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2023-2024学年浙江省金华市武义县八年级（上）期末数学试卷(含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省金华市武义县八年级（上）期末数学试卷(含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 5，6，10D. 5，5，10
3.下列说法中，能确定物体位置的是( )
A. 离小明家3千米的大楼B. 东经120°，北纬30°
C. 电影院中18座D. 北偏西35°方向
4.下列选项中，可以用来证明命题“若|a|>0，则a>0”是假命题的反例的是( )
A. a=−1B. a=0C. a=1D. a=2
5.如果xA. 2x<2yB. −2x<−2yC. x−1>y−1D. x+1>y+1
6.如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是( )
A. (−2,−3)
B. (−3,−2)
C. (2,−3)
D. (−2,3)
7.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A. AB，BC，ACB. AB，BC，∠B
C. AB，AC，∠BD. ∠A，∠B，BC
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠CB. a2=b2−c2
C. ∠A：∠B：∠C=1：2： 5D. a=3k，b=4k，c=5k(k>0)
9.已知一次函数y=mx+2m−4在−1≤x≤2时总有y>0，则m的取值范围是( )
A. m>1B. m>4C. m<1D. m<4
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，给出下列结论：①AB=MG.②S△ABC=S△AFN.③过点B作BI⊥EH于点I，延长IB交AC于点J，则AJ=CJ.④若AB=2，则EH2+FN2=20.其中正确的结论个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.用不等式表示“a为正数”：______．
12.如图，直线AB//CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于______度．
13.若点A(−5m,2m−1)向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则m的值为______．
14.已知A(−1,y1)，B(−0.5,y2)，C(1.7,y3)，是直线y=−9x+b(b为常数)上的三个点，则y1，y2，y3中最小的是______．
15.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(图1)，后人称其为“赵爽弦图”.由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S2=12，则S1+S3的值为______．
16.甲、乙两家快递公司关于普通小件物品的收费标准如表：
设邮件的质量为xkg，甲、乙两公司的快递费分别为y甲元，y乙元.
(1)若y甲=14，则x的取值范围为______．
(2)若y甲≤y乙，则x的取值范围为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式1+x2≤2x3+1．
亮亮同学的解法如下：
解：去分母，得3+3x≤4x+1.①
移项，得3x−4x≤1−3.②
合并同类项，得−x≤−2.③
两边同除以−1，得x≥2.④
找出亮亮同学解答中错误的步骤，并写出正确的解答过程．
18.(本小题6分)
如图，已知AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，延长DC至点E使得AE=AD，连结AE．
(1)若∠BAC=56°，求∠EAC的度数．
(2)若AB=2，BD=1，求△ACE的周长．
19.(本小题6分)
如图，一次函数y1=kx+b的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B，与正比例函数y2=x的图象交于点C，且点C的横坐标为2．
(1)求一次函数y1=kx+b的表达式．
(2)观察图象，请直接写出满足y1>y2时x的取值范围．
20.(本小题8分)
如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，己知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A−B−C−D−E−A顺序解锁.请利用你所学的数学知识解决下列问题．
(1)判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
(2)设AE，BC交于点F，求AF的长．
21.(本小题8分)
如图是由边长为1的正方形构成的网格，点A，B，C均在格点上，按要求完成作图并答题．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△DEF．
(2)求△ABC的面积．
(3)在y轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，求出点P的坐标．
22.(本小题10分)
某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
23.(本小题10分)
【问题呈现】如图1，在四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°.作一个等边三角形，使它的顶点落在四边形ABCD的边上，其中至少有一个顶点与四边形的顶点重合．
【操作探究】
(1)如图2，小安仅用无刻度的直尺和圆规作图，步骤如下：
①分别以A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AB于点E．
②以点E为圆心，AE的长为半径画弧交AD于点F
③连结BF，EF．
求证：△BEF是等边三角形．
(2)用不同于小安的作图方法在图1中作一个等边三角形，其中一个顶点为D(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)⋅
(3)如图3，若CD=3，AB=9，求等边三角形CPQ的边长．
24.(本小题12分)
已知直线l的函数表达式为y=2x+b(b为常数)，点A(4,0)，点B(2,1)，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC，连结BC，将△ABC沿直线l翻折，得△DEF，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．
(1)求点C的坐标．
(2)当点F在y轴上时，求b的值．
(3)当△DEF与y轴有交点时，求b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.3+4<8，不能组成三角形，不符合题意；
B.5+6=11，不能组成三角形，不符合题意；
C.5+6>10，能组成三角形，符合题意；
D.5+5=10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
三角形的三条边必须满足：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边．
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和>最大的数就可以．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
离小明家3千米的大楼，可以在一个圆上，不固定，故A不符合题意，
东经120°，北纬30°，能确定位置，故B符合题意，
电影院中18座，没说明哪行的，不固定，故C不符合题意，
北偏西35°方向没说明长度及观测点，不固定，故D不符合题意，
故选：B．
根据坐标的定义逐个判断即可得到答案．
本题考查根据坐标确定物体位置，熟练掌握坐标的确定是关键．
4.【答案】A
【解析】解：结论：“若|a|>0，则a>0”是假命题，
理由：当a=−1时，|a|>0，但是a<0，
故选：A．
根据绝对值的意义判断即可；
本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，属于中考基础题．
5.【答案】A
【解析】A.因为xB.因为x−2y，故本选项不符合题意；
C.因为xD.因为x故选：A．
利用不等式的性质分析判断．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且点在第三象限，
∴y=−3，x=−2，
∴这个点的坐标是：(−2,−3)，
故选：A．
根据平面内点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y轴距离等于横坐标绝对值求解即可得到答案．
本题考查平面内点到坐标轴的距离，熟练掌握各象限点的坐标特征是关键．
7.【答案】C
【解析】解：A.利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B.利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C.AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D.根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：当∠A+∠B=∠C时，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，解得：∠C=90°，故A能判断直角三角形，不符合题意，
当∠A：∠B：∠C=1：2： 5时，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+ 5∠A=180°，解得：∠A=180°3+ 5≠90°，∠B=360°3+ 5≠90°，∠C= 5×180°3+ 5≠90°，故C不能判断直角三角形，符合题意，
当a2=b2−c2，
a2+c2=b2
∴∠B=90°，故B能判断直角三角形，不符合题意，
当a=3k，b=4k，c=5k时，
a2+b2=9k2+16k2=25k2=c2，
∴∠C=90°，故D能判断直角三角形，不符合题意，
故选：C．
根据角度关系及内角列式求解即可判断AC，根据勾股定理逆定理即可判断BD，即可得到答案．
本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由一次函数的定义可知，m≠0，
①当m>0时，y随x的增大而增大，
则在−1≤x≤2内，当x=−1时，y取得最小值，最小值为−m+2m−4=m−4，
要使在−1≤x≤2时的函数值总是正的，
则m−4>0，解得m>4，符合题设；
②当m<0时，y随的增大而减小，
则在−1≤x≤2内，当x=2时，y取得最小值，最小值为4m−4，
要使在时的函数值总是正的，
则4m−4>0，
解得m>1，不符合题设，舍去；
综上，的取值范围是m>4，
故选：B．
分两种情况：①m>0和②m<0，利用一次函数的性质求解即可得．
本题考查了一次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，
∴AC=MC，BC=GC，∠MCA=∠GCB=90°
∵∠ACB=90°
∴∠MCG=∠ACB=90°
∴△ACB≌△MCG(SAS)
∴AB=MG，故①正确；
如图所示，过点F作FO⊥NA交NA延长线于点O，
∵∠FAO+∠BAO=∠CAB+∠BAO=90°
∴∠FAO=∠CAB
又∵∠O=∠ACB=90°，AF=AB
∴△AFO≌△ABC(AAS)
∴OF=BC
∵AN=AC
∵S△ANB=12AN⋅OF，S△ACB=12AC⋅BC
∴S△ABC=S△AFN，故②正确；
如图所示，过点A作AP⊥BJ交BJ的延长线于点P，过点C作CQ⊥BJ
∵∠ABP+∠BEI=90°，∠EBI+∠BEI=90°
∴∠ABP=∠BEI
又∵∠P=∠BIE=90°，AB=BE
∴△ABP≌△BEI(AAS)
∴AP=BI
同理可证，△BCQ≌△HBI(AAS)
∴CQ=BI
∴CQ=AP
∵∠P=∠CQJ=90°，∠AJP=∠CJQ
∴△AJP≌△CJQ(AAS)
∴AJ=CJ，故③正确；
∵△ABP≌△BEI(AAS)
∴BP=EI
∵△BCQ≌△HBI(AAS)
∴BQ=HI
∵△AJP≌△CJQ(AAS)
∴PJ=QJ
∵EH=EI+HI=PB+BQ=PJ+QJ+BQ+BQ=2BJ
∵AJ=CJ
∴BJ2=CJ2+BC2=14AC2+BC2
∴EH2=(2BJ)2=4BJ2=4(14AC2+BC2)=AC2+4BC2
同理可证，NF2=4AC2+BC2
∴EH2+NF2=AC2+4BC2+4AC2+BC2=5(AC2+BC2)=5AB2=5×22=20，故④正确．
综上所述，正确的结论个数是4．
故选：D．
首先根据题意证明出△ACB≌△MCG(SAS)，进而得到AB=MG，即可判断①；过点F作FO⊥NA交NA延长线于点O，证明出△AFO≌△ABC(AAS)，得到OF=BC，然后利用三角形面积公式即可得到S△ABC=S△AFN，即可判断②；过点A作AP⊥BJ交BJ的延长线于点P，过点C作CQ⊥BJ，证明出△ABP≌△BEI(AAS)，得到AP=BI，同理得到CQ=BI，得到CQ=AP，然后证明出△AJP≌△CJQ(AAS)，得到AJ=CJ，即可判断③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理证明出EH2=AC2+4BC2，同理得到NF2=4AC2+BC2，然后得到EH2+NF2=5AB2=20，即可判断④．
本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
11.【答案】a>0
【解析】解：∵a为正数，
∴a>0，
故答案为：a>0．
根据大于0的数是正数直接列即可得到答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解正数的定义是解题的关键．
12.【答案】30
【解析】解：如图，过E作EF//CD，
∵AB//CD，
∴EF//CD//AB，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∵∠AEC=∠AEF−∠CEF，∠A=70°，∠C=40°，
∴∠AEC=∠AEF−∠CEF=∠A−∠C=70°−40°=30°．
故答案为：30．
先过E作EF//CD，从而得到EF//CD//AB，再根据平行线的性质求出各角之间的关系，即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：∵点A(−5m,2m−1)向上平移3个单位，
∴点A1(−5m,2m−1+3)向上平移3个单位，
∵点A1(−5m,2m−1+3)在x轴上，
∴2m−1+3=0，解得：m=−1，
故答案为：−1．
先平移点，再根据x轴上点纵坐标为0列式求解即可得到答案．
本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】y3
【解析】解：∵k=−9<0，
∴y随x增大而减小，
∵A(−1,y1)，B(−0.5,y2)，C(1.7,y3)，−1<−0.5<1.7，
∴y1>y2>y3，
故答案为：y3．
根据y=kx+b当k<0时y随x增大而减小判断即可得到答案；
本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】24
【解析】解：∵S2=12，
∴S1−4S△=S3+4S△=12，
∴S1+S3=12+12=24，
故答案为：24．
根据面积加减关系求解减即可得到答案；
本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】4 x≥3
【解析】解：(1)由题意可得，
y甲=8(0当y甲=14时，2x+6=14，
解得：x=4，
故答案为：4，
(2)当y甲≤y乙时，
2x+6≤3x+3，解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
先根据表格列出解析式，令y甲=14解出答空1答案，在根据y甲≤y乙列不等式求解即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
17.【答案】解：第①步错，
去分母得，3+3x≤4x+6，
移项得，3x−4x≤6−3，
合并同类项得，−x≤3，
两边同除以−1得，x≥−3．
【解析】根据不等式的性质求解即可得到答案．
本题考查解不等式找错及解不等式，熟练掌握解不等式是关键．
18.【答案】解：(1)∵∠BAC=56°，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=28°，
∵AE=AD，DE⊥AC，
∴∠EAC=∠DAC=28°；
(2)解：AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵DB⊥AB，DC⊥AC，
∴∠B=∠ACD=90°，
又∵AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(AAS)，
∴AC=AB=2，CD=BD=1，
∵AE=AD，DE⊥AC，
∴CE=CD=1，
∴在Rt△ACE中，AE= AC2+CE2= 22+12= 5，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE=2+1+ 5=3+ 5．
【解析】(1)根据角平分线定义求出∠DAC，再根据三线合一得出答案；
(2)证明△BAD≌△CAD(AAS)，可得AC=AB=2，CD=BD=1，根据三线合一求出CE=CD=1，再利用勾股定理求出AE即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是关键．
19.【答案】解：(1)∵点C的横坐标为2，
∴y2=2，
∴C(2,2)，
将C(2,2)，A(1,0)代入y1=kx+b得，
k+b=02k+b=2，
解得：k=2b=−2，
∴y1=2x−2；
(2)由图象可得，
在x=2的右边y1的图象在y2图象的上方，
∴x>2时足y1>y2．
【解析】(1)将x=2代入y2=x求出点C的坐标，将A，C代入y1=kx+b求解即可得到答案；
(2)根据函数图象在下方的小在上方的大即可得到答案；
本题考查求一次函数解析式，根据函数图象求不等式，熟练掌握一次函数与不等式的关系是关键．
20.【答案】解：(1)AE⊥BC，理由如下，
连接AC，由图可得，
BC= 22+12= 5，AE= 22+12= 5，
∴BC=AE，
在△ACB与△DEA中，
∵BC=AEAC=DEAB=DA，
△ACB≌△DEA(SSS)，
∴∠ACB=∠DEA，
∵∠EAD+∠DEA=90°，
∴∠EAD+∠ACB=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥BC；
(2)由(1)得，
∵AE⊥BC，
∴12AC⋅AB=12BC⋅AF，
∴AF=AC⋅ABBC=1×2 5=25 5．
【解析】(1)根据勾股定理直接证明相等，结合边边边判定得到△ACB≌△DFA即可得到证明垂直；
(2)根据面积列等式求解即可得到答案．
本题考查勾股定理及三角形全等的判定与性质，等面积法求线段长，正确记忆相关知识点是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵对应点连线被对称轴垂直平分，
∴△DEF如图所示，
(2)：由题意可得，
S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=72；
(3)由题意可得，如图2，
连接DB交y轴于一点即为P点，设直线DB的解析式为：y=kx+b，将B(2,5)，D(−1,2)代入得，
2k+b=5−k+b=2，
解得：k=1b=3，
∴y=x+3，
当x=0时，
y=0+3=3，
∴P(0,3)．
【解析】(1)根据对应点连线被对称轴垂直平分直接画即可得到答案；
(2)利用割补法求解即可得到答案；
(3)找到最小距离和点，设直线DB的解析式为：y=kx+b，将B(2,5)，D(−1,2)坐标代入解出解析式，令x=0即可得到点P的坐标．
本题考查作图−轴对称变换，勾股定理，轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意可得：9x+6y=6158x+12y=780,
解得x=45y=35,
答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元；
(2)由题意可得，
W=45a+35(30−a)=10a+1050，
∴W随a的增大而增大，
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，
∴a≥30−a+5a≤2(30−a)，
解得17.5≤a≤20，
∵a为整数，
∴当a=18时，W取得最小值，此时W=1230，30−a=12，
答：购买甲消毒液18桶，乙消毒液12桶时，才能使总费用W最少，最少费用是1230元．
【解析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
(1)根据购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据题意，可以写出W与a的函数关系式，根据甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到W的最小值．
23.【答案】(1)证明：∵以点E为圆心，AE的长为半径画弧交AD于点F，
∴AE=EF，
∴∠A=∠EFA=30°，
∴∠BEF=60°，
由题意知MN垂直平分AB，则AE=EF=BE，
∴△BEF是等边三角形．
(2)解：如图，△DNQ为等边三角形；
(3)解：延长AD与BC交于点E，如图，
则∠CDE=90°，
∵在四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，
∴DCB=150°，
则∠DCE=30°，
∴△ABE∽CDE，
∴ABCD=BEDE，
∵CD=3，AB=9，
∴DE= 3，CE=2 3，
∴93=BE 3，解得BE=3 3，
则BC=BE−EC= 3，
∵三角形CPQ为等边三角形，
∴∠DCP+∠BCQ=90°，CQ=CP，
∵∠DCP+∠CPD=90°，
∴∠BCQ=∠DPC，
∵∠B=∠CDP=90°
∴△BCQ≌△DPC(AAS)，
∴BQ=DC=3，
在Rt△CBQ中，CQ= BC2+BQ2=2 3，
故等边三角形CPQ的边长2 3．
【解析】(1)根据题意得AE=EF，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理求得∠BEF=60°，结合垂直平分可得AE=EF=BE即可判定为等边三角形；
(2)过点D作AB的垂线，交于点N，以点D为圆心DN为半径画弧交AD于点Q，则△DNQ为等边三角形；
(3)延长AD与BC交于点E，得到∠DCE=30°和∠CDE=90°，可证△ABE∽CDE，有ABCD=BEDE，由已知可求得DE和CE，即可求得BE和BC，进一步证得△BCQ≌△DPC，有BQ=DC，利用勾股定理即可求得CQ．
本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉等边三角形的判定和全等三角形的判定．
24.【答案】解：(1)过B作BG⊥OA，过C作CH⊥OA，
∵AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAG+∠CAH=90°，
∵BG⊥OA，CH⊥OA，
∴∠BGA=∠CHA=90°，∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠CAH，
在△ABG与△CAH中，
∠ABG=∠CAH∠AGB=∠AHCAB=AC，
∴△ABG≌△CAH(AAS)，
∴AG=CH，BG=AH，
∵A(4,0)，B(2,1)，
∴OH=OA+AH=4+1=5，CH=AG=OA−OG=4−2=2，
∴C(5,2)；
(2)∵点F在y轴上，
∴设点F(0,m)，
∵△ABC沿直线l翻折，得△DEF，
∴点(0+52,m+22)在y=2x+b上，且KF=KC，
∴m+22=2×52+b，
解得：m=8+2b，
当x=0时，y=b，
∴K(0,b)，
∴m−b=8+b= (5−0)2+(2−b)2
解得：b=−74；
(3)∵△DEF与y轴有交点，
，
∴当点E在y轴上时，设点E(0,n)，
∵△ABC沿直线l翻折，得△DEF，
∴点(0+22,n+12)在y=2x+b上，且KE=KB，
∴n+12=2×1+b，
解得：n=3+2b，
∴n−b=3+b= (2−0)2+(1−b)2，
解得：b=−12，
当点D在y轴上时，设点D(0,q)，
∵△ABC沿直线l翻折，得△DEF，
∴点(0+42,q+02)在y=2x+b上，且KD=KA，
∴q2=2×2+b，
解得：q=8+2b，
∴q−b=8+b= (4−0)2+(0−b)2，
解得：q=−3，
∴−3≤b≤−12．
【解析】(1)过B作BG⊥OA，过C作CH⊥OA，根据旋转得到AB=AC，证明△ABG≌△CAH即可得到答案；
(2)设点F(0,m)根据轴对称的性质对称轴垂直平分对应点的连线，得到中点在直线上，用b表示出m，结合折叠相等列式求解即可得到答案；
(3)分别表示出E，D的坐标，结合有交点列不等式组求解即可得到答案．
本题考查旋转的性质与全等三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键．1kg及以内
超过1kg的部分
甲
8元
2元/kg(不足1kg按1kg计)
乙
6元
3元/kg
1.下列图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 5，6，10D. 5，5，10
3.下列说法中，能确定物体位置的是( )
A. 离小明家3千米的大楼B. 东经120°，北纬30°
C. 电影院中18座D. 北偏西35°方向
4.下列选项中，可以用来证明命题“若|a|>0，则a>0”是假命题的反例的是( )
A. a=−1B. a=0C. a=1D. a=2
5.如果x
6.如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是( )
A. (−2,−3)
B. (−3,−2)
C. (2,−3)
D. (−2,3)
7.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A. AB，BC，ACB. AB，BC，∠B
C. AB，AC，∠BD. ∠A，∠B，BC
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠CB. a2=b2−c2
C. ∠A：∠B：∠C=1：2： 5D. a=3k，b=4k，c=5k(k>0)
9.已知一次函数y=mx+2m−4在−1≤x≤2时总有y>0，则m的取值范围是( )
A. m>1B. m>4C. m<1D. m<4
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，给出下列结论：①AB=MG.②S△ABC=S△AFN.③过点B作BI⊥EH于点I，延长IB交AC于点J，则AJ=CJ.④若AB=2，则EH2+FN2=20.其中正确的结论个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.用不等式表示“a为正数”：______．
12.如图，直线AB//CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于______度．
13.若点A(−5m,2m−1)向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则m的值为______．
14.已知A(−1,y1)，B(−0.5,y2)，C(1.7,y3)，是直线y=−9x+b(b为常数)上的三个点，则y1，y2，y3中最小的是______．
15.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(图1)，后人称其为“赵爽弦图”.由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S2=12，则S1+S3的值为______．
16.甲、乙两家快递公司关于普通小件物品的收费标准如表：
设邮件的质量为xkg，甲、乙两公司的快递费分别为y甲元，y乙元.
(1)若y甲=14，则x的取值范围为______．
(2)若y甲≤y乙，则x的取值范围为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式1+x2≤2x3+1．
亮亮同学的解法如下：
解：去分母，得3+3x≤4x+1.①
移项，得3x−4x≤1−3.②
合并同类项，得−x≤−2.③
两边同除以−1，得x≥2.④
找出亮亮同学解答中错误的步骤，并写出正确的解答过程．
18.(本小题6分)
如图，已知AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，延长DC至点E使得AE=AD，连结AE．
(1)若∠BAC=56°，求∠EAC的度数．
(2)若AB=2，BD=1，求△ACE的周长．
19.(本小题6分)
如图，一次函数y1=kx+b的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B，与正比例函数y2=x的图象交于点C，且点C的横坐标为2．
(1)求一次函数y1=kx+b的表达式．
(2)观察图象，请直接写出满足y1>y2时x的取值范围．
20.(本小题8分)
如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，己知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A−B−C−D−E−A顺序解锁.请利用你所学的数学知识解决下列问题．
(1)判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
(2)设AE，BC交于点F，求AF的长．
21.(本小题8分)
如图是由边长为1的正方形构成的网格，点A，B，C均在格点上，按要求完成作图并答题．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△DEF．
(2)求△ABC的面积．
(3)在y轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，求出点P的坐标．
22.(本小题10分)
某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
23.(本小题10分)
【问题呈现】如图1，在四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°.作一个等边三角形，使它的顶点落在四边形ABCD的边上，其中至少有一个顶点与四边形的顶点重合．
【操作探究】
(1)如图2，小安仅用无刻度的直尺和圆规作图，步骤如下：
①分别以A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AB于点E．
②以点E为圆心，AE的长为半径画弧交AD于点F
③连结BF，EF．
求证：△BEF是等边三角形．
(2)用不同于小安的作图方法在图1中作一个等边三角形，其中一个顶点为D(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)⋅
(3)如图3，若CD=3，AB=9，求等边三角形CPQ的边长．
24.(本小题12分)
已知直线l的函数表达式为y=2x+b(b为常数)，点A(4,0)，点B(2,1)，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC，连结BC，将△ABC沿直线l翻折，得△DEF，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．
(1)求点C的坐标．
(2)当点F在y轴上时，求b的值．
(3)当△DEF与y轴有交点时，求b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.3+4<8，不能组成三角形，不符合题意；
B.5+6=11，不能组成三角形，不符合题意；
C.5+6>10，能组成三角形，符合题意；
D.5+5=10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
三角形的三条边必须满足：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边．
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和>最大的数就可以．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
离小明家3千米的大楼，可以在一个圆上，不固定，故A不符合题意，
东经120°，北纬30°，能确定位置，故B符合题意，
电影院中18座，没说明哪行的，不固定，故C不符合题意，
北偏西35°方向没说明长度及观测点，不固定，故D不符合题意，
故选：B．
根据坐标的定义逐个判断即可得到答案．
本题考查根据坐标确定物体位置，熟练掌握坐标的确定是关键．
4.【答案】A
【解析】解：结论：“若|a|>0，则a>0”是假命题，
理由：当a=−1时，|a|>0，但是a<0，
故选：A．
根据绝对值的意义判断即可；
本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，属于中考基础题．
5.【答案】A
【解析】A.因为x
C.因为x
利用不等式的性质分析判断．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且点在第三象限，
∴y=−3，x=−2，
∴这个点的坐标是：(−2,−3)，
故选：A．
根据平面内点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y轴距离等于横坐标绝对值求解即可得到答案．
本题考查平面内点到坐标轴的距离，熟练掌握各象限点的坐标特征是关键．
7.【答案】C
【解析】解：A.利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B.利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C.AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D.根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：当∠A+∠B=∠C时，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，解得：∠C=90°，故A能判断直角三角形，不符合题意，
当∠A：∠B：∠C=1：2： 5时，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+ 5∠A=180°，解得：∠A=180°3+ 5≠90°，∠B=360°3+ 5≠90°，∠C= 5×180°3+ 5≠90°，故C不能判断直角三角形，符合题意，
当a2=b2−c2，
a2+c2=b2
∴∠B=90°，故B能判断直角三角形，不符合题意，
当a=3k，b=4k，c=5k时，
a2+b2=9k2+16k2=25k2=c2，
∴∠C=90°，故D能判断直角三角形，不符合题意，
故选：C．
根据角度关系及内角列式求解即可判断AC，根据勾股定理逆定理即可判断BD，即可得到答案．
本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由一次函数的定义可知，m≠0，
①当m>0时，y随x的增大而增大，
则在−1≤x≤2内，当x=−1时，y取得最小值，最小值为−m+2m−4=m−4，
要使在−1≤x≤2时的函数值总是正的，
则m−4>0，解得m>4，符合题设；
②当m<0时，y随的增大而减小，
则在−1≤x≤2内，当x=2时，y取得最小值，最小值为4m−4，
要使在时的函数值总是正的，
则4m−4>0，
解得m>1，不符合题设，舍去；
综上，的取值范围是m>4，
故选：B．
分两种情况：①m>0和②m<0，利用一次函数的性质求解即可得．
本题考查了一次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，
∴AC=MC，BC=GC，∠MCA=∠GCB=90°
∵∠ACB=90°
∴∠MCG=∠ACB=90°
∴△ACB≌△MCG(SAS)
∴AB=MG，故①正确；
如图所示，过点F作FO⊥NA交NA延长线于点O，
∵∠FAO+∠BAO=∠CAB+∠BAO=90°
∴∠FAO=∠CAB
又∵∠O=∠ACB=90°，AF=AB
∴△AFO≌△ABC(AAS)
∴OF=BC
∵AN=AC
∵S△ANB=12AN⋅OF，S△ACB=12AC⋅BC
∴S△ABC=S△AFN，故②正确；
如图所示，过点A作AP⊥BJ交BJ的延长线于点P，过点C作CQ⊥BJ
∵∠ABP+∠BEI=90°，∠EBI+∠BEI=90°
∴∠ABP=∠BEI
又∵∠P=∠BIE=90°，AB=BE
∴△ABP≌△BEI(AAS)
∴AP=BI
同理可证，△BCQ≌△HBI(AAS)
∴CQ=BI
∴CQ=AP
∵∠P=∠CQJ=90°，∠AJP=∠CJQ
∴△AJP≌△CJQ(AAS)
∴AJ=CJ，故③正确；
∵△ABP≌△BEI(AAS)
∴BP=EI
∵△BCQ≌△HBI(AAS)
∴BQ=HI
∵△AJP≌△CJQ(AAS)
∴PJ=QJ
∵EH=EI+HI=PB+BQ=PJ+QJ+BQ+BQ=2BJ
∵AJ=CJ
∴BJ2=CJ2+BC2=14AC2+BC2
∴EH2=(2BJ)2=4BJ2=4(14AC2+BC2)=AC2+4BC2
同理可证，NF2=4AC2+BC2
∴EH2+NF2=AC2+4BC2+4AC2+BC2=5(AC2+BC2)=5AB2=5×22=20，故④正确．
综上所述，正确的结论个数是4．
故选：D．
首先根据题意证明出△ACB≌△MCG(SAS)，进而得到AB=MG，即可判断①；过点F作FO⊥NA交NA延长线于点O，证明出△AFO≌△ABC(AAS)，得到OF=BC，然后利用三角形面积公式即可得到S△ABC=S△AFN，即可判断②；过点A作AP⊥BJ交BJ的延长线于点P，过点C作CQ⊥BJ，证明出△ABP≌△BEI(AAS)，得到AP=BI，同理得到CQ=BI，得到CQ=AP，然后证明出△AJP≌△CJQ(AAS)，得到AJ=CJ，即可判断③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理证明出EH2=AC2+4BC2，同理得到NF2=4AC2+BC2，然后得到EH2+NF2=5AB2=20，即可判断④．
本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
11.【答案】a>0
【解析】解：∵a为正数，
∴a>0，
故答案为：a>0．
根据大于0的数是正数直接列即可得到答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解正数的定义是解题的关键．
12.【答案】30
【解析】解：如图，过E作EF//CD，
∵AB//CD，
∴EF//CD//AB，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∵∠AEC=∠AEF−∠CEF，∠A=70°，∠C=40°，
∴∠AEC=∠AEF−∠CEF=∠A−∠C=70°−40°=30°．
故答案为：30．
先过E作EF//CD，从而得到EF//CD//AB，再根据平行线的性质求出各角之间的关系，即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：∵点A(−5m,2m−1)向上平移3个单位，
∴点A1(−5m,2m−1+3)向上平移3个单位，
∵点A1(−5m,2m−1+3)在x轴上，
∴2m−1+3=0，解得：m=−1，
故答案为：−1．
先平移点，再根据x轴上点纵坐标为0列式求解即可得到答案．
本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】y3
【解析】解：∵k=−9<0，
∴y随x增大而减小，
∵A(−1,y1)，B(−0.5,y2)，C(1.7,y3)，−1<−0.5<1.7，
∴y1>y2>y3，
故答案为：y3．
根据y=kx+b当k<0时y随x增大而减小判断即可得到答案；
本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】24
【解析】解：∵S2=12，
∴S1−4S△=S3+4S△=12，
∴S1+S3=12+12=24，
故答案为：24．
根据面积加减关系求解减即可得到答案；
本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】4 x≥3
【解析】解：(1)由题意可得，
y甲=8(0
解得：x=4，
故答案为：4，
(2)当y甲≤y乙时，
2x+6≤3x+3，解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
先根据表格列出解析式，令y甲=14解出答空1答案，在根据y甲≤y乙列不等式求解即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
17.【答案】解：第①步错，
去分母得，3+3x≤4x+6，
移项得，3x−4x≤6−3，
合并同类项得，−x≤3，
两边同除以−1得，x≥−3．
【解析】根据不等式的性质求解即可得到答案．
本题考查解不等式找错及解不等式，熟练掌握解不等式是关键．
18.【答案】解：(1)∵∠BAC=56°，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=28°，
∵AE=AD，DE⊥AC，
∴∠EAC=∠DAC=28°；
(2)解：AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵DB⊥AB，DC⊥AC，
∴∠B=∠ACD=90°，
又∵AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(AAS)，
∴AC=AB=2，CD=BD=1，
∵AE=AD，DE⊥AC，
∴CE=CD=1，
∴在Rt△ACE中，AE= AC2+CE2= 22+12= 5，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE=2+1+ 5=3+ 5．
【解析】(1)根据角平分线定义求出∠DAC，再根据三线合一得出答案；
(2)证明△BAD≌△CAD(AAS)，可得AC=AB=2，CD=BD=1，根据三线合一求出CE=CD=1，再利用勾股定理求出AE即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是关键．
19.【答案】解：(1)∵点C的横坐标为2，
∴y2=2，
∴C(2,2)，
将C(2,2)，A(1,0)代入y1=kx+b得，
k+b=02k+b=2，
解得：k=2b=−2，
∴y1=2x−2；
(2)由图象可得，
在x=2的右边y1的图象在y2图象的上方，
∴x>2时足y1>y2．
【解析】(1)将x=2代入y2=x求出点C的坐标，将A，C代入y1=kx+b求解即可得到答案；
(2)根据函数图象在下方的小在上方的大即可得到答案；
本题考查求一次函数解析式，根据函数图象求不等式，熟练掌握一次函数与不等式的关系是关键．
20.【答案】解：(1)AE⊥BC，理由如下，
连接AC，由图可得，
BC= 22+12= 5，AE= 22+12= 5，
∴BC=AE，
在△ACB与△DEA中，
∵BC=AEAC=DEAB=DA，
△ACB≌△DEA(SSS)，
∴∠ACB=∠DEA，
∵∠EAD+∠DEA=90°，
∴∠EAD+∠ACB=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥BC；
(2)由(1)得，
∵AE⊥BC，
∴12AC⋅AB=12BC⋅AF，
∴AF=AC⋅ABBC=1×2 5=25 5．
【解析】(1)根据勾股定理直接证明相等，结合边边边判定得到△ACB≌△DFA即可得到证明垂直；
(2)根据面积列等式求解即可得到答案．
本题考查勾股定理及三角形全等的判定与性质，等面积法求线段长，正确记忆相关知识点是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵对应点连线被对称轴垂直平分，
∴△DEF如图所示，
(2)：由题意可得，
S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=72；
(3)由题意可得，如图2，
连接DB交y轴于一点即为P点，设直线DB的解析式为：y=kx+b，将B(2,5)，D(−1,2)代入得，
2k+b=5−k+b=2，
解得：k=1b=3，
∴y=x+3，
当x=0时，
y=0+3=3，
∴P(0,3)．
【解析】(1)根据对应点连线被对称轴垂直平分直接画即可得到答案；
(2)利用割补法求解即可得到答案；
(3)找到最小距离和点，设直线DB的解析式为：y=kx+b，将B(2,5)，D(−1,2)坐标代入解出解析式，令x=0即可得到点P的坐标．
本题考查作图−轴对称变换，勾股定理，轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意可得：9x+6y=6158x+12y=780,
解得x=45y=35,
答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元；
(2)由题意可得，
W=45a+35(30−a)=10a+1050，
∴W随a的增大而增大，
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，
∴a≥30−a+5a≤2(30−a)，
解得17.5≤a≤20，
∵a为整数，
∴当a=18时，W取得最小值，此时W=1230，30−a=12，
答：购买甲消毒液18桶，乙消毒液12桶时，才能使总费用W最少，最少费用是1230元．
【解析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
(1)根据购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据题意，可以写出W与a的函数关系式，根据甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到W的最小值．
23.【答案】(1)证明：∵以点E为圆心，AE的长为半径画弧交AD于点F，
∴AE=EF，
∴∠A=∠EFA=30°，
∴∠BEF=60°，
由题意知MN垂直平分AB，则AE=EF=BE，
∴△BEF是等边三角形．
(2)解：如图，△DNQ为等边三角形；
(3)解：延长AD与BC交于点E，如图，
则∠CDE=90°，
∵在四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，
∴DCB=150°，
则∠DCE=30°，
∴△ABE∽CDE，
∴ABCD=BEDE，
∵CD=3，AB=9，
∴DE= 3，CE=2 3，
∴93=BE 3，解得BE=3 3，
则BC=BE−EC= 3，
∵三角形CPQ为等边三角形，
∴∠DCP+∠BCQ=90°，CQ=CP，
∵∠DCP+∠CPD=90°，
∴∠BCQ=∠DPC，
∵∠B=∠CDP=90°
∴△BCQ≌△DPC(AAS)，
∴BQ=DC=3，
在Rt△CBQ中，CQ= BC2+BQ2=2 3，
故等边三角形CPQ的边长2 3．
【解析】(1)根据题意得AE=EF，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理求得∠BEF=60°，结合垂直平分可得AE=EF=BE即可判定为等边三角形；
(2)过点D作AB的垂线，交于点N，以点D为圆心DN为半径画弧交AD于点Q，则△DNQ为等边三角形；
(3)延长AD与BC交于点E，得到∠DCE=30°和∠CDE=90°，可证△ABE∽CDE，有ABCD=BEDE，由已知可求得DE和CE，即可求得BE和BC，进一步证得△BCQ≌△DPC，有BQ=DC，利用勾股定理即可求得CQ．
本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉等边三角形的判定和全等三角形的判定．
24.【答案】解：(1)过B作BG⊥OA，过C作CH⊥OA，
∵AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAG+∠CAH=90°，
∵BG⊥OA，CH⊥OA，
∴∠BGA=∠CHA=90°，∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠CAH，
在△ABG与△CAH中，
∠ABG=∠CAH∠AGB=∠AHCAB=AC，
∴△ABG≌△CAH(AAS)，
∴AG=CH，BG=AH，
∵A(4,0)，B(2,1)，
∴OH=OA+AH=4+1=5，CH=AG=OA−OG=4−2=2，
∴C(5,2)；
(2)∵点F在y轴上，
∴设点F(0,m)，
∵△ABC沿直线l翻折，得△DEF，
∴点(0+52,m+22)在y=2x+b上，且KF=KC，
∴m+22=2×52+b，
解得：m=8+2b，
当x=0时，y=b，
∴K(0,b)，
∴m−b=8+b= (5−0)2+(2−b)2
解得：b=−74；
(3)∵△DEF与y轴有交点，
，
∴当点E在y轴上时，设点E(0,n)，
∵△ABC沿直线l翻折，得△DEF，
∴点(0+22,n+12)在y=2x+b上，且KE=KB，
∴n+12=2×1+b，
解得：n=3+2b，
∴n−b=3+b= (2−0)2+(1−b)2，
解得：b=−12，
当点D在y轴上时，设点D(0,q)，
∵△ABC沿直线l翻折，得△DEF，
∴点(0+42,q+02)在y=2x+b上，且KD=KA，
∴q2=2×2+b，
解得：q=8+2b，
∴q−b=8+b= (4−0)2+(0−b)2，
解得：q=−3，
∴−3≤b≤−12．
【解析】(1)过B作BG⊥OA，过C作CH⊥OA，根据旋转得到AB=AC，证明△ABG≌△CAH即可得到答案；
(2)设点F(0,m)根据轴对称的性质对称轴垂直平分对应点的连线，得到中点在直线上，用b表示出m，结合折叠相等列式求解即可得到答案；
(3)分别表示出E，D的坐标，结合有交点列不等式组求解即可得到答案．
本题考查旋转的性质与全等三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键．1kg及以内
超过1kg的部分
甲
8元
2元/kg(不足1kg按1kg计)
乙
6元
3元/kg
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