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2023-2024学年浙江省衢州市锦绣育才教育集团八年级（上）期末数学试卷(含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省衢州市锦绣育才教育集团八年级（上）期末数学试卷(含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段(单位：cm)，能组成三角形的是( )
A. 2，2，5B. 4，8，15C. 4，8，8D. 6，12，18
3.要说明命题“若|a|>|b|，则a>b”是假命题，能举的一个反例是( )
A. a=1，b=−2B. a=2，b=1
C. a=4，b=−1D. a=−3，b=−2
4.如图，AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，已知∠B=60°，∠C=40°，则∠DAE的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 40°
5.下列运算正确的是( )
A. 5+ 2= 7B. 2 3×3 6=18 2
C. 914=3 12D. (2− 7)2=2− 7
6.点A(1,y1)，B(2,y2)都在直线y=23x+b上，则y1与y2大小关系是( )
A. y1y2D. 无法比较大小
7.小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为600cm3的杯子中倒入420cm3的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出.根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是( )
A. 25cm3以上，30cm3以下B. 30cm3以上，33cm3以下
C. 30cm3以上，36cm3以下D. 33cm3以上，36cm3以下
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以A点，B点为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H.连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB=10cm，BC=6cm，则GH的长度为( )
A. 94cmB. 134cmC. 3cmD. 254cm
9.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线l：y=kx将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为( )
A. 910
B. 109
C. 34
D. 43
10.如图1，在△ABC中，∠A=45°，AB=8cm，点P以 2cm/s的速度从点A出发，到达C点后再以 102cm/s的速度到达B点停止，点P的高度PD记为y(cm)，点P的运动时间记为x(s)，y关于x的函数图象如图2所示，经过时间m秒P在AC上，经过时间n秒时P在CB上，若这两个时刻点P的高度恰好一样，则2m+n的值为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若二次根式 a−1有意义，则a的取值范围是______．
12.如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC=7cm，CE=4cm，则CF的长是______cm．
13.已知一次函数的图象过点(−1,2)，且y随x的增大而减少.请写出一个符合条件的一次函数表达式______.(只写一个)
14.在平面直角坐标系中，点A向右平移2个单位，向下平移3个单位得到点A′(−2,3)，则点A的坐标为______．
15.如图，在△ABC中，AB=AC=6 3,∠C=75°，P、Q分别是线段AB和上的两个动点，则BP+PQ的最小值为______．
16.【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系(部分数据)如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟．
【问题】
(1)小明游玩行走速度为______米/分钟．
(2)游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少______分钟．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 8× 2− 27÷ 3；
(2) 3(1− 15)+3 5．
18.(本小题8分)
解不等式组2x>−6x−12≤x+16，并把它的解集在数轴(如图)上表示出来．
19.(本小题8分)
如图，在单位长度1的正方形网格中有一个△ABC．
(1)请画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A1B1C1．
(2)若此时B的坐标为(−4,−1)，则点B1的坐标为(2,−1)，请在图中画出平面直角坐标系，并写出A1点的坐标．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中(O为坐标原点)，点A(−2,0)、点B(0,−1)，点C的坐标是(0,2)．
(1)求直线AB的函数表达式．
(2)设点D(m,0)为x轴上一点，且S△ABC=12S△ABD，求点D的坐标．
21.(本小题10分)
在数字化校园建设工程中，学校计划购进一批笔记本电脑和台式电脑，经过市场调研得知：买10台台式电脑的钱等于买6台笔记本电脑的钱，买10台笔记本电脑的价格比买6台台式电脑的价格贵48000元．
(1)台式电脑和笔记本电脑的单价多少元？
(2)若学校计划总共购买22台电脑，但总支出不超过15万，则学校最少可以购买几台台式电脑？
22.(本小题10分)
如图，点D在△ABC的BC边上，DE交AC于点F，∠1=∠2=∠3，AB=AD．
(1)求证：BC=DE．
(2)若AD=CD，∠CFD=m°．
①求∠BAE的度数(用含m的代数式表示)．
②当AB=5cm，BC=11cm时，求AE的长．
23.(本小题12分)
如图，直线y=x+4与和y=−kx+12与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点C(4,m)，G是y=−kx+12与y轴的交点，点D为AB的中点，点E是线段AC上一个动点(不与点A和C重合)，连接DE，并过点D作DE⊥DF交BC于点F．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)当点E的横坐标为−1时，在x轴上找到一点P使得△PEF的周长最小，请求出点P的坐标；
(3)当△EFG是等腰三角形时，求E点的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断，利用排除法求解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵2+2<5，∴不能组成三角形，故不符合题意；
B、∵4+8<15，∴不能组成三角形，故不符合题意；
C、∵4+8>8，∴能组成三角形，故符合题意；
D、∵6+12=18，∴不能组成三角形，故不符合题意；
故选：C．
用最小的两边相加大于第三边判断即可．
此题考查了三角形三边组成三角形的条件：较小两边的和大于第三边，熟练掌握三边关系是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、不满足|a|>|b|，不符合题意；
B、条件和结论都与原命题相符，不符合题意；
C、条件和结论都与原命题相符，不符合题意；
D、条件满足|a|>|b|，结论与原命题矛盾，符合题意；
故选：D．
根据反例满足条件，结论与原结论矛盾，进行判断即可．
本题考查了举反例．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°−60°−40°=80°，
∵AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，
∴∠ADC=90°，∠CAE=12∠BAC=40°，
∴∠DAC=90°−40°=50°，
∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=50°−40°=10°；
故选：A．
先求出∠BAC，∠DAC的度数，根据平分线平分角求出∠CAE，再利用∠DAC−∠CAE进行求解即可．
本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解： 5+ 2中，没有同类二次根式，不能合并，
故A选项不符合题意；
2 3×3 6=18 2，
故B选项符合题意；
914= 372，
故C选项不符合题意；
(2− 7)2= 7−2，
故D选项不符合题意，
故选：B．
根据二次根式的性质以及二次根式的加减法则分别进行判断即可．
本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质以及二次根式的加减法则是关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵k=23>0，
∴y随x的增大而增大，
∵1<2，
∴y1故选：A．
先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论．
本题主要考查了一次函数的增减性，熟练地掌握一次函数的图象及其性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为xcm3，
则有：5x<600−4206x>600−420，
解得：30∴一颗玻璃球的体积在30cm3以上，36cm3以下，
故选：C．
根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可．
本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接BH，如图所示：
根据作图可知，EF垂直平分AB，
∴BH=AH，AD=BD，
∵△ABC为直角三角形，
∴CD=12AB=5cm，
∴CG=CD=5cm，
根据勾股定理得：AC= AB2−BC2= 102−62=8(cm)，
∴AG=AC−CG=8−5=3(cm)，
设AH=BH=x cm，则CH=(8−x)cm，
根据勾股定理得：BC2+CH2=BH2，
即62+(8−x)2=x2，
解得：x=254，
∴GH=AH−AG=254−3=134(cm)，
故选：B．
连接BH，根据直角三角形的性质得出CD=12AB=5cm，根据勾股定理求出AC= AB2−BC2= 102−62=8(cm)，求出AG=AC−CG=8−5=3(cm)，设AH=BH=xcm，则CH=(8−x)cm，根据勾股定理得出62+(8−x)2=x2，求出x=254，最后求出结果即可．
本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
9.【答案】A
【解析】解：设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作AB⊥OB于点B，如图所示：
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边的面积都是4，
∴12OB⋅AB=5，
∴AB=103，
∴A(103,3)，
把A(103,3)代入y=kx得：103k=3，
解得：k=910，
故选：A．
设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作AB⊥OB于点B，先根据图形得出OB=3，根据三角形面积公式得出12OB⋅AB=5，求出AB=103，得出A(103,3)，把A(103,3)代入y=kx，求出k的值即可．
本题主要考查了中心对称，掌握三角形面积的计算，求一次函数解析是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，
∵点P以 2cm/s的速度从点A出发，到达C点，且运动时间为2秒，
∴AC=2 2，
作CM⊥AB交AB与点M，
∵∠CAB=45°，
∴∠ACM=45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴CM=AM=2，
∵AB=8，
∴BM=6，
在Rt△BCM中，BC= CM2+BM2= 22+62=2 10，
∵经过时间m秒P在AC上，经过时间n秒时P在CB上，分别到达点E，F，则：
AE= 2m,CF= 102n，
作ED⊥AB，FN⊥AB，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴ED=m，
∵FN=ED=QM=m，
∴EF//AB，CQ=2−m，
∴CQCM=CFCB，
∴2−m2= 102n2 10，
∴2m+n=4，
故选：B．
由图2可得AC=2 2，再判断△ACM是等腰直角三角形，得出CM=AM=2，由勾股定理求出BC=2 10，证明△CQF∽△CMB，运用相似三角形的性质可求出2m+n=4．
本题主要考查动点函数图象问题，等腰直角三角形判定与性质，平行线的性质，熟练掌握并运用平行线的性质是解答本题的关键．
11.【答案】a≥1
【解析】解：∵二次根式 a−1有意义，
∴a−1≥0，
解得：a≥1．
故答案为：a≥1．
根据负数没有平方根确定出a的范围即可．
此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=7cm，
∴CF=EF−CE=3cm；
故答案为：3．
根据全等三角形的对应边相等，得到EF=BC=7cm，再根据CF=EF−CE，进行求解即可．
本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】y=−x+1
【解析】解：设函数表达式为y=−x+b，
将点(−1,2)代入y=−x+b得：2=1+b，
解得：b=1，
∴函数的表达式为：y=−x+1．
故答案为：y=−x+1．
设一次函数表达式为y=kx+b，根据y随x的增大而减少可知，函数的k值小于0，选择一个小于0的数即可，再将点(−1,2)代入函数表达式求出b值即可．
本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键会用待定系数法求解函数的表达式以及掌握当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
14.【答案】(−4,6)
【解析】解：设点A的坐标为(x,y)，
∵点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位得点A′(−2,3)，
∴x+2=−2，y−3=3，
解得：x=−4，y=6，
∴点A的坐标为(−4,6)，
故答案为：(−4,6)．
根据直角坐标系内点的平移即可求解．
此题主要考查直角坐标系点的平移，解题的关键是熟知直角坐标系坐标变换的特点．
15.【答案】9
【解析】解：作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′Q⊥AB于点Q，
则PB=PB′，∠BDP=∠BDC=90°，
∴BP+PQ=B′P+PQ=B′Q取得最小值，
∵AB=AC=6 3,∠C=75°，
∴∠ABC=∠C=75°，∠CBD=180°−∠BDC−∠C=15°，
∴∠A=180°−2∠C=30°，
∴AP=2PQ，
设AQ=x，则BQ=AB−AQ=6 3−x，
∵AQ= AP2−PQ2= 3PQ，
∴PQ= 33AQ= 33x，
∴AP=2PQ=2 33x，
∵∠APQ=∠B′PC，∠AQP=∠B′DP=90°，
∴∠B′=∠A=30°，
∴∠PBB′=∠B=30°，
∴∠ABP=∠ABC−∠B′BP−∠CBD=30°，BB′=2BQ，
∴∠ABP=∠A=30°，
∴AP=BP，
∵B′Q= B′B2−BQ2= 3BQ，
∴BP=B′P=B′Q−PQ= 3(6 3−x)− 33x=18−4 33x，
∴2 33x=18−4 33x，
解得x=3 3，
∴PQ= 33AQ= 33x=3，BP=B′P=18−4 33x=6，
∴B′Q=PQ+B′P=9，即BP+PQ的最小值为9，
故答案为：9．
作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′Q⊥AB于点Q，则BP+PQ=B′P+PQ=B′Q取得最小值，证明AP=2PQ，设AQ=x，则BQ=AB−AQ=6 3−x，得到AP=2PQ=2 33x，证明AP=BP，再求得BP=B′P=18−4 33x，则2 33x=18−4 33x，解得x=3 3，即可求得答案．
此题主要考查了轴对称的性质−最短路径问题，掌握勾股定理，等腰三角形的判定和性质是关键．
16.【答案】60 45
【解析】解：(1)由图象可知：小明游玩行走的时间为75+10−40=45(分钟)，
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
x+y+z45=x+y+z−210010，
解得：x+y+z=2700，
∴小明游玩行走的速度为(2700−2100)÷10=60(米/分钟)；
故答案为：60．
(2)由题意，得：小亮游玩行走的时间为205−100=105(分钟)；由于游玩行走速度恒定，则小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3y=105×60=6300，
∴x+y=2100，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为2x+2y+z=x+y+z+x+y=2700+2100=4800(米)；
∴游玩路线①③⑥⑦⑧所用时间为4800÷60+4×20=160(分钟)，
∴游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少205−160=45(分钟)；
故答案为：45．
(1)设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知x+y+z45=x+y+z−210010，求出x+y+z的值，再利用路程除以时间求出速度即可；
(2)根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”求出x+y=2100，进而求出路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和，利用路程除以速度再加上停留时间求出游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间即可．
本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
17.【答案】解：(1)原式= 16− 9=4−3=1；
(2)原式= 3− 45+3 5= 3−3 5+3 5= 3．
【解析】(1)先算乘除，再计算减法即可；
(2)先去括号，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
18.【答案】解：2x>−6①x−12≤x+16②，
解①得x>−3，
解②得x≤2，
所以不等式组的解集为−3解集在数轴上表示为：
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，
由图可知：A1(1,3)．
【解析】(1)根据轴对称的性质，画出△A1B1C1即可；
(2)根据点的坐标，确定原点的位置，画出直角坐标系，进而写出A1点的坐标即可．
本题考查画轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称的性质，是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设直线AB的函数表达式为：y=kx+b(k≠0)，把点A(−2,0)、点B(0,−1)代入得：
−2k+b=0b=−1，
解得k=−12b=−1，
∴直线AB的表达式为：y=−12x−1；
(2)S△ABC=12×[2−(−1)]×2=3，
∵S△ABC=12S△ABD，
∴S△ABD=2S△ABC=2×3=6，
∴12|m−(−2)|×1=6，
解得：m=10或m=−14，
∴点D的坐标为(10,0)或(−14,0)．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)由题意可知点D在线段BC的垂直平分线上，求出点D的横坐标即可解决问题．
本题考查了一次函数与几何问题，熟练掌握待定系数法以及三角形面积的计算是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设台式电脑和笔记本电脑的单价分别为x元和y元，根据题意得：
10x=6y10y−6x=48000，
解得：x=4500y=7500，
答：台式电脑和笔记本电脑的单价分别为4500元和7500元；
(2)设购买x台台式电脑，则购买(22−x)台笔记本电脑，根据题意得：
4500x+7500(22−x)≤150000，
解得x≥5，
即学校最少可以购买5台台式电脑．
【解析】(1)设台式电脑和笔记本电脑的单价分别为x元和y元，根据“买10台台式电脑的钱等于买6台笔记本电脑的钱，买10台笔记本电脑的价格比买6台台式电脑的价格贵48000元．”得到方程组，解方程组即可得到答案；
(2)设购买x台台式电脑，则购买(22−x)台笔记本电脑，根据总支出不超过15万列出不等式，解不等式即可得到答案．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠2=∠3，
又∵∠CFE=∠C+∠3=∠E+∠2，
∴∠C=∠E，
在△ABC和△ADE中，
∠C=∠E∠BAC=∠DAEAB=AD，
∴△ABC≌△ADE(AAS)，
∴BC=DE．
(2)解：①设∠C=∠E=x°，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠C=x°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=2x°，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∴∠1=180°−∠B−∠ADB=180°−4x°，
∵∠CFD=m°，
∴∠3=180°−x°−m°，
∴180°−4x°=180°−x°−m°，
解得：x=13m，
∴∠BAE=∠1+∠DAC+∠2
=180°−4x°+x°+180°−4x°
=360°−7x°
=360°−73m°；
②过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
∵AB=5cm，BC=11cm，
∴AD=CD=AB=5cm，
∴BD=BC−CD=11−5=6(cm)，
∵AB=AD，AM⊥BC，
∴BM=DM=12BD=3cm，
∴AM= AD2−DM2=4cm，CM=BC−BM=11−3=8(cm)，
∴AC= AM2+CM2= 42+82=4 5(cm)，
∴AE=AC=4 5cm．
【解析】(1)由∠1=∠2，推导出∠BAC=∠DAE，由∠2=∠3，证明∠C=∠E，即可根据全等三角形的判定定理AAS证明△ABC≌△ADE，得BC=DE；
(2)①设∠C=∠E=x°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出x=13m，根据∠BAE=∠1+∠DAC+∠2求出结果即可；
②过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质求出BM=DM=12BD=3cm，根据勾股定理求出AM= AD2−DM2=4cm，最后求出AC= AM2+CM2= 42+82=4 5(cm)即可得出答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
23.【答案】解：(1)△ABC为等腰直角三角形；理由如下：
∵C(4,m)在y=x+4上，
∴m=4+4=8，
∴C(4,8)，
把C(4,8)代入y=−kx+12得：
−4k+12=8，
解得：k=1，
∴y=−x+12，
把y=0代入y=x+4得：x+4=0，
解得：x=−4，
∴A(−4,0)，
把y=0代入y=−x+12得：−x+12=0，
解得：x=12，
∴B(12,0)，
则AC= (−4−4)2+82=8 2，
BC= (12−4)2+82=8 2，
AB=12−(−4)=16，
则AC=BC，且AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
(2)由题意知D(−4+122,0)，即D(4,0)，连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，如图1所示：
∴∠MDN=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDM=∠FDN，
∵C(4,8)，D(4,0)，
∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，
∴DM=DN，
∵∠EMD=∠FND，
∴△EMD≌△FND(ASA)，
∴DE=DF，
∵EK⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EKD=∠FHD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDK+∠FDH=∠FDH+∠DFH=90°，
∴∠EDK=∠DFH，
∴△EDK≌△DFH(AAS)，
∴EK=DH，
当xE=−1时，yE=3，
∴E(−1,3)，
∴EK=3，
∴DH=3，
∴xH=3+4=7，
∴yH=−7+12=5，
∴F(7,5)，
∴EF= (−1−7)2+(5−3)2=2 17，
∴要使△PEF周长最小，即只需时EP+PF最小，
作点E关于x轴的对称点E′(−1,−3)，连接E′F，交x轴于点P，连接PE，如图2，
∵PE=PE′，
∴PE+PF=PE′+PF，
∵两点之间线段最短，
∴PE+PF最小，
设E′F的解析式为y=k′x+b′，把E′(−1,−3)、F(7,5)代入得：
−k′+b′=−37k′+b′=5，
解得：k′=1b′=−2，
∴E′F的解析式为y=x−2，令x−2=0，x=2，
∴P(2,0)．
(3)连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，如图3所示：
根据解析(2)可知D(4,0)，△EDK≌△DFH，EK=DH，
设点E的坐标为(m,m+4)(−4≤m≤4)，
∴EK=m+4，
∴DH=m+4，
∴点H的坐标为：(m+8,0)，
∴点F的坐标为：(m+8,−m+4)，
把x=0代入y=−x+12代入得：y=12，
∴G(0,12)，
∴EG2=m2+(m−8)2，
FG2=(m+8)2+(−m−8)2=2(m+8)2，
EF2=(m−m−8)2+(−m+4−m−4)2=64+4m2，
当EG2=FG2时，m2+(m−8)2=2(m+8)2，
解得：m=−43，
∴E(−43,83)；
当EG2=EF2时，m2+(m−8)2=64+4m2，
解得：m=0或m=−8(舍去)；
∴E(0,4)；
当FG2=EF2时，2(m+8)2=64+4m2，
解得：m=8+4 6(舍去)或m=8−4 6，
∴E(8−4 6,12−4 6)；
综上分析可知，点E的坐标为：(−43,83)或(0,4)或E(8−4 6,12−4 6)．
【解析】(1)分别求出A、B、C三点坐标以及AC、AB、BC的长，即可得出△ABC的形状；
(2)连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，证明△EMD≌△FND，得出DE=DF，证明△EDK≌△DFH，得出EK=DH，求出E(−1,3)，F(7,5)，得出EF= (−1−7)2+(5−3)2=2 17，说明要使△PEF周长最小，即只需时EP+PF最小，作点E关于x轴的对称点E′(−1,−3)，连接E′F，交x轴于点P，连接PE，求出E′F的解析式为y=x−2，求出P(2,0)即可；
(3)连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，设点E的坐标为(m,m+4)(−4≤m≤4)，点H的坐标为：(m+8,0)，求出点F的坐标为：(m+8,−m+4)，得出EG2=m2+(m−8)2，FG2=(m+8)2+(−m−8)2=2(m+8)2，EF2=(m−m−8)2+(−m+4−m−4)2=64+4m2，分三种情况：当EG2=FG2时，当EG2=EF2时，m2+(m−8)2=64+4m2，当FG2=EF2时，列方程求解即可．
本题是一次函数的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，两点间距离公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
1.下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段(单位：cm)，能组成三角形的是( )
A. 2，2，5B. 4，8，15C. 4，8，8D. 6，12，18
3.要说明命题“若|a|>|b|，则a>b”是假命题，能举的一个反例是( )
A. a=1，b=−2B. a=2，b=1
C. a=4，b=−1D. a=−3，b=−2
4.如图，AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，已知∠B=60°，∠C=40°，则∠DAE的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 40°
5.下列运算正确的是( )
A. 5+ 2= 7B. 2 3×3 6=18 2
C. 914=3 12D. (2− 7)2=2− 7
6.点A(1,y1)，B(2,y2)都在直线y=23x+b上，则y1与y2大小关系是( )
A. y1
7.小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为600cm3的杯子中倒入420cm3的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出.根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是( )
A. 25cm3以上，30cm3以下B. 30cm3以上，33cm3以下
C. 30cm3以上，36cm3以下D. 33cm3以上，36cm3以下
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以A点，B点为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H.连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB=10cm，BC=6cm，则GH的长度为( )
A. 94cmB. 134cmC. 3cmD. 254cm
9.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线l：y=kx将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为( )
A. 910
B. 109
C. 34
D. 43
10.如图1，在△ABC中，∠A=45°，AB=8cm，点P以 2cm/s的速度从点A出发，到达C点后再以 102cm/s的速度到达B点停止，点P的高度PD记为y(cm)，点P的运动时间记为x(s)，y关于x的函数图象如图2所示，经过时间m秒P在AC上，经过时间n秒时P在CB上，若这两个时刻点P的高度恰好一样，则2m+n的值为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若二次根式 a−1有意义，则a的取值范围是______．
12.如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC=7cm，CE=4cm，则CF的长是______cm．
13.已知一次函数的图象过点(−1,2)，且y随x的增大而减少.请写出一个符合条件的一次函数表达式______.(只写一个)
14.在平面直角坐标系中，点A向右平移2个单位，向下平移3个单位得到点A′(−2,3)，则点A的坐标为______．
15.如图，在△ABC中，AB=AC=6 3,∠C=75°，P、Q分别是线段AB和上的两个动点，则BP+PQ的最小值为______．
16.【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系(部分数据)如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟．
【问题】
(1)小明游玩行走速度为______米/分钟．
(2)游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少______分钟．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 8× 2− 27÷ 3；
(2) 3(1− 15)+3 5．
18.(本小题8分)
解不等式组2x>−6x−12≤x+16，并把它的解集在数轴(如图)上表示出来．
19.(本小题8分)
如图，在单位长度1的正方形网格中有一个△ABC．
(1)请画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A1B1C1．
(2)若此时B的坐标为(−4,−1)，则点B1的坐标为(2,−1)，请在图中画出平面直角坐标系，并写出A1点的坐标．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中(O为坐标原点)，点A(−2,0)、点B(0,−1)，点C的坐标是(0,2)．
(1)求直线AB的函数表达式．
(2)设点D(m,0)为x轴上一点，且S△ABC=12S△ABD，求点D的坐标．
21.(本小题10分)
在数字化校园建设工程中，学校计划购进一批笔记本电脑和台式电脑，经过市场调研得知：买10台台式电脑的钱等于买6台笔记本电脑的钱，买10台笔记本电脑的价格比买6台台式电脑的价格贵48000元．
(1)台式电脑和笔记本电脑的单价多少元？
(2)若学校计划总共购买22台电脑，但总支出不超过15万，则学校最少可以购买几台台式电脑？
22.(本小题10分)
如图，点D在△ABC的BC边上，DE交AC于点F，∠1=∠2=∠3，AB=AD．
(1)求证：BC=DE．
(2)若AD=CD，∠CFD=m°．
①求∠BAE的度数(用含m的代数式表示)．
②当AB=5cm，BC=11cm时，求AE的长．
23.(本小题12分)
如图，直线y=x+4与和y=−kx+12与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点C(4,m)，G是y=−kx+12与y轴的交点，点D为AB的中点，点E是线段AC上一个动点(不与点A和C重合)，连接DE，并过点D作DE⊥DF交BC于点F．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)当点E的横坐标为−1时，在x轴上找到一点P使得△PEF的周长最小，请求出点P的坐标；
(3)当△EFG是等腰三角形时，求E点的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断，利用排除法求解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵2+2<5，∴不能组成三角形，故不符合题意；
B、∵4+8<15，∴不能组成三角形，故不符合题意；
C、∵4+8>8，∴能组成三角形，故符合题意；
D、∵6+12=18，∴不能组成三角形，故不符合题意；
故选：C．
用最小的两边相加大于第三边判断即可．
此题考查了三角形三边组成三角形的条件：较小两边的和大于第三边，熟练掌握三边关系是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、不满足|a|>|b|，不符合题意；
B、条件和结论都与原命题相符，不符合题意；
C、条件和结论都与原命题相符，不符合题意；
D、条件满足|a|>|b|，结论与原命题矛盾，符合题意；
故选：D．
根据反例满足条件，结论与原结论矛盾，进行判断即可．
本题考查了举反例．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°−60°−40°=80°，
∵AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，
∴∠ADC=90°，∠CAE=12∠BAC=40°，
∴∠DAC=90°−40°=50°，
∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=50°−40°=10°；
故选：A．
先求出∠BAC，∠DAC的度数，根据平分线平分角求出∠CAE，再利用∠DAC−∠CAE进行求解即可．
本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解： 5+ 2中，没有同类二次根式，不能合并，
故A选项不符合题意；
2 3×3 6=18 2，
故B选项符合题意；
914= 372，
故C选项不符合题意；
(2− 7)2= 7−2，
故D选项不符合题意，
故选：B．
根据二次根式的性质以及二次根式的加减法则分别进行判断即可．
本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质以及二次根式的加减法则是关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵k=23>0，
∴y随x的增大而增大，
∵1<2，
∴y1
先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论．
本题主要考查了一次函数的增减性，熟练地掌握一次函数的图象及其性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为xcm3，
则有：5x<600−4206x>600−420，
解得：30
故选：C．
根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可．
本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接BH，如图所示：
根据作图可知，EF垂直平分AB，
∴BH=AH，AD=BD，
∵△ABC为直角三角形，
∴CD=12AB=5cm，
∴CG=CD=5cm，
根据勾股定理得：AC= AB2−BC2= 102−62=8(cm)，
∴AG=AC−CG=8−5=3(cm)，
设AH=BH=x cm，则CH=(8−x)cm，
根据勾股定理得：BC2+CH2=BH2，
即62+(8−x)2=x2，
解得：x=254，
∴GH=AH−AG=254−3=134(cm)，
故选：B．
连接BH，根据直角三角形的性质得出CD=12AB=5cm，根据勾股定理求出AC= AB2−BC2= 102−62=8(cm)，求出AG=AC−CG=8−5=3(cm)，设AH=BH=xcm，则CH=(8−x)cm，根据勾股定理得出62+(8−x)2=x2，求出x=254，最后求出结果即可．
本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
9.【答案】A
【解析】解：设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作AB⊥OB于点B，如图所示：
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边的面积都是4，
∴12OB⋅AB=5，
∴AB=103，
∴A(103,3)，
把A(103,3)代入y=kx得：103k=3，
解得：k=910，
故选：A．
设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作AB⊥OB于点B，先根据图形得出OB=3，根据三角形面积公式得出12OB⋅AB=5，求出AB=103，得出A(103,3)，把A(103,3)代入y=kx，求出k的值即可．
本题主要考查了中心对称，掌握三角形面积的计算，求一次函数解析是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，
∵点P以 2cm/s的速度从点A出发，到达C点，且运动时间为2秒，
∴AC=2 2，
作CM⊥AB交AB与点M，
∵∠CAB=45°，
∴∠ACM=45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴CM=AM=2，
∵AB=8，
∴BM=6，
在Rt△BCM中，BC= CM2+BM2= 22+62=2 10，
∵经过时间m秒P在AC上，经过时间n秒时P在CB上，分别到达点E，F，则：
AE= 2m,CF= 102n，
作ED⊥AB，FN⊥AB，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴ED=m，
∵FN=ED=QM=m，
∴EF//AB，CQ=2−m，
∴CQCM=CFCB，
∴2−m2= 102n2 10，
∴2m+n=4，
故选：B．
由图2可得AC=2 2，再判断△ACM是等腰直角三角形，得出CM=AM=2，由勾股定理求出BC=2 10，证明△CQF∽△CMB，运用相似三角形的性质可求出2m+n=4．
本题主要考查动点函数图象问题，等腰直角三角形判定与性质，平行线的性质，熟练掌握并运用平行线的性质是解答本题的关键．
11.【答案】a≥1
【解析】解：∵二次根式 a−1有意义，
∴a−1≥0，
解得：a≥1．
故答案为：a≥1．
根据负数没有平方根确定出a的范围即可．
此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=7cm，
∴CF=EF−CE=3cm；
故答案为：3．
根据全等三角形的对应边相等，得到EF=BC=7cm，再根据CF=EF−CE，进行求解即可．
本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】y=−x+1
【解析】解：设函数表达式为y=−x+b，
将点(−1,2)代入y=−x+b得：2=1+b，
解得：b=1，
∴函数的表达式为：y=−x+1．
故答案为：y=−x+1．
设一次函数表达式为y=kx+b，根据y随x的增大而减少可知，函数的k值小于0，选择一个小于0的数即可，再将点(−1,2)代入函数表达式求出b值即可．
本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键会用待定系数法求解函数的表达式以及掌握当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
14.【答案】(−4,6)
【解析】解：设点A的坐标为(x,y)，
∵点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位得点A′(−2,3)，
∴x+2=−2，y−3=3，
解得：x=−4，y=6，
∴点A的坐标为(−4,6)，
故答案为：(−4,6)．
根据直角坐标系内点的平移即可求解．
此题主要考查直角坐标系点的平移，解题的关键是熟知直角坐标系坐标变换的特点．
15.【答案】9
【解析】解：作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′Q⊥AB于点Q，
则PB=PB′，∠BDP=∠BDC=90°，
∴BP+PQ=B′P+PQ=B′Q取得最小值，
∵AB=AC=6 3,∠C=75°，
∴∠ABC=∠C=75°，∠CBD=180°−∠BDC−∠C=15°，
∴∠A=180°−2∠C=30°，
∴AP=2PQ，
设AQ=x，则BQ=AB−AQ=6 3−x，
∵AQ= AP2−PQ2= 3PQ，
∴PQ= 33AQ= 33x，
∴AP=2PQ=2 33x，
∵∠APQ=∠B′PC，∠AQP=∠B′DP=90°，
∴∠B′=∠A=30°，
∴∠PBB′=∠B=30°，
∴∠ABP=∠ABC−∠B′BP−∠CBD=30°，BB′=2BQ，
∴∠ABP=∠A=30°，
∴AP=BP，
∵B′Q= B′B2−BQ2= 3BQ，
∴BP=B′P=B′Q−PQ= 3(6 3−x)− 33x=18−4 33x，
∴2 33x=18−4 33x，
解得x=3 3，
∴PQ= 33AQ= 33x=3，BP=B′P=18−4 33x=6，
∴B′Q=PQ+B′P=9，即BP+PQ的最小值为9，
故答案为：9．
作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′Q⊥AB于点Q，则BP+PQ=B′P+PQ=B′Q取得最小值，证明AP=2PQ，设AQ=x，则BQ=AB−AQ=6 3−x，得到AP=2PQ=2 33x，证明AP=BP，再求得BP=B′P=18−4 33x，则2 33x=18−4 33x，解得x=3 3，即可求得答案．
此题主要考查了轴对称的性质−最短路径问题，掌握勾股定理，等腰三角形的判定和性质是关键．
16.【答案】60 45
【解析】解：(1)由图象可知：小明游玩行走的时间为75+10−40=45(分钟)，
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
x+y+z45=x+y+z−210010，
解得：x+y+z=2700，
∴小明游玩行走的速度为(2700−2100)÷10=60(米/分钟)；
故答案为：60．
(2)由题意，得：小亮游玩行走的时间为205−100=105(分钟)；由于游玩行走速度恒定，则小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3y=105×60=6300，
∴x+y=2100，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为2x+2y+z=x+y+z+x+y=2700+2100=4800(米)；
∴游玩路线①③⑥⑦⑧所用时间为4800÷60+4×20=160(分钟)，
∴游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少205−160=45(分钟)；
故答案为：45．
(1)设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知x+y+z45=x+y+z−210010，求出x+y+z的值，再利用路程除以时间求出速度即可；
(2)根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”求出x+y=2100，进而求出路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和，利用路程除以速度再加上停留时间求出游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间即可．
本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
17.【答案】解：(1)原式= 16− 9=4−3=1；
(2)原式= 3− 45+3 5= 3−3 5+3 5= 3．
【解析】(1)先算乘除，再计算减法即可；
(2)先去括号，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
18.【答案】解：2x>−6①x−12≤x+16②，
解①得x>−3，
解②得x≤2，
所以不等式组的解集为−3
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，
由图可知：A1(1,3)．
【解析】(1)根据轴对称的性质，画出△A1B1C1即可；
(2)根据点的坐标，确定原点的位置，画出直角坐标系，进而写出A1点的坐标即可．
本题考查画轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称的性质，是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设直线AB的函数表达式为：y=kx+b(k≠0)，把点A(−2,0)、点B(0,−1)代入得：
−2k+b=0b=−1，
解得k=−12b=−1，
∴直线AB的表达式为：y=−12x−1；
(2)S△ABC=12×[2−(−1)]×2=3，
∵S△ABC=12S△ABD，
∴S△ABD=2S△ABC=2×3=6，
∴12|m−(−2)|×1=6，
解得：m=10或m=−14，
∴点D的坐标为(10,0)或(−14,0)．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)由题意可知点D在线段BC的垂直平分线上，求出点D的横坐标即可解决问题．
本题考查了一次函数与几何问题，熟练掌握待定系数法以及三角形面积的计算是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设台式电脑和笔记本电脑的单价分别为x元和y元，根据题意得：
10x=6y10y−6x=48000，
解得：x=4500y=7500，
答：台式电脑和笔记本电脑的单价分别为4500元和7500元；
(2)设购买x台台式电脑，则购买(22−x)台笔记本电脑，根据题意得：
4500x+7500(22−x)≤150000，
解得x≥5，
即学校最少可以购买5台台式电脑．
【解析】(1)设台式电脑和笔记本电脑的单价分别为x元和y元，根据“买10台台式电脑的钱等于买6台笔记本电脑的钱，买10台笔记本电脑的价格比买6台台式电脑的价格贵48000元．”得到方程组，解方程组即可得到答案；
(2)设购买x台台式电脑，则购买(22−x)台笔记本电脑，根据总支出不超过15万列出不等式，解不等式即可得到答案．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠2=∠3，
又∵∠CFE=∠C+∠3=∠E+∠2，
∴∠C=∠E，
在△ABC和△ADE中，
∠C=∠E∠BAC=∠DAEAB=AD，
∴△ABC≌△ADE(AAS)，
∴BC=DE．
(2)解：①设∠C=∠E=x°，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠C=x°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=2x°，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∴∠1=180°−∠B−∠ADB=180°−4x°，
∵∠CFD=m°，
∴∠3=180°−x°−m°，
∴180°−4x°=180°−x°−m°，
解得：x=13m，
∴∠BAE=∠1+∠DAC+∠2
=180°−4x°+x°+180°−4x°
=360°−7x°
=360°−73m°；
②过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
∵AB=5cm，BC=11cm，
∴AD=CD=AB=5cm，
∴BD=BC−CD=11−5=6(cm)，
∵AB=AD，AM⊥BC，
∴BM=DM=12BD=3cm，
∴AM= AD2−DM2=4cm，CM=BC−BM=11−3=8(cm)，
∴AC= AM2+CM2= 42+82=4 5(cm)，
∴AE=AC=4 5cm．
【解析】(1)由∠1=∠2，推导出∠BAC=∠DAE，由∠2=∠3，证明∠C=∠E，即可根据全等三角形的判定定理AAS证明△ABC≌△ADE，得BC=DE；
(2)①设∠C=∠E=x°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出x=13m，根据∠BAE=∠1+∠DAC+∠2求出结果即可；
②过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质求出BM=DM=12BD=3cm，根据勾股定理求出AM= AD2−DM2=4cm，最后求出AC= AM2+CM2= 42+82=4 5(cm)即可得出答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
23.【答案】解：(1)△ABC为等腰直角三角形；理由如下：
∵C(4,m)在y=x+4上，
∴m=4+4=8，
∴C(4,8)，
把C(4,8)代入y=−kx+12得：
−4k+12=8，
解得：k=1，
∴y=−x+12，
把y=0代入y=x+4得：x+4=0，
解得：x=−4，
∴A(−4,0)，
把y=0代入y=−x+12得：−x+12=0，
解得：x=12，
∴B(12,0)，
则AC= (−4−4)2+82=8 2，
BC= (12−4)2+82=8 2，
AB=12−(−4)=16，
则AC=BC，且AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
(2)由题意知D(−4+122,0)，即D(4,0)，连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，如图1所示：
∴∠MDN=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDM=∠FDN，
∵C(4,8)，D(4,0)，
∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，
∴DM=DN，
∵∠EMD=∠FND，
∴△EMD≌△FND(ASA)，
∴DE=DF，
∵EK⊥AB，FH⊥AB，
∴∠EKD=∠FHD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDK+∠FDH=∠FDH+∠DFH=90°，
∴∠EDK=∠DFH，
∴△EDK≌△DFH(AAS)，
∴EK=DH，
当xE=−1时，yE=3，
∴E(−1,3)，
∴EK=3，
∴DH=3，
∴xH=3+4=7，
∴yH=−7+12=5，
∴F(7,5)，
∴EF= (−1−7)2+(5−3)2=2 17，
∴要使△PEF周长最小，即只需时EP+PF最小，
作点E关于x轴的对称点E′(−1,−3)，连接E′F，交x轴于点P，连接PE，如图2，
∵PE=PE′，
∴PE+PF=PE′+PF，
∵两点之间线段最短，
∴PE+PF最小，
设E′F的解析式为y=k′x+b′，把E′(−1,−3)、F(7,5)代入得：
−k′+b′=−37k′+b′=5，
解得：k′=1b′=−2，
∴E′F的解析式为y=x−2，令x−2=0，x=2，
∴P(2,0)．
(3)连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，如图3所示：
根据解析(2)可知D(4,0)，△EDK≌△DFH，EK=DH，
设点E的坐标为(m,m+4)(−4≤m≤4)，
∴EK=m+4，
∴DH=m+4，
∴点H的坐标为：(m+8,0)，
∴点F的坐标为：(m+8,−m+4)，
把x=0代入y=−x+12代入得：y=12，
∴G(0,12)，
∴EG2=m2+(m−8)2，
FG2=(m+8)2+(−m−8)2=2(m+8)2，
EF2=(m−m−8)2+(−m+4−m−4)2=64+4m2，
当EG2=FG2时，m2+(m−8)2=2(m+8)2，
解得：m=−43，
∴E(−43,83)；
当EG2=EF2时，m2+(m−8)2=64+4m2，
解得：m=0或m=−8(舍去)；
∴E(0,4)；
当FG2=EF2时，2(m+8)2=64+4m2，
解得：m=8+4 6(舍去)或m=8−4 6，
∴E(8−4 6,12−4 6)；
综上分析可知，点E的坐标为：(−43,83)或(0,4)或E(8−4 6,12−4 6)．
【解析】(1)分别求出A、B、C三点坐标以及AC、AB、BC的长，即可得出△ABC的形状；
(2)连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，证明△EMD≌△FND，得出DE=DF，证明△EDK≌△DFH，得出EK=DH，求出E(−1,3)，F(7,5)，得出EF= (−1−7)2+(5−3)2=2 17，说明要使△PEF周长最小，即只需时EP+PF最小，作点E关于x轴的对称点E′(−1,−3)，连接E′F，交x轴于点P，连接PE，求出E′F的解析式为y=x−2，求出P(2,0)即可；
(3)连接CD，过点D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，过点E作EK⊥AB于点K，过点F作FH⊥AB于点H，设点E的坐标为(m,m+4)(−4≤m≤4)，点H的坐标为：(m+8,0)，求出点F的坐标为：(m+8,−m+4)，得出EG2=m2+(m−8)2，FG2=(m+8)2+(−m−8)2=2(m+8)2，EF2=(m−m−8)2+(−m+4−m−4)2=64+4m2，分三种情况：当EG2=FG2时，当EG2=EF2时，m2+(m−8)2=64+4m2，当FG2=EF2时，列方程求解即可．
本题是一次函数的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，两点间距离公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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