2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中高一(下)月考数学试卷(3月份)(含解析)
展开1.已知向量a,b满足|a−b|=3,|a+2b|=6,|a|= 2,则|b|=( )
A. 5B. 6C. 2 2D. 2 3
2.已知点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,则( )
A. OA=OCB. AB=CDC. OD//BOD. |AC|=|BD|
3.α=π6是sin(α+π6)= 32的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,已知函数y=f(x)的部分图象如图所示.则y=f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=sin(πx)2(3x+3−x)
B. f(x)=cs(πx)2(3x−3−x)
C. f(x)=(3x+3−x)sin(πx)2
D. f(x)=(3x−3−x)cs(πx)2
5.如图所示的△ABC中,点D是线段AC上靠近A的三等分点,点E是线段AB的中点,则DE=( )
A. −13BA−16BCB. −16BA−13BCC. −56BA−13BCD. −56BA+13BC
6.已知θ∈(0,π4),且sin2θ=23,则tanθ=( )
A. 55B. 3+ 52C. 3− 52D. 55或 5
7.已知a,b是平面向量,满足|a|=2,|b|≤1,且|3b−2a|≤2,记a与b的夹角为θ,则csθ的最小值是( )
A. 1116B. 78C. 158D. 3 1516
8.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(3)+f(4)=6,则f(133)=( )
A. −43B. 329C. 149D. 43
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,下面四个结论正确的是( )
A. a=2,A=30°,则△ABC的外接圆半径是4
B. 若acsA=bsinB,则A=45°
C. 若a2+b2
A. f(x)的图像关于直线x=−11π12对称
B. f(x)的图像的一个对称中心是(5π6,0)
C. f(x)在区间(π6,π3)上单调递减
D. 若y=af(x)+2的最大值为5+2 3,则y=af(x)+2的最小值为5−2 3
11.已知函数f(x)=|cs2x+csx|,有下列四个结论正确的是( )
A. f(x)图像关于直线x=−2π对称B. f(x)的值域为[0,98]
C. f(x)在[−5π4,−π]上单调递减D. f(x)在[−3π,3π]上恰有10个零点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知a=(1, 2),若向量b满足(a+b)⊥a,则b在a方向上的投影向量的坐标为______.
13.将函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)的图象向左平移π4ω个单位长度后,所得函数在(−π15,π16)内不是单调函数,则ω的取值范围是______.
14.已知函数f(x)=2cs2x−2 3sinxcsx−1,当x∈[−π4,π6]时,关于x的方程f(x)+a=0有两个实数根,则实数a的取值范围为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的三个内角A,B,C满足:csA=17,tanC=5 311.
(1)求cs(A+B)的值;
(2)求角B的大小.
16.(本小题15分)
已知向量a,b的夹角为60°,且a=(1,0).
(1)若|b|=2,求b的坐标;
(2)若(a+b)⊥(a−b),λ∈R,求|a+λb|的最小值.
17.(本小题15分)
设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.设S为△ABC的面积,满足S= 34(a2+c2−b2).
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b= 3,求( 3−1)a+2c的最大值.
18.(本小题17分)
函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示,
(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图像上的各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数g(x)的图像,若x∈[−11π6,2π3]时,g(x)的图像与直线y=43恰有三个公共点,记三个公共点的横坐标分别为x1,x2,x3且x1
设x∈R,我们常用[x]来表示不超过x的最大整数.如:[−4.1]=−5,[2.3]=2.
(1)求证:[2x]=[x]+[x+12];
(2)解方程:x2−[x]−2=0;
(3)已知f(x)=x2+2x|x−a|−15,g(x)=cs2x+sinx,若对∀x1∈[1,2],∃x2∈[−π2,π2],使不等式f(x1)≤[g(x2)]成立,求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:向量a,b满足|a−b|=3,|a+2b|=6,|a|= 2,
可得a2+4a⋅b+4b2=36,
a2−2a⋅b+b2=9,即2a2−4a⋅b+2b2=18,
解得3a2+6b2=54,
所以|b|=2 2.
故选:C.
通过向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可.
本题考查平面向量的数量积的应用,向量的模的求法,是基础题.
2.【答案】C
【解析】解:∵四边形ABCD为▱,
如图:
故OA=−OC,AB=DC,OD//BO,故AB错,C对,
又因为平行四边形对角线不一定相等,故D错.
故选:C.
根据平行四边形的性质以及向量共线即可求解结论.
本题主要考查平行四边形的性质以及向量共线,属于基础题.
3.【答案】A
【解析】解:当sin(α+π6)= 32时,α+π6=π3+2kπ(k∈Z)或α+π6=2π3+2kπ(k∈Z),
即α=π6+2kπ(k∈Z)或α=π2+2kπ(k∈Z),
即α=π6是sin(α+π6)= 32的充分不必要条件.
故选:A.
解出sin(α+π6)= 32的α的值,即可判断出答案.
本题以充分必要条件的判断为载体,主要考查了特殊角的三角函数值的求解,属于基础题.
4.【答案】D
【解析】解:由图可知,函数y=f(x)是R上的奇函数,且f(0)=0,f(1)<0,f(2)>0,
若f(x)=sin(πx)2(3x+3−x),则f(0)=sin02(30+30)=0,f(1)=sinπ2(31+3−1)=0不合题意,故A错误;
若f(x)=cs(πx)2(3x−3−x),由3x−3−x≠0得x≠0,不合题意,故B错误;
若f(x)=(3x+3−x)sin(πx)2,则f(1)=(3+3−1)sinπ2=0,不合题意,故C错误;
故排除ABC,得D正确.
故选:D.
由图可知,函数y=f(x)是R上的奇函数,且f(0)=0,f(1)<0,f(2)>0,利用排除法求解.
本题主要考查函数的图像,属于中档题.
5.【答案】B
【解析】解:依题意,DE=DA+AE=−13AC−12BA=−13BC+13BA−12BA=−16BA−13BC.
故选:B.
根据已知,利用向量的线性运算即可求解.
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算,属于基础题.
6.【答案】C
【解析】解:θ∈(0,π4),∴2θ∈(0,π2),
∵sin2θ=23,∴cs2θ= 1−sin22θ= 53,
tanθ=sinθcsθ=2sin2θ2sinθcsθ=1−cs2θsin2θ=1− 5323=3− 52.
故选:C.
利用二倍角公式,同角函数关系即可求值.
本题考查二倍角公式,同角函数关系,属于基础题.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算和应用,涉及函数单调性的性质和应用,属于中档题.
根据题意,设|b|=t,则t∈[0,1],又由|3b−2a|≤2,由数量积的计算公式变形可得csθ=3t2+48t=3t8+12t,设f(x)=12x+3x8,结合f(x)的单调性分析可得答案.
【解答】
解:根据题意,设|b|=t,则t∈[0,1],
|3b−2a|≤2,则有9b2−12a·b+4a2=9t2−24tcsθ+16≤4,
变形可得csθ=3t2+48t=3t8+12t,
设f(x)=12x+3x8,其导数f′(x)=−12x2+38=3x2−48x2,
在区间[0,1]上,f′(x)<0,则f(x)=12x+3x8在区间(0,1]上递减,
则t=1时,csθ取得最大值78,
故选:B.
8.【答案】B
【解析】解:根据题意,由f(x+1)为奇函数,得f(−x+1)=−f(x+1),变形可得f(x)=−f(2−x)①,
故函数f(x)的图象关于点(1,0)对称;
由f(x+2)为偶函数,得f(−x+2)=f(x+2)②,
则函数f(x)的图象关于直线x=2对称;
由①②得f(x+2)=−f(x),
则f(x+4)=−f(x+2)=f(x),
故f(x)的周期为4,则有f(133)=f(4+13)=f(13);
又由f(−x+1)=−f(x+1),令x=0得f(1)=0,即a+b=0③,
已知f(0)+f(3)=6,
由函数f(x)的图象关于直线x=2对称,得f(3)=f(1)=0,
又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,得f(0)=−f(2)
所以f(0)+f(3)=−f(2)=6,即f(2)=−6,
所以4a+b=−6④,联立③④解得a=−2,b=2
故x∈[1,2]时,f(x)=−2x2+2,则f(53)=−2×(53)2+2=−329,
又由f(−x+1)=−f(x+1),则f(13)=−f(53)=329,
故f(133)=f(13)=329.
故选:B.
根据题意,由已知奇偶性质得到f(x)的周期性与对称性,借助已知条件f(0)+f(3)=6与f(1)=0待定系数a,b,再利用周期性和解析式求解即得.
本题考查函数的奇偶性和周期性,涉及函数值的计算,属于中档题.
9.【答案】BC
【解析】解:A.a=2,A=30°,设△ABC的外接圆半径是R,则2R=asinA=2sin30∘=4,解得R=2,因此不正确;
B.acsA=bsinB,由正弦定理可得:sinAcsA=sinBsinB=1,∴tanA=1,A∈(0°,180°)∴A=45°,因此B正确;
C.∵a2+b2
故选:BC.
A.设△ABC的外接圆半径是R,利用正弦定理可得2R=asinA,解得R,即可判断出正误;
B.acsA=bsinB,由正弦定理可得:sinAcsA=sinBsinB=1,求出A,即可判断出正误;
C.由a2+b2
10.【答案】AC
【解析】解:因为f(x)=sinxcsx+ 3cs2x=12sin2x+ 32(1+cs2x)=sin(2x+π3)+ 32,
对于选项A,由2x+π3=π2+kπ,k∈Z,得到x=π12+kπ2,k∈Z,当k=−2时,x=−11π12,所以选项A正确,
对于选项B,由2x+π3=kπ,k∈Z,得到x=−π6+kπ2,k∈Z,所以f(x)的对称中心为(−π6+kπ2, 32)(k∈Z),
当k=2时,对称中心为(5π6, 32),所以选项B错误,
对于选项C,由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z,得到π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z,
当k=0时,π12≤x≤7π12,又(π6,π3)⊆[π12,7π12],所以选项C正确,
对于选项D,因为y=af(x)+2=asin(2x+π3)+ 32a+2,
当a>0时,由题有a+ 32a+2=5+2 3,得到a=2 3,
此时y=af(x)+2的最小值为−2 3+ 32×2 3+2=5−2 3,
当a<0时,由题有−a+ 32a+2=5+2 3,得到a=−14 3−24
此时y=af(x)+2的最小值为−14 3−24−21−12 3+2=−26 3−43,所以选项D错误.
故选:AC.
根据条件得到f(x)=sin(2x+π3)+ 32,再利用y=sinx的图象与性质,对各个选项逐一分析判断,即可得到结果.
本题主要考查了二倍角公式,辅助角公式的应用,还考查了正弦函数的对称性,单调性及最值的求解,属于中档题.
11.【答案】ACD
【解析】解:对于A,∵f(x)=|cs2x+csx|,
∴f(−4π−x)=|cs[2(−4π−x)+cs(−4π−x)|=|cs(−2x)+cs(−x)|=|cs2x+csx|=f(x),
∴f(x)图像关于直线x=−2π对称,A正确;
对于B,f(x)=|2cs2x+csx−1|=|2(csx+14)2−98|,
由−1≤csx≤1,得2(csx+14)2−98∈[−98,2],
∴f(x)的值域为[0,2],B错误;
对于C,∵f(x+2π)=|cs2(x+2π)+cs(x+2π)|=|cs2x+csx|=f(x),
∴2π为f(x)的周期,
∴f(x)在[−5π4,−π]上的单调性与它在[3π4,π]上的单调性相同,
当x∈[3π4,π]时,csx∈[−1,− 22],
又f(x)=|2(csx+14)2−98|,①
令t=csx,则t∈[−1,− 22],
则①可化为h(t)=|2(t+14)2−98|,当t∈[−1,− 22]时,y=2(t+14)2−98∈[− 22,0],
∴y=2(t+14)2−98在[−1,− 22]上单调递减,且y<0,
∴h(t)=|2(t+14)2−98|在[−1,− 22]上单调递增,又t=csx在[3π4,π]上单调递减,
由复合函数的单调性可知,f(x)在[3π4,π]上单调递减,即f(x)在[−5π4,−π]上单调递减,C正确;
对于D,令f(x)=|2cs2x+csx−1|=|(csx+1)(2csx−1)|=0,得csx=−1或csx=12,
又f(x)=|cs2x+csx|为偶函数,
∴当x∈[0,3π]时,由f(x)=0,得x=π3,π,5π3,7π3,3π,共5个零点,
∴f(x)在[−3π,3π]上恰有10个零点,D正确.
故选:ACD.
利用余弦函数的单调性、对称性、值域、零点等性质对四个选项逐一分析可得答案.
本题考查余弦型函数的性质的应用,考查学生的运算能力及逻辑思维能力,属于难题.
12.【答案】(−1,− 2)
【解析】解:由题意可知,(a+b)⋅a=0,
所以a2+a⋅b=0,而a=(1, 2),则|a|= 12+( 2)2= 3,
故a⋅b=−a2=−3,
则b在a方向上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=−3 3⋅(1, 2) 3=(−1,− 2),
即b在a方向上的投影向量的坐标为(−1,− 2).
故答案为:(−1,− 2).
根据数量积的运算律求得a⋅b,根据投影向量的概念,即可求得答案.
本题主要考查投影向量的求解,属于基础题.
13.【答案】(152,+∞)
【解析】解:由题设可得平移后图象对应的函数解析式为y=sin(ωx+π4−π4)=sinωx,
因为x∈(−π15,π16),故ωx∈(−ωπ15,ωπ16),
因为y=sinωx在(−π15,π16)不单调,故−π2∈(−ωπ15,ωπ16)或π2∈(−ωπ15,ωπ16),
即−ωπ15<−π2或ωπ16>π2,
所以ω>152或ω>8,故ω>152.
故答案为:(152,+∞).
先求出平移后图象对应的解析式,根据单调性可求参数的取值范围.
本题考查的知识点:正弦型函数的性质,函数的图象的平移变换,主要考查学生的运算能力,属于基础题.
14.【答案】(−2,− 3]
【解析】解:f(x)=2cs2x−2 3sinxcsx−1=cs2x− 3sin2x=2cs(2x+π3);
由于x∈[−π4,π6],
所以2x+π3∈[−π6,2π3],
故函数f(x)在[−π4,−π6]上单调递增,在[−π6,π6]上单调递减;
所以−a∈[ 3,2),即a∈(−2,− 3]时,关于x的方程f(x)+a=0有两个实数根.
故实数a的取值范围为(−2,− 3].
故答案为:(−2,− 3].
首先利用三角函数的关系式的变换,把函数的关系式变形成余弦型函数,进一步利用余弦型函数的单调性求出实数a的取值范围.
本题考查的知识要点:三角函数的关系式的变换,余弦型函数的性质,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
15.【答案】解:(1)cs(A+B)=cs(π−C)=−csC,
因为tanC=5 311>0,C∈(0,π),
故C为锐角且csC=11 121+75=1114,
所以cs(A+B)=−1114;
(2)因为csA=17,A∈(0,π),
故A为锐角且tanA=4 31=4 3,
故tan(A+C)=4 3+5 3111−4 3×5 311=49 3−49=− 3,
故tanB= 3,
而B∈(0,π),
故B=π3.
【解析】(1)利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可求cs(A+B)的值;
(2)先求出tanA,再利用两角和的正切公式及诱导公式可求tanB= 3,故可求角B的大小.
本题主要考查了三角函数恒等变换在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
16.【答案】解:(1)向量a,b的夹角为60°,且a=(1,0),设b=(x,y),若|b|=2,
则cs60°=a⋅b|a|⋅|b|=x1×2,∴x=1.
∵|b|= x2+y2=2,∴y=± 3,故b=(1,± 3).
(2)若(a+b)⊥(a−b),λ∈R,则(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=0,∴|b|=1.
∴|a+λb|= (a+λb)2= a2+2λa⋅b+λ2⋅b2= 1+2λ⋅12+λ2= (λ+12)2+34,
故当λ=−12时,|a+λb|取得最小值为 32.
【解析】(1)由题意利用两个向量的数量积的定义,求出x的值.
(2)由题意利用两个向量垂直的性质,求得|b|=1.再根据求向量的摸的方法,二次函数的性质,求得|a+λb|取得最小值.
本题主要考查两个向量的数量积,两个向量垂直的性质,求向量的摸,二次函数的性质,属于基础题.
17.【答案】解:(Ⅰ)∵S=12acsinB,csB=a2+c2−b22ac,即a2+c2−b2=2accsB,
∴由S= 34(a2+c2−b2)变形得:12acsinB= 34×2accsB,
整理得:tanB= 3,
又∵0∴B=π3;
(Ⅱ)∵A+B+C=π,B=π3,
∴0由正弦定理知a=bsinAsinB= 3sinAsinπ3=2sinA,
c=bsinCsinB=2sin(2π3−A),
∴( 3−1)a+2c=2( 3−1)sinA+4sin(2π3−A)
=2 3sinA+2 3csA=2 6sin(A+π4)≤2 6,
当且仅当A=π4时取最大值,
故( 3−1)a+2c的最大值为2 6.
【解析】本题考查三角形面积公式、正弦定理、余弦定理和三角函数的化简,正弦函数的图象和性质,属于中档题.
(Ⅰ)利用三角形的面积公式表示出S,利用余弦定理表示出csB,代入已知等式求出tanB的值,即可求出B;
(Ⅱ)先求出A的范围,再根据正弦定理表示出a,c,根据两角和差的正弦公式化简,再由正弦函数的图象和性质即可求出最大值.
18.【答案】解:(1)根据函数的图象:A=2,且T4=7π12−π3=π4,故T=π,解得ω=2;
由于f(π3)=2cs(2×π3+φ)=0,由于|φ|<π2,
故φ=−π6;
故f(x)=2cs(2x−π6).
令−π+2kπ≤2x−π6≤2kπ,(k∈Z),
整理得−5π12+kπ≤x≤kπ+π12,(k∈Z),
故函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,kπ+π12],(k∈Z).
(2)将函数f(x)的图像上的各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数g(x)=2cs(x−π6)的图像;
由于x∈[−11π6,2π3],
所以x−π6∈[−2π,π2],
由于g(x)的图像与直线y=43恰有三个公共点,
如图所示:
令t=x−π6∈[−2π,π2],则y=2cst,由函数y=2cst的图象性质得:t1+t2=−2π,t2+t3=0,
且2cst1=2cst2=2cst3=43,
得到cst1=23,由于t1∈(−2π,−3π2),
所以sint1= 53,
由于t1=x1−π6,t2=x2−π6,t3=x3−π6,
得到x3−x1=2π,
所以cs(x1+x3)=cs(x1+x2+2π)=cs2x1=2cs2x1−1,
由于csx1=cs(t1+π6)=cst1csπ6−sint1sinπ6=2 3− 56,
所以cs(x1+x3)=−1+4 1518.
【解析】(1)直接利用函数的图象求出函数的关系式,进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间;
(2)利用函数图象的伸缩变换求出函数g(x)的解析式,进一步利用函数y=2cst的图象性质求出函数的值.
本题考查的知识点:函数的解析式的求法,函数图象的伸缩变换,余弦型函数的性质,主要考查学生的运算能力,属于中档题.
19.【答案】解:(1)设x=a+r,a∈Z,r∈[0,1),
若r∈[0,12),则2x=2a+2r,2a∈Z,2r∈[0,1),x+12=a+r+12,r+12∈[12,1),
故[2x]=2a,而[x]=a,[x+12]=a,故[2x]=[x]+[x+12].
若r∈(12,1),则2x=2a+2r,2a∈Z,2r∈(1,2),x+12=a+r+12,r+12∈(1,32),
故[2x]=2a+1,而[x]=a,[x+12]=a+1,故[2x]=[x]+[x+12].
综上,[2x]=[x]+[x+12].
(2)因为x2−[x]−2=0,故x2−2=[x],
因为[x]≤x,故x2−2≤x,故−1≤x≤2,故[x]=−1,0,1,2,
若[x]=−1,则x2=1,又[1]=1,[−1]=−1,故x=−1符合;
若[x]=0,则x2=2,故x=± 2,又[ 2]=1,[− 2]=−2,不符合[x]=0,均舍;
若[x]=1,则x2=3,故x=± 3,又[ 3]=1,[− 3]=−2,故x= 3符合;
若[x]=2,则x2=4,故x=±2,又[2]=2,[−2]=−2,故x=2符合;
综上,x=−1或x= 3或x=2.
(3)g(x)=cs2x+sinx=−sin2x+sinx+1=−(sinx−12)2+54,
当x∈[−π2,π2]时,−1≤sinx≤1,故−1≤g(x)≤54,故[g(x)]max=1,
因为对∀x1∈[1,2],∃x2∈[−π2,π2],使不等式f(x1)≤[g(x2)]成立,
故x2+2x|x−a|−15≤1在[1,2]上恒成立,
故|x−a|≤8x−x2在[1,2]上恒成立,而8x−x2>0在[1,2]上恒成立,
故3x2−8x≤a≤8x+x2在[1,2]上恒成立,
设s(x)=3x2−8x,x∈[1,2],
因为y=3x2,y=−8x在[1,2]上均为增函数,故s(x)=3x2−8x,x∈[1,2]为增函数,
故s(x)max=s(2)=3−4=−1,
设u(x)=8x+x2,x∈[1,2],
设∀x1,x2∈[1,2],x1
而1≤x1
即u(x1)>u(x2),故u(x)=8x+x2,x∈[1,2]为减函数,
故u(x)min=u(2)=5,
故a的取值范围为{a|−1≤a≤5}.
【解析】(1)设x=a+r,a∈Z,r∈[0,1),就r∈[0,12)、r∈(12,1)分类讨论后可证该恒等式;
(2)利用[x]≤x可得x2−2≤x,求出其解后逐个检验可得原方程的解;
(3)求出[g(x)]的最大值后参变分离,从而可求参数的取值范围.
本题主要考查了与取整函数有关的证明问题,可将实数表示整数部分和小数部分,从而便于证明,而与绝对值有关的不等式恒成立或有解问题,注意利用公式去掉绝对值符号,便于参变分离,属于难题.
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