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2024届广东省湛江市高三一模数学试题
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这是一份2024届广东省湛江市高三一模数学试题，文件包含精品解析2024届广东省湛江市高三一模数学试题原卷版docx、精品解析2024届广东省湛江市高三一模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数是偶函数，则实数（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，均为单位向量，，若向量与向量的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献．下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm，下底直径为18cm，高为24cm，则其容积约为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，是的导函数，即，，…，，，则（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A. 事件M与事件N相互独立B. 事件X与事件Y相互独立
C. 事件M与事件Y相互独立D. 事件N与事件Y相互独立
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：
下列说法正确的有（ ）
参考公式：，其中．
附表：
A.
B.
C. 根据小概率值独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联
D. 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联
10. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ）
A.
B. 若以线段AB为直径圆过点F，则
C. 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则
D. 若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切
11. 在直三棱柱中，，，，分别为和的中点，为棱上的一点，且，则下列选项中正确的有（ ）
A. 三棱柱存在内切球
B. 直线被三棱柱的外接球截得的线段长为
C. 点在棱上的位置唯一确定
D. 四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知全集为实数集，集合，，则______．
13. 已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为______．
14. 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若外接圆的直径为，求的取值范围．
16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的等边三角形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若点为棱中点，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为．
（1）甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
（2）证明：数列为等比数列．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
19. 已知为双曲线上一点，分别为双曲线左、右顶点，且直线与的斜率之和为．
（1）求双曲线方程；
（2）不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点．
性别
是否患过某流行疾病
合计
患过该疾病
未患过该疾病
男
b
女
c
合计
80
110
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数是偶函数，则实数（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，均为单位向量，，若向量与向量的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献．下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm，下底直径为18cm，高为24cm，则其容积约为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，是的导函数，即，，…，，，则（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A. 事件M与事件N相互独立B. 事件X与事件Y相互独立
C. 事件M与事件Y相互独立D. 事件N与事件Y相互独立
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：
下列说法正确的有（ ）
参考公式：，其中．
附表：
A.
B.
C. 根据小概率值独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联
D. 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联
10. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ）
A.
B. 若以线段AB为直径圆过点F，则
C. 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则
D. 若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切
11. 在直三棱柱中，，，，分别为和的中点，为棱上的一点，且，则下列选项中正确的有（ ）
A. 三棱柱存在内切球
B. 直线被三棱柱的外接球截得的线段长为
C. 点在棱上的位置唯一确定
D. 四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知全集为实数集，集合，，则______．
13. 已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为______．
14. 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若外接圆的直径为，求的取值范围．
16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的等边三角形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若点为棱中点，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为．
（1）甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
（2）证明：数列为等比数列．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
19. 已知为双曲线上一点，分别为双曲线左、右顶点，且直线与的斜率之和为．
（1）求双曲线方程；
（2）不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点．
性别
是否患过某流行疾病
合计
患过该疾病
未患过该疾病
男
b
女
c
合计
80
110
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
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