2023-2024学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知C172x=C17x+2(x∈N+)，则x=( )
A. 2B. 5C. 2或5D. 2或6
2.已知函数f(x)=e2x，则△x→0limf(1+△x)−f(1)△x=( )
A. 1B. 0C. e2D. 2e2
3.已知曲线f(x)=x3−ax2+2在点 (1,f (1))处的切线的倾斜角为34π，则实数a=( )
A. −2B. −1C. 2D. 3
4.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A. 40个B. 42个C. 48个D. 52个
5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A. 36种B. 48种C. 72种D. 96种
6.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，满足xf′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f(ex)−ex>0的解集是( )
A. (0,e2)B. (ln2,+∞)C. (−∞,ln2)D. (e2,+∞)
7.在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)8的展开式中，含x2的系数是
( )
A. 83B. 84C. 55D. 88
8.2022年北京冬奥会结束了，有7名志愿者合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左㙐，乙不站最右端，丙不站正中间，则理论上他们的排法有( )
A. 3864种B. 3216种C. 3144种D. 2952种
9.已知函数f(x)=xlnx+ax2+a2在区间(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−12)B. (−∞,−1)C. (−∞,−12]D. (−∞,−1]
10.已知函数f(x)=lnx，则函数g(x)=f(x)−f′(x)的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
11.已知函数f(x)=tanx，则曲线y=f(x)在x=π处的切线方程为______．
12.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=−1时有极值0，则a+b=______．
13.在(3x−3x)n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于______．
14.在(x−1 x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为 ．
15.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有______种(用数字作答)．
16.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种(用数字作答)．
17.(2x+x)(x−1)5的展开式中x3的系数为______．
18.若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是__________．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
求下列函数的导函数．
(1)y=cs(3x−2)；
(2)y=23x+1；
(3)f(x)=excsx；
(4)f(x)=csxx．
20.(本小题12分)
已知二项式(x2+1 x)n(n∈N*)的展开式中，第7项为常数项．
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有有理项．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(t+1)x−lnx．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若∀x∈[1,e]，不等式f(x)≥3x+2x恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由C172x=C17x+2(x∈N+)
可得2x=x+2或2x+x+2=17，解得x=2或5．
故选：C．
根据已知条件，结合组合数的性质，即可求解．
本题主要考查组合数的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【解答】
解：∵f′(x)=2e2x，
∴△x→0limf(1+△x)−f(1)△x=f′(1)，
∴f′(1)=2e2，
故选：D．
【分析】
先求出f′(x)，△x→0limf(1+△x)−f(1)△x=f′(1)，能求出结果．
本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的合理运用．
3.【答案】C
【解析】解：求导函数可得f′(x)=3x2−2ax
∵函数f(x)=x3−ax2+2在x=1处的切线倾斜角为34π，∴f′(1)=−1，
∴3−2a=−1，
∴a=2．
故选：C．
求得导函数，利用f(x)=x3−ax2+2在点(1,f(1))处切线的倾斜角为34π，可得f′(1)=−1，由此可求a的值．
本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、若0在个位，
此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，
有A52=20个没有重复数字的三位偶数；
②、若0不在个位，
此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，
0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，
此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数；
综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数；
故选：D．
由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①、若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②、若0不在个位，此时0可能在首位，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．
本题重点考查两个计数原理的综合应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，分两种情况讨论；
①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有2C31A32=36种坐法；
②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有3A32A21=36种坐法．
故共有36+36=72种坐法．
根据题意，按空位的位置分两种情况讨论，①两端恰有两个空座位相邻，②两个相邻的空座位不在两端；分别求出两种情况下的坐法数目，进而相加可得答案．
本题考查排列、组合的综合运用，分类讨论时，按一定的标准，做到补充不漏．
6.【答案】C
【解析】解：设g(x)=f(x)x(x>0)，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x2<0，
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，
∵f(2)=2，∴g(2)=f(2)2=1，
不等式f(ex)−ex>0等价于g(ex)=f(ex)ex>1=g(2)，
∴0故选：C．
构造新函数g(x)=f(x)x(x>0)，求导后可知g(x)在(0,+∞)上单调递减；由f(2)=2可推出g(2)=1；不等式f(ex)−ex>0等价于g(ex)>1=g(2)，从而有0本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项式系数的性质，组合数性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
通过求出各项二项式中x2项的系数，利用组合数的性质求和即可．
【解答】
解：(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)8的展开式中，含x2项的系数：
C32+C42+C52+C62+C72+C82
=3+6+10+15+21+28
=83．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
①甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有5A44=120种情况；
甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，
再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有5×4×A44=480种情况，
两种情况合并，共有(5+5×4)A44=600种情况；
②若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①共有(5+5×4)A44=600种情况；
③若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，
乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法，
最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有4×(5+4×4)A44=2016种情况；
综上，则共有(5+5×4)A44+(5+5×4)A44+4×(5+4×4)A44=3216种不同的站法．
故选：B．
根据题意，分3种情况讨论：①甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的中个人全排列；②若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①；③若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列，最后由分类计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=xlnx+ax2+a2在区间(0,+∞)上单调递减，
∴f′(x)=lnx+1+2ax≤0在(0,+∞)上恒成立⇒−2a≥lnx+1x在(0,+∞)上恒成立．
令g(x)=lnx+1x，则g′(x)=1−(lnx+1)x2=−lnxx2>0⇒0∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
g(x)max=g(1)=1，
∴−2a≥1⇒a≤−12，
∴a的取值范围是(−∞,−12]．
故选：C．
f′(x)=lnx+1+2ax≤0在(0,+∞)上恒成立，则−2a≥lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=lnx+1x，求出g(x)的最大值，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】解：由f(x)=lnx，则f′(x)=1x，
则g(x)=f(x)−f′(x)=lnx−1x．
函数g(x)的定义域为(0,+∞)，
g′(x)=1x+1x2>0在x∈(0,+∞)上恒成立，
所以函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，
而g(1)=ln1−1=−1<0，g(2)=ln2−12=ln2−ln e>0．
所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点．
故选：B．
求出函数f(x)的导函数，把f(x)及其导函数代入函数g(x)中，对函数g(x)求导可知函数g(x)是单调函数，且g(1)<0，g(2)>0，则函数g(x)的零点所在的区间可求．
本题考查了导数的运算，考查了函数零点的存在性定理，在区间(a,b)上，如果函数f(x)满足f(a)⋅f(b)<0，则函数f(x)在(a,b)上一定存在零点，此题是基础题．
11.【答案】x−y−π=0
【解析】解：∵f(x)=tanx，
∴f′(x)=1cs2x，
则f′(π)=1.又f(π)=0，
∴曲线y=f(x)在x=π处的切线方程为y−0=x−π，即x−y−π=0．
故答案为：x−y−π=0．
求出原函数的导函数，得到函数在x=π处的导数值，再求出f(π)的值，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
12.【答案】11
【解析】解：∵f(x)=x3+3ax2+bx+a2，
f′(x)=3x2+6ax+b，函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=−1时有极值0，
可得 f(−1)=0f′(−1)=0⇒−1+3a−b+a2=03−6a+b=0，
联立可得 a=2b=9或a=1b=3，
a=1，b=3时函数f(x)=x3+3x2+3x+1，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0
函数在R上单调递增，函数无极值，舍，
所以a+b=11．
故答案为：11．
对函数进行求导，根据函数f(x)在x=−1有极值0，可以得到f(−1)=0，f′(−1)=0，代入求解即可
本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在x0取得极值⇒f′(x0)=0.反之结论不成立，即函数有f′(x0)=0，函数在该点不一定是极值点，(还得加上在两侧有单调性的改变)，属中档题．
13.【答案】252
【解析】解：∵在(3x−3x)n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，
∴2n=256，解得n=8，
∴(3x−3x)8中，Tr+1=C8r(3x)8−r(−3x)r=(−3)rC8rx8−4r3，r=0，1，…，8，
∴当8−4r3=0，即r=2时，常数项为T3=(−3)2C82=252．
故答案为：252．
根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得n=8.在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
14.【答案】70
【解析】解：由只有第5项的二项式系数最大可得：n=8，
∴通项公式Tr+1=C8rx8−r(−1 x)r=(−1)rC8rx8−32r，
令8−32r=2，解得r=4，
∴展开式中含x2项的系数为(−1)4C84=70．
故答案为：70．
先由二项式系数最大确定n，再由通项公式求含x2项的系数即可．
本题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题．
15.【答案】60
【解析】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有A43=24种；
一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有C32A42=36种，
共有24+36=60种．
故答案为：60．
分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．
本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
16.【答案】420
【解析】解：根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，
分2步进行分析：
对于区域①②③，三个区域两两相邻，有A53=60种情况，
对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有3种情况，
若④与②的颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，此时区域④⑤的情况有2×2=4种，
则区域④⑤有3+4=7种情况，
则一共有60×7=420种涂色方案；
故答案为：420．
根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，进而分2步讨论区域①②③与区域④⑤的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
17.【答案】−20
【解析】解：根据(x−1)5的展开式Tr+1=C5r⋅(−1)r⋅x5−r，(r=0,1,2,3,4,5)；
当r=1时，与2x配对，得到的x3系数为−1×2×C51=−10，
当r=3时，与x配对，得到的x3的系数为−C53=−10．
故展开式中x3的系数为−10−10=−20．
故答案为：−20．
直接利用二项式的展开式求出结果．
本题考查：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
18.【答案】(−∞,1e2]
【解析】解：设f(x)=lnx−kx−1，
则f′(x)=1x−k=1−kxx (x>0)，
若k≤0，则f′(x)>0，f(x)为(0,+∞)上的增函数，
∵x→0时，f(x)→−∞，
∴f(x)有且只有一个零点，即此时方程kx+1=lnx有解，
若k>0，则f(x)在(0,1k)上为增函数，在(1k,+∞)上为减函数，
要使函数f(x)有零点，需f(1k)≥0，
即−lnk−2≥0，解得k≤1e2 ，
∴0综上所述：k≤1e2．
故答案为(−∞,1e2].
设f(x)=lnx−kx−1，将方程kx+1=lnx有解问题转化为函数f(x)有零点问题，进而利用导数研究函数f(x)的单调性和极值，找到使函数有零点的k的范围．
本题主要考查了方程的根与函数零点间的关系，构造函数解决零点存在性问题的方法，导数在函数单调性和极值中的应用，转化化归的思想方法．
19.【答案】解：(1)由y=cs(3x−2)，得y′=−3sin(3x−2)；
(2)由y=23x+1，得y′=3⋅ln2⋅23x+1；
(3)由f(x)=excsx，得f′(x)=excsx−exsinx=ex(csx−sinx)；
(4)由f(x)=csxx，得f′(x)=−xsinx−csxx2．
【解析】根据题意，根据基本初等函数的求导公式以及求导法则以及复合函数的求导法则，即可求得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)Tk+1=Cnk(x2)n−k⋅(1 x)k=Cnk(12)n−kxn−3k2，
∵第7项为常数项，∴k=6且n−3k2=0，
∴n−9=0，∴n=9．
(2)由(1)知Tk+1=C9k(12)9−kx9−3k2，
要使Tk+1为有理项，只需9−3k2为整数，且0≤k≤9，
∴当k=0，2，4，6，8时，Tk+1为有理项为：
T1=C90(12)9x9=1512x9，
T3=C92(12)7x6=932x6，
T5=C94(12)5x3=6316x3，
T7=C93(12)3x0=212，
T9=C98×12⋅x−3=92x3．
【解析】(1)先写出二项式的通项，再根据第7项为常数项求出n的值．
(2)由(1)知Tk+1=C9k(12)9−kx9−3k2，则9−3k2为整数，且0≤k≤9，求出符合条件的k的值，即可得到展开式中所有有理项．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=t+1−1x=(t+1)x−1x，
当t≤−1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当t>−1时，由f′(x)>0，得x>1t+1，函数f(x)在(1t+1,+∞)上单调递增．
由f′(x)<0得x<1t+1，函数f(x)在(0,1t+1)上单调递减．
综上所述，当t≤−1时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当t>−1时，函数f(x)在(1t+1,+∞)上单调递增，在(0,1t+1)上单调递减．
(2)不等式f(x)≥3x+2x在x∈[1,e]恒成立，
即(t+1)x−lnx≥3x+2x，等价于t≥2x2+lnxx+2，
由题意知，不等式t≥2x2+lnxx+2对于∀x∈[1,e]恒成立．
令g(x)=lnxx+2x2+2，则g′(x)=1−lnxx2−4x3=x−xlnx−4x3，
又x∈[1,e]时，xlnx≥0，x<4，∴x−xlnx−4<0，∴g′(x)<0，
∴g(x)在[1,e]上单调递减，∴t≥g(1)=4，
即实数t的取值范围是[4,+∞)．
【解析】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及由不等式的恒成立求解参数范围问题，分离常量是常见的处理方法，属于中档题．
(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性；
(2)由已知不等式可先分离参数，然后构造函数，转化为求解函数的最值，结合导数可求．