天津市滨海新区塘沽第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学练习9

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1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用方向向量求出直线斜率即可求出倾斜角.
【详解】由题意，因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率，
又,所以，因为,所以．
故选：B．
2. 双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线标准方程，写出顶点坐标与渐近线方程，利用点到直线距离公式，可得答案.
【详解】因为双曲线的上顶点为，渐近线方程为，
所以双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为.
故选：A.
3. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ）
A. 2B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得.
【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，，
得，则，解得，
所以实数.
故选：A
4. 已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（ ）
A. B. C. 或D. －3或
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式和求和公式进行基本量的计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，则，
解得:或（舍去），所以，所以.
故选:B.
5. 已知直线与圆：交于，两点，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用半弦长、半径、弦心距的关系，即可得到弦长.
【详解】由题意得圆：，
则圆心到直线的距离为，
所以.
故选：B.
6. 如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可.
【详解】因为分别为的中点，所以.
因为为的重心，所以，
所以.
故选：B.
7. 已知等差数列的前项和为，若，则取得最大值时，n的值是（ ）
A. 23B. 13C. 14D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：，，即可得到答案.
【详解】因为是等差数列，且，
所以，，
即，所以，，
因为，所以等差数列是递减数列，
所以当时，取得最大值.
故选：D.
8. 已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基底的概念及空间向量的共面定理一一分析即可.
【详解】易知：，则与共面，
同理，，
即、均与共面，
所以A、B、D三项均不能和构成空间的另一个基底，故A、B、D错误；
设，显然无法成立，即与不共面，故C正确.
故选：C
9. 若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得到两直线的交点坐标，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】联立，解得，故两直线的交点为.
因为交点在第一象限，所以，解得.
故选：A
10. 如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A. 4.96B. 5.06C. 4.26D. 3.68
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案.
【详解】如图，设抛物线的方程为，抛物线经过点，
所以，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米.
故选：A.
11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案.
【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，
当直线与曲线相切时，
则圆心到直线的距离为，
可得（正根舍去），
当直线过、时，，
如图，直线与曲线恰有两个交点，则.
故选：C.

12. 记是各项均为正数的数列的前n项和，．数列满足，且则下列选项错误的是（ ）
A.
B.
C. 数列的最大项为
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件结合与的关系，解出数列的通项公式，再求选项中数列求和和最值问题.
【详解】由 与 ，得 ，又，
所以 ，即
因为，所以，所以.
又 ，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.
则，所以．
当时，， 也符合.
∴，A选项正确；
当时，
，
而时，也成立，故B选项正确；
设，，
当时，解得，
故数列的最大项为，C选项错误；
，D选项正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：题中数列不等式涉及放缩，通项放缩技巧证明数列不等式的关键在于观察通项特征和所证结论，适当调整放缩幅度，做到放缩得恰到好处，同时还要做到放缩求和两兼顾.
二、填空题
13. 647和895的等差中项是__________；4和16的等比中项是__________ .
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据等差中项和等比中项的定义求得正确答案.
【详解】设是647与895的等差中项，则.
设是4与16的等比中项，则.
故答案为：；
14. ，若，则实数值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由向量线性运算的坐标表示，和向量垂直的坐标表示，求实数的值.
【详解】，则，
又，则，解得.
故答案为：2
15. 直线的斜率和在轴上的截距分别为__________，__________．
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】根据直线斜率和截距的定义求解即可.
【详解】直线，即.
当时，.
故直线的斜率和在轴上的截距分别为，.
故答案为：；
16. 已知直线，，当，两条直线的距离是______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用直线平行斜率相等可求得的值，再利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】当时，则有，
解得，
此时直线的方程为：，
所以，
故答案为：2.
17. 已知椭圆C的一个焦点为，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为______；若P为椭圆C上一动点，，则的最小值为______．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质可以求出椭圆方程，
将所求等式的最小值转化为两点之间直线距离最短即可.
【详解】因为椭圆C的一个焦点为，所以椭圆C的焦点在y轴上，且，
因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以，得，
因为，所以椭圆C的标准方程为；
将M（3,3）代入椭圆方程，得 ，所以M点在椭圆外，
作图如下：
设椭圆C的另一个焦点为，则，
所以．
当，P，M三点共线时，取得最小值，
且最小值，
所以的最小值为1；
故答案为：，1.
18. 数学家康托（）在线段上构造了一个不可数点集——康托三分集.将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列表示第次操作后余下的区间段长度.
（1）_______________；
（2）若，都有恒成立，则实数的取值范围是________________.
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】由题意直接求出，，，.归纳出数列为等比数列，求出.利用分离常数法得到.记，判断出单调性，求出最大，即可求出的取值范围.
【详解】由题意可知：，，，.
所以.
所以数列为首项，公比的等比数列，所以.
因为，都有恒成立，且，所以恒成立，只需
记，显然，.
所以.
令，即，即，解得：.
因为，所以，可以取包含以后的所有正整数，即以后递减.
而
，
所以.
综上所述：当时，最大.
所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】求数列最值的方法：（1）利用函数单调性求出最值；（2）利用数列的性质求出最大项或最小项.
19. 如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线距离的函数关系，再求其最小值作答.
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因点P在线段上，则，，
，向量在向量上投影长为，
而，则点Р到直线的距离
，当且仅当时取“=”，
所以点Р到直线的距离的最小值为.
故答案：
20. 已知双曲线（，），焦点，（），若过左焦点的直线和圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则直线的斜率是__________，双曲线的离心率是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，利用直线和圆相切的性质得到，从而利用求得答案；第二空，求得，利用可得a,b,c的齐次式，求得离心率.
【详解】如图，
设圆的圆心为B，则圆心坐标，半径为，
则，
设过左焦点的直线和圆相切于点C，连接，
则，所以 ，
得，所以直线的斜率是；
又轴，将代入得 ，则，
所以，化简得，
求解得，
故答案为：；
三、解答题
21. 已知圆，圆.
（1）试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
【答案】（1）圆C与圆M相交，理由见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；
（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.
【小问1详解】
把圆M的方程化成标准方程，得，
圆心为，半径.
圆C的圆心为，半径，
因为，
所以圆C与圆M相交，
【小问2详解】
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，
由题意得，解得，
故直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
22. 直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值；
（3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
小问1详解】
证明：在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，则，
易知平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
【小问2详解】
解：，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，.
因此，直线与平面夹角的正弦值为.
【小问3详解】
解：，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，则，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
23. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
（1）求和的通项公式；
（2）已知，数列满足，求数列的前2n项和；
（3）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）（）；（）
（2）（）
（3）（）
【解析】
【分析】（1）利用等比基本量法结合等差中项列式可求得通项公式，再利用等差基本量法求得通项公式；
（2），令，得到，由裂项相消求得，令，得，由错位相减求得，即可求解；
（3）代入得，对指数型式子配凑进行裂项可得，再由裂项相消即可求解.
【小问1详解】
（1）解：或，
又，则，∴（）．
设等差数列的公差为，由题意得，，，
即，所以（）．
【小问2详解】
（2）解：时，，
∴
．
时，
∴
，①
，②
由①②可得，
∴
∴（）．
【小问3详解】
（3）由（1）知，则
∴
故（）.
24. 已知点在椭圆上，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交于两点，
①若，求直线的方程；
②求的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）①直线的方程为或；②
【解析】
【分析】（1）代入点得到方程，再结合离心率即可得到方程；
（2）①利用设线法将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量的定义得到，代入计算即可；②利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式，再利用换元法得到其范围即可.
【小问1详解】
因为点在椭圆上，
所以①，
因为椭圆的离心率为，所以，
因为，所以，②
由①②得，，所以椭圆方程为.
【小问2详解】
设过点的直线交于两点，
①（i）当直线轴，则，所以不满足题意；
（ii）当直线斜率存在，设直线方程为，
联立方程，化简得，；
因为，且
若，则，
所以，代入，
化简得，，解得，
所以直线的方程为或.
②（i）当直线轴，则的面积；
（ii）由①中（ii）知，
又到直线的距离，
所以，
令，所以，所以，
因为，所以，所以；
综上所述，的面积取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，将直线与椭圆联立得到韦达定理式，根据交点横坐标的关系得到方程解出参数，再利用弦长公式和点到直线距离公式得到面积表达式，通过换元等方法求出其范围即可，最后不忘考虑直线斜率不存在的情况.