浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案）

这是一份浙江省A9协作体2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，已知圆台的上、下半径分别为，，，折扇深受各阶层人民喜爱，对于，有如下判断，其中正确的是等内容，欢迎下载使用。

高一数学试题
命题：桐乡风鸣高级中学 饶彬、李新华
审题：慈溪实验高级中学 傅依 宁海知恩中学 辛振雷 校稿：沈阿琴
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.在复平面内，复数（其中是虚数单位）对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知平面向量，，若，则实数（ ）
A.B.2C.D.
3.如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ）
A.，，，
B.，，
C.，，
D.，，，
4.在中，角，，的对边分别是，，.若，，，则角等于（ ）
A.30°B.45°C.135°D.90°
5.在平行四边形中，，，则用，表示向量和分别是（ ）
A.和B.和C.和D.和
6.已知圆台的上、下半径分别为，，.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
7.在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（ ）
A.若，则B.
C.D.若，则
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（ ）
A.B.C.D.
10.对于，有如下判断，其中正确的是
A.若，则为等腰三角形（ ）
B.若，则为等腰或直角三角形
C.若，则
D.若，则
11.已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（ ）
A.球的体积为
B.球内接圆柱的侧面积的最大值为
C.球在正方体外部的体积小于
D.球在正方体外部的面积大于
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数______.
13.已知平面向量，，不共线，且两两所成角相等，若，，，则的值为______.
14.如图，2024年元宵节在浙江桐乡凤凰湖举行“放孔明灯”活动.为了测量孔明灯的高度，在地上测量了一根长为200米的基线，在点处测量这个孔明灯的仰角为，在处测量这个孔明灯的仰角为，在基线上靠近的四等分点处有一点，在处测量这个孔明灯的仰角为，则这个孔明灯的高度______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知复数，，是虚数单位.
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.
16.（15分）如图，在正方体中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值.
17.（15分）如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点且满足，，.
（1）试用向量，表示，；
（2）若，，求向量，夹角的余弦值.
18.（17分）在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面.
（1）当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面；
（2）当正方体棱长为2时，求线段长度的最小值.
19.（17分）在中，角，，的对边分别为，，.若，.
（1）若为锐角三角形时，求边的取值范围；
（2）求面积的最大值；
（3）在（1）的条件下，若，分别为，的中点，连接，交于点，求的取值范围.
浙江省A9协作体2023学年第二学期期中联考
高一数学参考答案
一、单项选择题
8.A.容易判断，正确
B.正确
C.正确
D.若，，D错误
二、多项选择题
11.A.容易判断，错误
B.容易判断，正确
C.球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，正确
D.球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积.每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，所以6个球冠的表面积大于，正确
三、填空题
12. 13.6 14.
四、解答题
15.（13分）
（1）因为，所以，
从而.
（2）因为，所以
从而.
16.（15分）
（1）证明：连接，交于点，连接.
因为，平面，平面，所以平面.
（若没有“平面”，酌情扣分）
（2）解：由（1），因为，所以即为直线与直线所成角.
设正方体棱长为2，在中，，，
，所以，
17.（15分）
（1）
（2）解法一：基底法
因为，.
，
，
，
所以.
（2）解法二：建系坐标法
如图建系，则，，，，.
，，
，，，
所以.
18.（17分）
（1）证明：因为，分别是线段，的中点，所以.
又，从而.
因为，平面，平面，所以平面
因为平面，又平面，，
，平面，所以平面平面
（2）解：过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接.
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，，，平面，所以平面平面
因为平面平面，平面平面，所以.
设，，则，，又棱长为2，
则.在梯形中，，
，
时，线段的最小值为
19.（17分）
（1）因为，，，所以，
因为为锐角三角形，且，所以，
从而，
（2）由余弦定理
又，，所以，
从而，
，所以，当时，.
（3）解法一：余弦定理
连接，利用中线长定理（用其他方法求出中线长，同样得分），有
，
，
所以，，
又，在中，由余弦定理知，
，
令，则，
解法二：向量法
因为，，
所以
又因为，，
所以，
令，则，题目
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
D
C
A
C
B
B
D
题目
9
10
11
选项
ABD
ABC
BCD