2024年上海市青浦区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年上海市青浦区中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是( )
A. 6B. 9C. 13D. 18
2.下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4B. (2a)3=6a3
C. 4a6÷2a2=2a3D. 3a2⋅(−a3)=−3a5
3.下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是( )
A. y=x5B. y=−x5C. y=5xD. y=−5x
4.某兴趣小组有5名成员，身高(厘米)分别为：161，165，169，163，167.增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是( )
A. 平均数不变，方差不变B. 平均数不变，方差变小
C. 平均数不变，方差变大D. 平均数变小，方差不变
5.已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是( )
A. AC=BDB. ∠ABC=∠BCD
C. OB=OC，OA=ODD. OB=OC，AB=CD
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过O作AC的垂线交AD于点E，EC与BD相交于点F，且∠ECD=∠DBC，那么下列结论错误的是( )
A. EA=ECB. ∠DOC=∠DCO
C. BD=4DFD. BCCE=CDBF
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.分解因式：xy2−x2y= ______．
8.方程 2x−1=5的解是______．
9.函数f(x)=xx+1的定义域是______．
10.如果关于x的方程−x2−x+c=0有实数根，那么实数c的取值范围是______．
11.如果将抛物线y=x2+1向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是______．
12.甲、乙两位同学分别在A、B、C三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是______．
13.某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动.为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表.请根据以上信息，估计该校共有______名学生的成绩达到A等级．
成绩频数分布表
14.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为α，看这栋楼底部C的俯角为β，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼BC的高度为______米.(用含α、β、m的式子表示)
15.如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，设AB=a，FE=b，那么向量BC用向量a、b表示为______．
16.如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角∠BAC=15°，那么这个正多边形的中心角是______度.
17.正方形ABCD的边长为1，E为边DC的中点，点F在边AD上，将∠D沿直线EF翻折，使点D落在点G处，如果BG=BC，那么线段DF的长为______．
18.在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，AC与BD相交于点O.⊙A经过点B，如果⊙O与⊙A有公共点，且与边CD没有公共点，那么⊙O的半径长r的取值范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：(18)−23−(2024−π)0+ 20+4 5−3．
20.(本小题10分)
解方程组：2x+y=21①x2−2xy−3y2=0②．
21.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，AB与CD相交于点E，弦AD与弦CD相等，且BC=BD．
(1)求∠ADC的度数；
(2)如果OE=1，求AD的长．
22.(本小题10分)
某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动.现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量(指的是每辆客车最多可载该校师生的人数)和租金如下表.设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
(1)求y与x的函数解析式(不需要写定义域)；
(2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
(3)在(2)的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
23.(本小题12分)
已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是对角线AC上一点，EA=ED，且∠DAB=∠DEC=∠DCB．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)延长DE分别交线段AB、CB的延长线于点F、G，如果GB=BC，求证：AD2=2EF⋅GD．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−3的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y轴交于点C，D是线段OA上一点．
(1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标；
(2)如图，过点D作DG⊥x轴，交该抛物线于点G，当∠DGA=∠DGC时，求△GAC的面积；
(3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当OD=1，且∠DCB+∠PBC=45°时，求点P的坐标．
25.(本小题14分)
在△ABC中，AB=AC=2，以C为圆心、CB为半径的弧分别与射线BA、射线CA相交于点D、E，直线ED与射线CB相交于点F．
(1)如图，当点D在线段AB上时．
①设∠ABC=α，求∠BDF；(用含α的式子表示)
②当BF=1时，求cs∠ABC的值；
(2)如图，当点D在BA的延长线上时，点M、N分别为BC、DF的中点，联结MN，如果MN//CE，求CB的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：与 3是同类二次根式的是 13，
故选：C．
各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：a2+a2=2a2，故A错误，不符合题意；
(2a)3=8a3，故B错误，不符合题意；
4a6÷2a2=2a4，故C错误，不符合题意；
3a2⋅(−a3)=−3a5，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据整式相关运算的法则逐项判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
3.【答案】A
【解析】解：A、在y=x5中k=15>0，函数值y随自变量x的值增大而增大，符合题意；
B、在y=−x5中k=−15<0，函数值y随自变量x的值增大而减小，不符合题意；
C、在y=5x中k=5>0，在每个象限内函数值y随自变量x的值增大而减小，不符合题意；
D、在y=−5x中k=−5<0，在每个象限内函数值y随自变量x的值增大而增大，不符合题意．
故选：A．
根据一次函数，二次函数，反比例函数的增减性，逐个判定即可．
本题考查了反比例函数、一次函数及二次函数的性质，解题的关键是根据各种函数的性质确定其增减性，难度不大．
4.【答案】B
【解析】解：原数据的平均数为15×(161+165+169+163+167)=165(cm)，方差为15×[(161−165)2+(163−165)2+(165−165)2+(167−165)2+(169−165)2]=8，
新数据的平均数为16×(161+165+169+163+167+165)=165(cm)，方差为16×[(161−165)2+(163−165)2+2×(165−165)2+(167−165)2+(169−165)2]=203，
所以平均数不变，方差变小，
故选：B．
依据算术平均数和方差的定义分别计算即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义．
5.【答案】C
【解析】解：A、AC=BD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
B、∠ABC=∠BCD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；
C、∵OB=OC，OA=OD，
∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA，
在△AOB和△DOC中，
OA=OD∠AOB=∠DOCOB=OC，
∴△AOB≌△DOC(SAS)，
∴∠ABO=∠DCO，AB=CD，
同理：∠OAB=∠ODC，
∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，正确；
D、OB=OC，AB=CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误．
故选：C．
根据等腰梯形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定的应用，解此题的关键是求出AD//BC，题目的综合性较强，难度中等．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=OC，OB=OD=12BD，AD//BC．
又∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC．
∴EA=EC，A正确，故不符合要求．
∴∠DAO=∠ECA．
∵AD/​/BC，
∴∠ADO=∠DBC=∠ECD．
∴∠DOC=∠DAO+∠ADO．
又∵∠DCO=∠ECA+∠ECD，
∴∠DOC=∠DCO，B正确，故不符合要求．
CD=OD=12BD，
∵∠FCD=∠CBD，∠FDC=∠CDB，
∴△FDC∽△CDB，DFCD=CDBD，即 DF12BD=12BDBD．
∴BD=4DF，C正确，故不符合要求．
∵AD/​/BC，
∴∠BCF=∠CED．
又∵∠CBF=∠ECD，
∴△CBF∽△ECD．
∴BCCE=BFCD≠CDBF，D错误，故符合要求．
故选：D．
依据题意，由四边形ABCD是平行四边形，从而OA=OC，OB=OD=12BD，AD//BC，又OE⊥AC，故OE垂直平分AC，进而可以判断A；依据题意，可得∠DAO=∠ECA，又AD//BC，从而∠ADO=∠DBC=∠ECD，则∠DOC=∠DAO+∠ADO，结合∠DCO=∠ECA+∠ECD，故可判断B；由CD=OD=12BD，又∠FCD=∠CBD，∠FDC=∠CDB，可得△FDC∽△CDB，进而DFCD=CDBD，即 DF12BD=12BDBD，故可判断C；由AD//BC，可得∠BCF=∠CED，再由∠CBF=∠ECD，故△CBF∽△ECD，则BCCE=BFCD≠CDBF，从而可以判断D．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
7.【答案】xy(y−x)
【解析】解：xy2−x2y=xy(y−x)．
故答案为：xy(y−x)．
直接提取公因即可．
本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有直接提公因式法，公式法，十字相乘法等．
8.【答案】x=13
【解析】解： 2x−1=5，
方程两边平方，得2x−1=25，
2x=25+1，
2x=26，
x=13，
经检验x=13是原方程的解．
故答案为：x=13．
方程两边平方得出2x−1=25，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
9.【答案】x≠−1
【解析】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1，
故答案为：x≠−1．
根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
10.【答案】c≥−14
【解析】解：根据方程有实数根，得到Δ=b2−4ac=1+4c≥0，
解得：c≥−14．
∴实数c的取值范围是：c≥−14．
故答案为：c≥−14．
根据方程有实数根，得到根的判别式Δ≥0列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范围．
此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．
11.【答案】y=(x−3)2+1
【解析】解：将抛物线y=x2+1向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y=(x−3)2+1．
故答案为：y=(x−3)2+1．
根据平移的原则：左加右减，即可得出答案．
本题考查了二次函数与几何变换，掌握抛物线的平移原则：上加下减左加右减是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他们选择同一个景点的结果有3种，
∴他们选择同一个景点的概率为39=13．
故答案为：13．
画树状图得出所有等可能的结果数以及他们选择同一个景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13.【答案】430
【解析】解：由题意得，样本容量=32÷16%=200．
∴n=200−117−32−8=43，
2000×43200=430(名)，
即估计该校共大约有430名学生的成绩达到A等级．
故答案为：430．
根据用样本估计总体，用2000乘样本中A级的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
本题考查扇形统计图，频数(率)分布表，用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
14.【答案】m(tanα+tanβ)
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AD=m米，
在Rt△ABD中，∠BAD=α，
∴BD=AD⋅tanα=mtanα(米)，
在Rt△ADC中，∠DAC=β，
∴CD=AD⋅tanβ=mtanβ(米)，
∴BC=BD+CD=(mtanα+mtanβ)=m(tanα+tanβ)米，
∴这栋楼的高度为m(tanα+tanβ)米
故答案为：m(tanα+tanβ)．
过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD=120m，然后分别在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】a+6b
【解析】解：连接DE，
∵AD、BE是△ABC的中线，
∴F是△ABC的重心，
∴BE=3FE，
∴EB=−3b，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∴ED=12a，
∴BD =ED−EB=12a+3b，
∴BC=2BD=a+6b．
故答案为：a+6b．
连接DE，由三角形重心的性质推出BE=3FE，得到EB=−3b，由三角形中位线定理得到DE=12AB，因此ED=12a，由平面向量的运算法则得到BD =ED−EB=12a+3b，于是得到BC=2BD=a+6b．
本题考查三角形的重心，平面向量，三角形中位线定理，关键是掌握平面向量的运算法则．
16.【答案】30
【解析】解：在△ABC中，∠BAC=15°，AB=BC，
∴∠B=180°−15°−15°=150°，
即正多边形的一个内角为150°，
∴与∠B相邻的外角为180°−150°=30°，
∴这个正多边形的边数为360°30∘=12，
即这个正多边形为正十二边形，
∴正十二边形的中心角为360°12=30°．
故答案为：30．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出正多边形一个内角的度数，进而确定正多边形的边数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正多边形的性质是正确解答的关键．
17.【答案】14
【解析】解：如图所示，连接BE，EF，
由题可得CE=DE=GE，BC=BG，BE=BE，
∴△BCE≌△GCE(SSS)，
∴∠BEC=∠BEG，
由折叠可得，∠DEF=∠GEF，
∴∠BEF=12∠CED=90°，
∴∠DEF+∠BEC=90°，
又∵Rt△BCE中，∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠DEF=∠CBE，
又∵∠C=∠EDF=90°，
∴△BCE∽△EDF，
∴DFCE=DECB，即DF12=121，
∴DF=14，
故答案为：14．
依据△BCE≌△GCE(SSS)，即可得到∠BEC=∠BEG；由折叠可得，∠DEF=∠GEF，进而得出∠BEF是直角；利用“一线三等角”判定△BCE∽△EDF，即可得到DF的长．
本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18.【答案】 5−2≤r<2或 5【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=2，BC=4，
∴AC=BD= AB2+BC2= 22+42=2 5，
∵⊙O与⊙A有公共点，且与边CD没有公共点，
当线段CD在⊙O外时图1， 5−2≤r<2，
当线段CD在⊙O内时图2， 5∴⊙O的半径长r的取值范围是： 5−2≤r<2或 5故答案为： 5−2≤r<2或 5根据题意可知，⊙O的半径长r的取值范围是：r≤AC，且r>AB即可求出答案．
本题考查了矩形的性质及勾股定理，做题的关键是注意数形结合的应用．
19.【答案】解：(18)−23−(2024−π)0+ 20+4 5−3
=823−1+2 5+4( 5−3)5−9
=382−1+2 5−( 5−3)
=4−1+2 5− 5+3
=6+ 5．
【解析】先算二次根式的运算，零指数幂的运算，分母有理化，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：由②得(x−3y)(x+y)=0，
∴x−3y=0或x+y=0；
解2x+y=21x−3y=0得x=9y=3；
解2x+y=21x+y=0得x=21y=−21，
∴原方程组的解为x=9y=3或x=21y=−21．
【解析】将元方程组变形为两个二元一次方程组，从而可解得答案．
本题考查解高次方程，解题的关键是把第二个方程变形，从而将元方程组变形为两个二元一次方程组．
21.【答案】解：(1)连接AC，

∵AB是⊙O的直径，BC=BD，
∴AC=AD，
∴AC=AD，
∵AD=CD，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°；
(2)连接OD，

∵AB是⊙O的直径，BC=BD，
∴DE=EC=12CD，AB⊥CD，
∴∠AED=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠DAO=90°−∠ADC=30°，
∴∠DOE=2∠DAO=60°，
在Rt△OED中，OE=1，
∴DE=OE⋅tan60°= 3，
∴CD=2DE=2 3，
∴CD=AD=2 3．
【解析】(1)连接AC，根据垂径定理可得AC=AD，从而可得AC=AD，然后利用等量代换可得AC=AD=CD，从而可得△ACD是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可解答；
(2)连接OD，根据垂径定理可得DE=EC=12CD，AB⊥CD，从而可得∠AED=90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DAO=30°，然后利用圆周角定理可得∠DOE=60°，再在Rt△OED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，即可解答．
本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)租用甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车(7−x)辆；
∴y=1500x+1200(7−x)=300x+8400；
(2)∵租车总费用不超过10200元，师生共有275人，
∴300x+8400≤1020045x+33(7−x)≥275，
解得323≤x≤6，
∵x为整数，
∴x可取4，5，6，
∴一共有3种租车方案；
(3)在y=300x+8400中，y随x的增大而增大，又x可取4，5，6，
∴当x=4时，y取最小值，最小值为300×4+8400=9600(元)，
∴租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元．
【解析】(1)租用甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车(7−x)辆；可得y=1500x+1200(7−x)=300x+8400；
(2)根据租车总费用不超过10200元，师生共有275人可得300x+8400≤1020045x+33(7−x)≥275，又x为整数，故x可取4，5，6，一共有3种租车方案；
(3)结合(1)(2)，利用一次函数性质可得租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元．
本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵AD/​/BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠CAD=∠ACB，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵EA=ED，
∴∠EDA=∠CAD，
∴∠DEC=∠EDA+∠CAD=2∠CAD，
∵∠DAB=∠DEC，
∴∠DAB=2∠CAD，
∴∠CAB=∠CAD=∠ACB，
∴AB=CB，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)证明：如图，延长DE分别交线段AB、CB的延长线于点F、G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，
∵AD=BC，GB=BC，
∴AD=GB，
∵AD//GB，
∴△ADF∽△BGF，
∴AFBF=ADGB=1，
∴AF=BF=12AB=12CD，
∵AF/​/CD，
∴△AEF∽△CED，
∴EFED=AFCD=12，
∴ED=2EF，
∴∠ECD=∠CAD，∠G=∠EDA，且∠CAD=∠EDA，
∴∠ECD=∠G，
∵∠EDC=∠CDG，
∴△EDC∽△CDG，
∴CDGD=EDCD，
∴ADGD=2EFAD，
∴AD2=2EF⋅GD．
【解析】(1)由AD//BC，得∠DAB+∠ABC=180°，则∠DCB+∠ABC=180°，所以AB/​/CD，则四边形ABCD是平行四边形，由∠DEC=2∠CAD，且∠DAB=∠DEC，得∠DAB=2∠CAD，所以∠CAB=∠CAD=∠ACB，则AB=CB，即可证明四边形ABCD是菱形；
(2)由菱形的性质得AB=AD=BC=CD，而GB=BC，所以AD=GB，可证明△ADF∽△BGF，得AFBF=ADGB=1，则AF=BF=12AB=12CD，再证明△AEF∽△CED，得EFED=AFCD=12，所以ED=2EF，再证明△EDC∽△CDG，得CDGD=EDCD，则ADGD=2EFAD，即可证明AD2=2EF⋅GD．
此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠CAB=∠CAD=∠ACB是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
则y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)=ax2+bx−3，
则a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2+2x−3，
由抛物线的表达式知，点C(0,−3)；
(2)设点G(m,m2+2m−3)，

由点A、G的坐标得，直线AG的表达式为：y=(m−1)(x+3)，
同理可得：直线GC的表达式为：y=(m+2)x−3，
当∠DGA=∠DGC时，
则直线AG和GC关于GD对称，
故(m−1)+(m+2)=0，
解得：m=−12，
则点G(−12,−154)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−x−3，
设直线AC交DG于点T，则点T(−12,−52)，
则GR=−52+154=54，
则△GAC的面积=12×GR×AO=12×54×3=158；
(3)由点B、C、D的坐标得，BC= 10=CD，
过点B作BH⊥CD于点H，设BP交CD于点N，

而S△CBD=12×BD×OC=12×CD×BH，
即2×3= 10×BH，
则BH=6 10，
∵∠DCB+∠PBC=45°，即∠HNB=45°，
则BN= 2BH=6 5，
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−3x−3，
设点N(m,−3m−3)，
则BN2=(m−1)2+(−3m−3)2=(6 5)2，
解得：m=−75(舍去)或−15，
则点N(−15,−125)，
由点B、N的坐标得，BN的表达式为：y=2x−2，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x−3=2x−2，
解得：x=1(舍去)或−1，
即点P(−1,−4)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)当∠DGA=∠DGC时，则直线AG和GC关于GD对称，即可求解；
(3)利用S△CBD=12×BD×OC=12×CD×BH，求出BH=6 10，利用∠HNB=45°，得到BN= 2BH=6 5，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
25.【答案】解：(1)①∵AC=AB，CB=CD=CE，
∴∠ACB=∠ABC=∠CDB=α，∠CDE=∠CED，
又∵∠ACB+∠ABC+∠CDB+∠CDE+∠CED=360°，
∴∠CDB+∠CDE=12(360°−α)=180°−12α，
∴∠ADE=180°−(∠CDB+∠CDE)=180°−(180°−12α)=12α；
②∵∠ADE=∠BDF=12α，∠ABC=α，
∴∠F=∠BDF=12α，
∴BD=BF=1，
又∵∠BCD=180°−2α=∠A，∠CBD=∠DBC，
∴△CDB∽△ACB，
∴BCAB=BDBC，即BC2=1BC，
解得：BC= 2或BC=− 2(不合题意，舍去)；
过点A作AG⊥BC于点G，如图1，

则BG=12BC= 22，
∴cs∠ABC=BGAB= 22= 24；
(2)设MN交BD于点H，设BC=a，

∵M是BC的中点，
∴BM=CM=12a，
又∵MN/​/CE，
∴△BMH∽△BCA，
∴BHHA=BMMC=1，
又∵AB=AC=2，
∴AH=BH=1，
∵AC=AB，BC=CD，
∴∠ACB=∠ABC=∠CDB，
∴△BCA∽△BDC，
∴BCBA=BDBC，即a2=BDa，
解得：BD=a22，
∴DH=DB−BH=a22−1，
∵MN/​/CE，
∴ENDN=HADH=1a22−1=2a2−2，
又∵∠ACB=∠ABC，∠BDF=12∠ACB，
∴∠ABC=12∠ACB，
∴∠ACB=∠F，BF=BD=a22，
∴FM=FB+MB=a22+a2，
∵MN/​/CE，
∴ENFN=CMMF=a2a22+a2=1a+1，
又∵N是DF的中点，
∴DN=FN，
∴ENDN=ENFN，即2a2−2=1a+1
解得：a=1+ 5或a=1− 5(不合题意，舍去)，
∴BC=1+ 5．
【解析】(1)①利用等腰三角形角的关系推导出∠ACB=∠ABC=∠CDB=α，∠CDE=∠CED，进而得到∠CDB+∠CDE=12(360°−α)=180°−12α，进一步解答即可解；
②首先推导出BD=BF=1，证得△CDB∽△ACB，得到BCAB=BDBC，求得BC= 2，过点A作AG⊥BC于点G，BG=12BC= 22，求得cs∠ABC=BGAB 24；
(2)设MN交BD于点H，设BC=a，得到BM=CM=12a，证得△BMH∽△BCA，得到BHHA=BMMC，求得AH=BH=1；证得△BCA∽△BDC，得到BCBA=BDBC，得到BD=a22，利用MN//CE，得到ENDN=HADH=1a22−1=2a2−2，FM=FB+MB=a22+a2，利用MN//CE，得到ENFN=CMMF=a2a22+a2=1a+1，进一步求得a=1+ 5，即BC=1+ 5．
此题是圆的综合题，考查了圆的有关性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、函数关系式等知识，熟练掌握圆的有关性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键．等级
成绩x
频数
A
90≤x≤100
n
B
80≤x<90
117
C
70≤x<80
32
D
0≤x<70
8
型号
载客量(人/辆)
租金(元/辆)
甲
45
1500
乙
33
1200