湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

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命题学校：武汉市蔡甸区实验高级中学
考试时间：2024年 4月18日试卷满分：150分
一、单选题（每题5分，共8个小题）
1．下列命题正确的是（ ）
A．若a、b都是单位向量，则a=b
B．若AB=DC，则四点A、B、C、D构成平行四边形
C．AB与BA是两平行向量
D．若b=−2aa≠0，则a是b的相反向量
2．tan225∘的值为（ ）
A．22B．−1C．−22D．1
3．如图，把7m长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足3m的地面上，另一端在沿堤向上5m的地方，棒的上端恰好可以与堤的顶端平齐，则该石堤的高（3≈1.732，结果保留两位小数）为（ ）
A．4.30mB．4.22mC．4.40mD．4.33m
4．在△ABC中，a=2，b=2，B=π6，则A=（ ）
A．π4或3π4B．π6C．π6或5π6D．π12或11π12
5． 已知函数f(x)=sinx ,x>0(23π)x ,x≤0，则f(f(−1))的值为（ ）
A．−1B．22C．−sin1D．3π2
6．已知等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=2DC=2AD=2，BC的中点为E，则BE=（ ）
A．13DB+53ACB．13DB+56AC
C．13DB+12ACD．- 13DB+16AC
7．已知△ABC的三条边a,b,c和与之对应的三个角A,B,C满足等式acsB+bcsC+ccsA=bcsA+ccsB+acsC则此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
8．将函数y=sin2x−cs2x的图象向左平移m(m>0)个单位以后得到的图象与函数y=ksinxcsx(k>0)的图象关于π3,0对称，则k+m的最小正值是( )
A．3+B．2+7π12C．2+5π12D．3+
二、多选题（每题5分，共3个小题，部分选对得部分分）
9．在下列函数中，既是偶函数又在0,1上单调递增的函数有（ ）
A．y=sinxB．y=csx
C．y=x3D．y=2x
10．已知向量m+n=(1,1)，m−n=3,3，则（ ）
A．m−n⊥nB．m−n∥n
C．|m|=2|n|D．m,n=180°
11．设函数fx=2sin2x+π3，给出下列命题，正确的是（ ）
A．若fx取得最大值，则x=B．fx的图象关于点π12,0对称
C．fx最大值与最小值之差为4D．fx的最小正周期为π
三、填空题（每题5分，共3个小题）
12．已知平面向量a、b的夹角为60°，且a为单位向量，b=1,3，则a+b= ．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝3bcs A．若a＝7，则△ABC周长的最大值为 ．
14．若f(α)=12tanα+2sinα2⋅sinα2−14sinα2⋅csα2，则f(π8)的值是 .
四、解答题（13+15+15+17+17）
15．在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=5,∠ACD=60°,sin∠ADC=155．
(1)求AC；
(2)若AC⊥BC，求BC⋅CD的值．
16．如图，已知矩形ABCD， AB=4，AD=23，点P为矩形内一点， 且|AP|=1，设∠BAP=α.
（1）当α=π3时，求PC⋅PD的值.
（2）求(PC+PD)⋅AP的最大值.
17．△ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知2b+c=2acsC且a=10.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的周长为23+10，求△ABC的面积；
(3)若b=303，求cs(2B−A)的值.
18．在△ABC中，已知AB=4，AC=3，BM=MA，AN=2NC，AB−2AC=210，BN与CM相交于P点.
(1)求AB⋅AC的值；
(2)求AP⋅BC.
19．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω<6,|φ|<π2)的最大值是4，函数f(x)的图象的一条对称轴是x=π3，一个对称中心是(7π12,0).
（1）求f(x)的解析式;
（2）已知三角形BCD中，B是锐角，且f(B2)=2，CD边长为3，求三角形BCD的面积的最大值.