2023-2024学年广东省茂名市电白一中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

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这是一份2023-2024学年广东省茂名市电白一中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合M={x|0A. {x|02.已知向量a=(m2,−9)，b=(1,−1)，则“m=−3”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.在△ABC中，若|AB|=|AC|=|AB−AC|，则△ABC的形状为( )
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
4.三个数60.7，(0.7)6，lg0.76的大小顺序是( )
A. (0.7)6C. lg0.76<60.7<(0.7)6D. lg0.76<(0.7)6<60.7
5.已知函数f(x)=2cs(π4−3x)，x∈[−π2,π2]，则f(x)的单调递增区间是( )
A. [−π2,0]B. [−π4,π12]
C. [−π2,−π4),[π12,5π12]D. [−π4,π12]，[5π12,π2]
6.若两个正实数x，y满足4x+y=xy，且不等式x+y4>m2−3m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. {m|−44}
C. {m|−13}
7.将函数f(x)=sinx的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(π2,3π2)上没有零点，则ω的取值范围是( )
A. (0,29]∪[23,89]B. (0,89]C. (0,29)∪[89,1]D. (0,1]
8.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式C=Wlg2(1+SN)，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至5000，则C大约增加了(附：lg2≈0.3010)( )
A. 23%B. 37%C. 48%D. 55%
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. sin45°cs45°=1B. cs2π12−sin2π12= 32
C. 12sin40°+ 32cs40°=sin80°D. tan22.5°1−tan222.5∘=12
10.已知平面向量a=(−2,1)，b=(4,2)，c=(2,t)，则下列说法正确的是( )
A. 若b⊥c，则t=4
B. 若a//c，则t=−1
C. 若t=1，则向量a在c上的投影向量为−35c
D. 若t>−4，则向量b与c的夹角为锐角
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在区间(7π12,5π6)上单调，且满足f(7π12)=−f(3π4).有下列结论正确的有( )
A. f(2π3)=0
B. 若f(5π6−x)=f(x)，则函数f(x)的最小正周期为π
C. 关于x的方程f(x)=1在区间[0,2π)上最多有4个不相等的实数解
D. 若函数f(x)在区间[2π3,13π6)上恰有5个零点，则ω的取值范围为(83,3]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)= x+3x+1的定义域为______．
13.若sin(3π8−x)=13，且014.已知函数f(x)=2x−1+1,x≤2|lg2(x−2)|,x>2，若关于x的方程f2(x)−(a+2)f(x)+2a=0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3,−4)．
(1)求tanα的值；
(2)求2sin(π+α)+cs(2π+α)cs(α−π2)+sin(π2+α)的值．
16.(本小题15分)
已知|a|=2，|b|=1，(2a−3b)⋅(2a+b)=17．
(1)求a与b的夹角；
(2)若|a+tb|=2 3，求实数t的值；
(3)设c=ma+2b，d=2a−b，若c与d共线，求实数m的值．
17.(本小题15分)
已知关于x的不等式ax2−(a+1)x+b<0
(1)若不等式的解集是{x|1(2)若a≠0，b=1，求此不等式的解集．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin2ωx+2 3sinωxcsωx−cs2ωx(ω>0)
(1)化简y=f(x)的表达式．
(2)若y=f(x)的最小正周期为π，求y=f(x),x∈(0,π2)的单调区间
(3)将(2)中的函数f(x)图像上所有的点向右平移φ(φ∈[0,π2])个单位长度，得到函数y=g(x)，且y=g(x)图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数y=g(λx),x∈[a,a+π3]与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数λ的取值范围．
19.(本小题17分)
已知定义域为D的函数y=f(x).当a∈D时，若g(x)=f(x)−f(a)x−a(x∈D,x≠a)是增函数，则称f(x)是一个“T(a)函数”．
(1)判断函数y=2x2+x+2(x∈R)是否为T(1)函数，并说明理由；
(2)若定义域为[0,+∞)的T(0)函数y=s(x)满足s(0)=0，解关于λ的不等式s(2λ)<λs(2)；
(3)设P是满足下列条件的定义域为R的函数y=W(x)组成的集合：①对任意u∈R，W(x)都是T(u)函数；②W(0)=W(2)=2，W(−1)=W(3)=3.若W(x)≥m对一切W(x)∈P和所有x∈R成立，求实数m的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，是基础题．
直接利用交集运算求解．
【解答】
解：集合M={x|0故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断和向量平行的条件的掌握，属于基础题．
先根据向量的平行的条件以及坐标的运算求出m=±3，即可判断．
【解答】
解：∵a=(m2,−9)，b=(1,−1)，a//b，
∴−m2=−9，解得m=3，或m=−3，
∴“m=−3”是“a//b”的充分不必要条件，
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：若|AB|=|AC|=|AB−AC|，
则若|AB|=|AC|=|AB−AC|=|BC|，
则△ABC为等边三角形．
故选：A．
由已知利用向量的减法可得|AB|=|AC|=|AB−AC|=|BC|，即可判断得解．
本题主要考查了平面向量的运算的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：60.7>1，0<(0.7)6<1，lg0.76<0，
可得60.7>(0.7)6>lg0.76.
故选：D．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
5.【答案】D
【解析】解：f(x)=2cs(π4−3x)=2cs(3x−π4)，
令2kπ−π≤3x−π4≤2kπ，k∈Z，
解得23kπ−π4≤x≤23kπ+π12，k∈Z，
令k=0，−π4≤x≤π12，
令k=1，5π12≤x≤3π4，
又x∈[−π2,π2]，
所以f(x)的单调递增区间是[−π4,π12]，[5π12,π2].
故选：D．
f(x)=2cs(3x−π4)，利用y=csx的性质即可得．
本题考查三角函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若两个正实数x，y满足4x+y=xy，即1x+4y=1，
则x+y4=(x+y4)(1x+4y)=2+y4x+4xy≥2+2 y4x⋅4xy=4，当且仅当y=4x，即x=2，y=8时取等号，
因为不等式x+y4>m2−3m恒成立，
所以4>m2−3m，
解得，−1故选：C．
由题意可得，1x+4y=1，然后利用乘1法结合基本不等式可求x+y4的最小值，然后结合基本不等式可求x+y4的最小值，再由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化关系的应用，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：将函数f(x)=sinx的图象先向右平移π3个单位长度，得到y=sin(x−π3)，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，
得到函数g(x)=sin(ωx−π3)，
由函数g(x)在(π2,3π2)上没有零点，则T2≥3π2−π2，则T≥2π，
由2πω≥2π，可得0<ω≤1，
假设函数g(x)在(π2,3π2)上有零点，
则ωx−π3=kπ,k∈Z，则x=kπω+π3ω,k∈Z，
由π2−13,k∈Z，
又0<ω≤1，则ω∈(29,23)∪(89,1],
则由函数g(x)在(π2,3π2)上没有零点，且0<ω≤1，可得ω∈(0,29]∪[23,89]．
故选：A．
先由三角函数图象平移规则求得函数g(x)=sin(ωx−π3)，再利用正弦曲线的零点即可求得ω的取值范围．
本题主要考查了三角函数图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：依题意得，当SN=1000时，C1=Wlg21000，
当SN=5000时，C2=1.2Wlg25000，
∴C2C1=1.2Wlg25000Wlg21000=6lg250005lg21000=6lg50005lg1000=6(lg1000+lg5)15=2(3+1−lg2)5=8−2lg25≈8−2×0.30105≈1.48，
∴C的增长率约为48%．
故选：C．
利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和5000时C的比值即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，sin45°cs45°= 22× 22=12，故A错误；
对于B，cs2π12−sin2π12=csπ6= 32，故B正确；
对于C，12sin40°+ 32cs40°=cs60°sin40°+sin60°cs40°=sin(60°+40°)=sin100°=sin80°，故C正确；
对于D，tan22.5°1−tan222.5∘=12×2tan22.5°1−tan222.5∘=12×tan45°12，故D正确．
故选：BCD．
根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换公式，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：已知平面向量a=(−2,1)，b=(4,2)，c=(2,t)，
对于A，若b⊥c，可得b⋅c=0，即4×2+2t=0，解得t=−4，所以A选项错误；
对于B，若a//c，根据平面向量共线性质，可得−21=2t，即t=−1，所以B选项正确；
对于C，若t=1，则c=(2,1)，
由投影向量定义可知向量a在c上的投影向量为a⋅c|c|2⋅c=−4+122+12c=−35c，
所以C选项正确；
对于D，若t>−4，则b⋅c=4×2+2t=8+2t>0，所以cs〈b,c〉=b⋅c|b|⋅|c|>0；
但当t=1时，cs〈b,c〉=b⋅c|b|⋅|c|=4×2+2×1 42+22× 22+12=10 20× 5=1，
此时向量b与c的夹角为0°，所以D选项错误．
故选：BC．
根据向量线性运算即数量积公式可判断AB选项，根据投影向量定义可得判断C选项，由 t>−4可得b⋅c>0，但此时向量b与c的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误．
本题考查向量垂直的性质，向量共线定理，投影向量的概念，向量夹角公式的应用，属中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A，∵(7π12,3π4)⊆(7π12,5π6)，∴f(x)在(7π12,3π4)上单调，
又f(7π12)=−f(3π4),7π12+3π42=2π3，∴f(2π3)=0，故A正确；
B，区间(7π12,5π6)右端点x=5π6关于x=2π3的对称点为x=π2，
∵f(2π3)=0,f(x)在(7π12,5π6)上单调，根据正弦函数图像特征可知f(x)在(π2,5π6)上单调，
∴5π6−π2=π3⩽T2=12⋅2π|ω|(T为f(x)的最小正周期，即|ω|⩽3，
又ω>0，∴0<ω⩽3.若f(5π6−x)=f(x)，
则f(x)的图象关于直线x=5π12对称，结合f(2π3)=0，
得2π3−5π12=π4=2k+14T=2k+12⋅π(0(k∈Z),
即ω=4k+2(k∈Z)，故k=0，ω=2，T=π，故B正确．
C，由0<ω⩽3，得T⩾2π3，∴f(x)在区间[0,2π)上最多有3个完整的周期，
而f(x)=1在1个完整周期内只有1个解，故关于x的方程f(x)=1在区间[0,2π)上最多有3个不相等的实数解，故C错误．
D，由f(2π3)=0知，2π3是函数f(x)在区间[2π3,13π6)上的第1个零点，
而f(x)在区间[2π3,13π6)上佮有5个零点，则2T<13π6−2π3⩽5T2，
结合T=2πω，得83<ω⩽103，又0<ω⩽3，
∴ω的取值范围为(83,3]，故D正确．
故选：ABD．
A：f(x)在(7π12,3π4)上单调，f(7π12)=−f(3π4),7π12+3π42=2π3，故f(2π3)=0；
B：求出区间(7π12,5π6)右端点x=5π6关于x=2π3的对称点x=π2，由题可知f(x)在(π2,5π6)上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围．再根据f(5π6−x)=f(x)知x=5π12是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的2k+14(k∈Z)倍即可求出ω，从而求出其周期；
C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
D：由f(2π3)=0知，2π3是函数f(x)在区间[2π3,13π6)上的第1个零点，而f(x)在区间[2π3,13π6)上恰有5个零点，则2T<13π6−2π3⩽5T2，据此即可求ω的范围．
本题考查三角函数的综合，考查学生的综合能力，属于中档题．
12.【答案】{x|x≥−3且x≠−1}
【解析】解：由题意x+3≥0x+1≠0，解得x≥−3且x≠−1，
所以函数的定义域为{x|x≥−3且x≠−1}．
故答案为：{x|x≥−3且x≠−1}．
根据根式与分式的定义域求解即可．
本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题．
13.【答案】13
【解析】解：因为(3π8−x)+(π8+x)=π2，
所以cs(π8+x)=cs[π2−(3π8−x)]=sin(3π8−x)=13．
故答案为：13．
由(3π8−x)+(π8+x)=π2，结合诱导公式求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】(1,2)∪(2,3)
【解析】解：令f2(x)−(a+2)f(x)+2a=0，
即[f(x)−a][f(x)−2]=0，
所以f(x)=a或f(x)=2，
因为关于x的方程f2(x)−(a+2)f(x)+2a=0有6个不同的实数根，
所以y=f(x)的图象与直线y=2和直线y=a共有6个不同的交点，
如图y=f(x)的图象与直线y=2有3个交点，
所以只需y=f(x)的图象与直线y=a有3个交点，且a≠2，
所以a∈(1,2)∪(2,3)．
故答案为：(1,2)∪(2,3)．
令f2(x)−(a+2)f(x)+2a=0，得f(x)=a或f(x)=2，结合图象可得y=f(x)的图象与直线y=a有3个交点，据此即可求解．
本题考查了函数与方程思想，考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
15.【答案】解：(1)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3,−4)，
故tanα=−43．
(2)由于tanα=−43，
所以2sin(π+α)+cs(2π+α)cs(α−π2)+sin(π2+α)=−2sinα+csαsinα+csα=−2tanα+1tanα+1=−11．
【解析】本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
(1)直接利用三角函数的定义求出三角函数的值；
(2)利用三角函数的诱导公式和三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
16.【答案】解：(1)因为|a|=2，|b|=1，且(2a−3b)⋅(2a+b)=17，
即4a2−3b2−4|a||b|cs=17，
所以4×22−3−4×2×1×cs=17，
解得cs=−12，
即a与b的夹角为2π3．
(2)因为|a+tb|=2 3，
则(a+tb)2=12，
所以|a|2+2ta⋅b+t2|b|2=12，
即4−2t+t2=12，
解得t=4或t=−2．
所以t的值为4或−2．
(3)由(1)可得a,b不共线，且c=ma+2b，d=2a−b，
则必存在实数λ，使得c=λd，
即ma+2b=λ(2a−b)，
解得m=2λ，2=−λ，
所以m=−4．
【解析】(1)根据平面向量数量积的运算，直接代入计算即可得到a与b的夹角；
(2)根据题意，将向量模长平方，然后代入计算，即可得到结果；
(3)根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算及平面向量共线定理，属中档题．
17.【答案】解：(1)∵不等式的解集是{x|1∴a>0，且1和5是方程ax2−(a+1)x+b=0的两根，
∴1+5=−−(a+1)a，且1×5=ba,
解得a=15,b=1，
∴a+b=65．
(2)若a≠0，b=1，此不等式为ax2−(a+1)x+1<0，
∴(ax−1)(x−1)<0，
∴a(x−1a)(x−1)<0，
①若a>1时，1a<1，此不等式解集为{x|1a②若a=1时，1a=1，此不等式解集为⌀，
③若01，此不等式解集为{x|1④若a<0时，1a<1，此不等式解集为{x|x<1a或x>1}．
【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法，利用一元二次方程和一元二次不等式之间的关系是解决本题的关键．
(1)根据不等式的解集和对应方程之间的关系建立方程关系即可求解a，b的值；
(2)根据一元二次不等式的解法解不等式即可．
18.【答案】解：(1)依题意，f(x)= 3sin2ωx−(cs2ωx−sin2ωx)= 3sin2ωx−cs2ωx=2sin(2ωx−π6)，
(2)由(1)知，T=2π2ω=π，解得ω=1，则f(x)=2sin(2x−π6)，
当0由−π6<2x−π6≤π2得：0所以f(x)在(0,π3]上单调递增，[π3,π2)上单调递减；
(3)由(2)及已知，g(x)=f(x−φ)=2sin(2x−2φ−π6)，因y=g(x)图像关于x=0对称，则−2φ−π6=kπ+π2,k∈Z，
解得：φ=−π3−kπ2,k∈Z，又φ∈[0,π2]，即有k=−1，φ=π6，于是g(x)=−2cs2x．
由g(λx)=1得：cs(2λx)=−12，λ>0，而函数y=cs(2λx)的周期T′=2π2λ=πλ，
依题意，对于∀a∈R,cs(2λx)=−12在x∈[a,a+π3]上均有不少于6个且不多于10个根，则有3T′≤π35T′>π3，即3πλ≤π35πλ>π3，解得：9≤λ<15，
所以正实数λ的取值范围是[9,15)．
【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数；
(2)根据最小正周期公式求ω，再采用代入的方法求函数的单调区间；
(3)首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求g(x)=−2cs2x，并求得cs(2λx)=−12，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求λ的取值范围．
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)是，理由：由题，g(x)=(2x2+x+2)−(2×12+1+2)x−1=2x+3(x∈R,x≠1)为增函数，
故y=2x2+x+2(x∈R)是T(1)函数．
(2)因为y=s(x)是T(0)函数，且s(0)=0，所以g(x)=s(x)x是[0,+∞)上的增函数，
因为s(2λ)有意义，所以λ≥0，显然，λ=0时不等式不成立，下设λ>0，
此时s(2λ)<λs(2)等价于s(2λ)2λ由g(x)的单调性得，2λ<2，即所求不等式的解集为(0,1)．
(3)由题意，W(x)是T(0)函数，故y=W(x)−2x是增函数，从而当x<0时，W(x)−2x2；而W(x)是T(2)函数，故y=W(x)−2x−2是增函数，从而当x>2时，W(x)−2x−2>W(0)−20−2=0，即W(x)>2，
当0W(−1)−2−1=−1且W(x)−2x−22−x且W(x)>x，故W(x)>max{x,2−x}=1+|x−1|≥1．
因此，当m≤1时，W(x)≥m对一切x∈R成立．
下证，任意m>1均不满足要求，由条件②知，m≤2．
另一方面，对任意M∈(1,2]，定义函数WM(x)=M−14|x−1|2+7−3M4|x−1|+M+12，容易验证条件②成立．
对条件①，任取u∈R，有WM(x)−WM(u)x−u=M−14(x+u−2)+7−3M4|x−1|−|u−1|x−u，
注意到y=x+u−2是增函数，
而对h(x)=|x−1|−|u−1|x−u，当u<1时，h(x)=−1,x<1,x≠u1−2−2ux−u,x≥1；
当u≥1时，h(x)=−1−2u−2x−u,x<11,x≥1,x≠u，均单调不减．
因为M−14 , 7−3M4>0，
所以条件①成立．从而WM(x)∈P.此时，WM(1)=M+12故m【解析】(1)将x=1代入解析式，根据g(x)=f(x)−f(a)x−a整理表达式，判断是否为增函数即可；
(2)由T(0)函数可知g(x)=s(x)x是(0,+∞)上的增函数，s(2λ)有意义，需满足λ≥0，显然λ=0时不等式不成立，设λ>0，转化不等式为s(2λ)2λ(3)由题可知W(x)是T(0)函数，也是T(2)函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当x<0，或当x>2时，W(x)>2，再讨论当0max{x,2−x}=1+|x−1|≥1，即满足当m≤1时，W(x)≥m对一切x∈R成立．另证明任意m>1均不满足要求：任意M∈(1,2]，定义函数WM(x)=M−14|x−1|2+7−3M4|x−1|+M+12满足条件②，满足条件①时符合WM(1)本题主要考查了不等式的恒成立问题，灵活利用已知函数值构造函数，借助函数的单调性来处理不等式问题，属于中档题．

2023-2024学年广东省茂名市电白一中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

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