)故1−a∈[2,4+e2+e−2)，a∈(−e2−e−2−3,−1]，
则−1∈(−e2−e−2−3,−1]，−e2−e−2−1∈(−e2−e−2−3,−1]．
故选：AD．
由题意可得，ex+1+e−x−1+x2+x+a=−x在(−2,1)上有解，即ex+1+e−(x+1)+(x+1)2=1−a有解，然后换元构造函数，利用导数求最值即可．
本题属于新概念题，考查了函数的奇偶性、单调性及导数的综合运用，属于中档题．
12.【答案】−9
【解析】解：由f(x)=1x，求导得f′(x)=−1x2，则f′(3)=−19，
由g(x)=mx，求导得g′(x)=m，
所以m=g′(3)=1f′(3)=−9．
故答案为：−9．
对给定函数求导，再求出在3处的导数值即得．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
13.【答案】480
【解析】解：先排甲、乙以外的四门体验课程，此时有A44=24种，
再用插空法排甲、乙两门体验课程，此时有A52=20种，
则不同的排法共有A44A52=480种．
故答案为：480．
利用插空法先排其它四门，然后再排甲、乙两门，利用分步乘法公式从而求解．
本题主要考查了排列组合知识，考查了“插空法”的应用，属于基础题．
14.【答案】(−∞,0)
【解析】解：由题意对任意的x∈R，都有f(x)0，
令g(x)=f(x)ex，则g′(x)=f′(x)−f(x)ex>0，即g(x)=f(x)ex为R上的增函数，
而f(0)=2023，故g(0)=f(0)e0=2023，
又f(x)<2023ex，即g(x)=f(x)ex<2023=g(0)，得x<0，
即不等式f(x)<2023ex的解集为(−∞,0)．
故答案为：(−∞,0)．
构造新函数g(x)=f(x)ex，利用导数结合f(0)=2023即可求解不等式．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15.【答案】解：(1)a=0时，f(x)=x2−2lnx，定义域为(0,+∞)，
f′(x)=2x−2x=2x2−2x，
令f′(x)=0，解得x=1或x=−1(舍去)，
令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0故f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=1，
∴f(x)的极小值为f(1)=1，无极大值．
(2)∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，
∴在区间[1,2]上f′(x)≤0，
∴f′(x)=2x+a−2x≤0⇒a≤2x−2x，
令g(x)=2x−2x，只需a≤g(x)min，
显然g(x)=2x−2x在区间[1,2]上为减函数，
∴g(x)min=g(2)=1−4=−3，
∴a≤−3．
∴a的取值范围是(−∞,−3]．
【解析】(1)求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况；
(2)由题意得在区间[1,2]上f′(x)≤0，参变分离，构造函数g(x)=2x−2x，求出最小值，得到答案．
本题考查了利用导数研究函数单调性和极值，考查了构造函数解决问题的能力，考查了函数思想，属于中档题．
16.【答案】解：(1)证明：如图，当E为侧棱PD的中点时，有PB/​/平面AEC，理由如下：
设底面矩形ABCD的对角线的交点为F，则F为BD的中点，当E为侧棱PD的中点时，
可得EF/​/PB，又PB⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，
∴PB/​/平面AEC，
故在侧棱PD上存在中点E，使PB/​/平面AEC；
(2)(1)的条件下，可知E为PD的中点，
∵PA是圆柱的母线，
∴PA垂直底面圆，又四边形ABCD是圆柱底面的内接矩形，
∴PA⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥PA，又CD⊥AD，且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AP=1，AD= 3，PA⊥AD，∴PD=2，又E为PD的中点，
∴AE=PE=ED=1，∴△PAE为正三角形，
∴∠PAE=60°，∴∠DAE=30°，
过D作直线AE的垂线，垂足点为H，连接HC，∵CD⊥平面PAD，
∴根据三垂线定理可知二面角D−AE−C的平面角为∠DHC=60°，
又易知DH=12AD= 32，∴CD= 3DH=32，
又E到底面ABCD的距离为12AP=12，
∴三棱锥E−ACD的体积为13×12× 3×32×12= 38．
【解析】(1)根据三角形中位线性质，线面平行的判定定理，即可证明；
(2)易证CD⊥平面PAD，过D作直线AE的垂线，垂足点为H，连接HC，则根据三垂线定理可知二面角D−AE−C的平面角为∠DHC=60°，从而求出CD的长度，再根据三棱锥的体积公式即可求解．
本题考查线面平行的证明，二面角问题的求解，三棱锥的体积的求解，三垂线定理的应用，属中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得当a=1时，f(x)=ex−x，x∈R，则f′(x)=ex−1，
由f′(x)=0得x=0，由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，
∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
∴当x=0时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值点为x=0，无极大值点；
(2)由题意得f′(x)=ex−a，x∈R，
①当a≤0时，f′(x)>0，即f(x)在R上单调递增；
②当a>0时，由f′(x)=0得x=lna，由f′(x)>0得x>lna，由f′(x)<0得x∴f(x)在(−∞,ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增；
(3)g(x)=ex(x−1)−alnx+f(x)有两个零点，转化为h(x)=xex−aln(xex)(x>0)有两个零点，
令t=xex，则t′=(x+1)ex>0在(0,+∞)上恒成立，
∴t=xex在(0,+∞)上单调递增，
∴h(x)=xex−aln(xex)有两个零点，转化为g(t)=t−alnt有两个零点，
则g′(t)=1−at=t−at，t∈(0,+∞)，
∴①当a≤0时，g′(t)>0，即g(t)在(0,+∞)上单调递增，不可能有两个零点；
②当a>0时，由g′(t)>0得t>a，由g′(t)<0得0∴g(t)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，
∴当t=a时，g(t)取得极小值也是最小值，即g(t)min=g(a)=a−alna，
若g(a)>0，则00恒成立，没有零点；
若g(a)−0，则a=e，此时g(t)有一个零点；
若g(a)<0，则a>e，
又g(1)=1>0，g(e)=e−a<0，g(ea)=ea−a2>0，
∴由零点存在性定理得g(t)在(1,e)，(e,ea)上各存在一个零点，符合题意；
综上所述，a的取值范围为(e,+∞)．
【解析】(1)由题意得当a=1时，f(x)=ex−x，x∈R，则f′(x)=ex−1，利用导数与极值的关系，即可得出答案；
(2)由题意得f′(x)=ex−a，x∈R，分类讨论a≤0，a>0，即可得出答案；
(3)题意转化为转化为h(x)=xex−aln(xex)(x>0)有两个零点，令t=xex，则t′=(x+1)ex>0在(0,+∞)上恒成立，即t=xex在(0,+∞)上单调递增，h(x)=xex−aln(xex)有两个零点，即g(t)=t−alnt有两个零点，利用导数研究g(t)，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查转化思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)当n≥2时，an−an−1=2n−2(n−1)=2，从而{an}是等差数列，an=2n，
bnbn−1=2an2an−1=2an−an−1=4，所以{bn}是等比数列，
又b1=2a1=22=4，则bn=4×4n−1=4n，
所以Sn=n(2+2n)2+4×(1−4n)1−4=n2+n+43(4n−1)．
(2){bn}是各项为正的等比数列，设其首项为b1，公比为q，
由bn=2an，可得an=lg2bn，则an+1−an=lg2bn+1−lg2bn=lg2q，(定值)
则数列{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
由数列{an+bn}的前n项和Sn=3n，
可得方程组a1+b1=3a1+d+b1q=3a1+2d+b1q2=3a1+3d+b1q3=3，整理得d+b1q2−b1q=02d+b1q3−b1q=0，
解得：b1q(q−1)2=0，∵b1≠0，q≠0，∴q=1则d=0，
由a1+2a1=3，可得a1=1，则b1=2，
则数列{an}的通项公式为an=1；数列{bn}的通项公式为bn=2．
【解析】(1)先判定数列{an}和{bn}分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列{an+bn}的前n项和Sn．
(2)利用数列{an+bn}的前n项和Sn=3n列出方程组，解之即可求得a1、d、b1、q，进而求得数列{an}和{bn}的通项公式．
本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通项公式，是难题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2(lnx+1)，∴f(1)=1，
又f′(x)=x(2lnx+3)，∴f′(1)=3，
∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．
(2)∵x∈(0,+∞)，f′(x)=2x(lnx+a)+x=x(2lnx+2a+1)，
令φ(x)=2lnx+2a+1，φ′(x)=2x>0，
∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增，由φ(x)=2lnx+2a+1=0，得x=e−a−12，
∴f(x)在(0,e−a−12)上单调递减，在(e−a−12,+∞)上单调递增．
(3)证明：∵f(e−a)=0，∴x∈(0,e−a)时，f(x)<0，
∴0∴lnx1<−a−12即2(lnx1+a)<−1<2(lnx2+a)<0，
由f(x1)=f(x2)，得x12(lnx1+a)=x22(lnx2+a)，
即elnx12(lnx1+a)e2a=elnx22(lnx2+a)e2a，
∴e2(lnx1+a)⋅2(lnx1+a)=e2(lnx2+a)⋅2(lnx2+a)，
令t1=2(lnx1+a)，t2=2(lnx2+a)，
设g(t)=tet，t∈(−∞,0)，∴g′(t)=(t+1)et，
∴t∈(−∞,−1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减，
t∈(−1,0)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，
下面证明t1+t2<−2，又t2>−1，即证t1<−2−t2<−1，
即证g(t1)>g(−2−t2)，
即证g(t2)>g(−2−t2)，
令G(t)=g(t)−g(−2−t)，t∈(−1,0)，G′(t)=g′(t)−g′(−2−t)=(t+1)(et−e−2−t)>0，
∴G(t)在(−1,0)上单调递增，∴G(t)>G(−1)=0，从而得证，
故2(lnx1+a)+2(lnx2+a)<−2，
即lnx1x2<−2a−1，
∴0∴1x1x2>e2a+1．
【解析】(1)求出f(1)，对f(x)求导，求出f′(1)，利用点斜式即可得解；
(2)对f(x)求导，利用导数与单调性的关系求解即可；
(3)求出x1g(−2−t2)，令G(t)=g(t)−g(−2−t)，利用导数导数判断函数的单调性即可得证．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．