陕西省韩城市2023-2024学年高二上学期期末统考数学试题

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注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在空间直角坐标系中，若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标表示计算即可.
【详解】由题意可知的坐标为.
故选：A
2. 一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A. 3种B. 504种C. 24种D. 12种
【答案】C
【解析】
【分析】由分类加法计数原理即可求解.
【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同取法共有种.
故选：C.
3. 已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考查条件概率定义.
详解】根据条件概率定义，所以D正确.
故选：D.
4. 若随机变量，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】由二项分布的方差公式即可求解.
【详解】由题意可得.
故选：B.
5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据正态分布的性质求解即可，
【详解】因为随机变量服从正态分布，，
所以.
故选：A.
6 已知直线和圆，则直线l与圆C（ ）
A. 相切B. 相离
C. 相交D. 相交且过圆心
【答案】A
【解析】
【分析】计算直线到圆心的距离，将这个距离和半径比较即可.
【详解】由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，即，
所以直线与圆相切.
故选：A.
7. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
【答案】B
【解析】
【分析】分别考虑甲站在排头或排尾再结合捆绑法，求解即可.
【详解】若甲站在排头，则丙和丁相邻，则共有种方法，
若甲站在排尾，则丙和丁相邻，则共有种方法，
则共有：种方法.
故选：B.
8. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案.
【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，

则椭圆方程为，
则，且，解得，，
故该卫星远地点离地面的距离为，
又，所以.
故选：D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据排列数与组合数的性质与计算公式一一判定即可.
详解】根据组合数公式可知，显然两式相等，故A正确；
根据排列数公式可知，故B正确；
易知，显然两式不等，故C错误；
，显然两式相等，故D正确.
故选：ABD
10. 已知双曲线的焦距为，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的有（ ）
A. C的离心率为
B. C的标准方程为
C. C的渐近线方程为
D. C的虚半轴长为
【答案】BC
【解析】
【分析】由双曲线的焦距可求出，再由两条渐近线的夹角可得，然后依次判断个选项即可.
【详解】由题意知，焦距，，又因为双曲线的渐近线方程为，且两条渐近线的夹角为，所以，又，所以，
所以双曲线C的离心率为，故A错误；
双曲线C的标准方程为，故B正确；
双曲线C的渐近线方程为，故C正确；虚半轴长，故D错误；
故选：BC.
11. 设两条不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用空间向量研究空间位置关系一一判定选项即可.
【详解】对于A项，由，为不同的直线，可知，且，
则，故A错误；
对于B项，若，则且，
又为不同的直线，所以，故B正确；
对于C项，若，则且，又，所以，故C正确；
对于D项，若，则，所以，故D正确.
故选：BCD
12. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为0.1，收到0的概率为0.9；发送1时，收到0的概率为0.2，收到1的概率为0.8．下列说法正确的有（ ）
A. 若在信道内依次发送信号1，0，则收到的信号为1，0的概率为0.02
B. 若在信道内依次发送信号1，0，则收到的信号为0，0的概率为0.18
C. 若在信道内依次发送信号0，1，则收到的信号为1，0的概率为0.02
D. 若收到的信号为1，1，则在信道内依次发送的信号为1，0的概率为0.09
【答案】BC
【解析】
【分析】由独立乘法公式即可判断ABC，由条件概率即可判断D.
【详解】对于A，所求概率为，故A错误；对于B，所求概率为，故B正确；
对于C，所求概率为，故C正确；对于D，所求概率为，故D错误.
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 圆的半径为________．
【答案】
【解析】
【分析】将圆化为标准方程即可得出答案.
【详解】将圆化为标准方程可得：
.
所以圆的半径为.
故答案为：.
14. 二项式的展开式中，项的系数是______．
【答案】80
【解析】
【分析】根据二项式定理，写出通项，根据展开项的概念，建立方程，可得答案.
【详解】展开式的通项公式为，．
令，解得，则项的系数是．
故答案为：.
15. 如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得.
【详解】在四面体中，由分别为线段的中点，
得，
而，由空间向量基本定理得：，
所以.
故答案为：.
16. 过抛物线的焦点F分别作两条相互垂直的直线，，若直线与抛物线C交于，两点，直线与抛物线C交于，两点，且，则四边形ADBE的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】设出两直线的方程，求出、，表示出四边形面积，即可得出答案.
【详解】抛物线的焦点，
因为和的横坐标相同且在抛物线上，易知关于x轴对称且夹角为，
所以直线的斜率为，则直线的斜率为，显然直线和的斜率都存在，
则设直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，消元得，则，
即，同理，
所以四边形的面积为：，
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知两点．
（1）求直线的斜率和倾斜角；
（2）求直线在轴上的截距．
【答案】（1），
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据题意，由直线的斜率公式计算可得的值，进而分析可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论求出直线的方程，据此分析可得答案．
【小问1详解】
根据题意，直线的斜率为，倾斜角为，
由两点，得斜率，
则，即．
【小问2详解】
由（1）知，直线的斜率，则其方程为，
即，令，则直线在轴上的截距为1．
18. 为了检测产品质量，某企业从甲、乙两条生产线上分别抽取200件产品作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为．根据该产品的质量标准，规定质量指标值在内的产品为“优等品”，否则为“非优等品”．抽样统计后得到的数据如下：
（1）将下面的列联表补充完整；
（2）根据独立性检验的思想，判断能否有99%的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析；
（2）没有99%的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关.
【解析】
【分析】（1）由题中信息容易完善列联表；
（2）根据，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
【小问1详解】
依题意可列联表如下表所示：
【小问2详解】
由（1）知，
所以没有99%的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关.
19. 某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．
（1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；
（2）若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；
（2）利用分布列步骤求解并求得期望.
【小问1详解】
甲3局全胜的概率为,
乙3局全胜的概率为，
进行3局比赛决出冠亚军的概率为
【小问2详解】
的可能取值为1，2，
，
，
故的分布列为：
故．
20. 某地区响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放．环保部门收集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中x为年份代号，y（单位：万吨）代表新增碳排放量．
（1）请计算并用相关系数的数值说明与间具有较强的线性相关性（若，则线性相关程度较高）；
（2）求关于的线性回归方程，并据此估计该地区年的新增碳排放．
参考数据：，，，，，，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，．
【答案】（1），线性相关程度较高
（2），估计该地区年的新增碳排放万吨
【解析】
【分析】（1）通过计算相关系数来确定正确答案.
（2）根据回归方程的求法求得回归方程，并由此作出预测.
【小问1详解】
依题意，
，
所以，所以线性相关程度较高.
【小问2详解】
，
，
所以，
当时，万吨.
21. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，证明，根据线面平行的判定定理即可证明平面.（2）分别取中点，连接，以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法计算即可求出结果.
【小问1详解】
证明：
取中点，连接，
因为正三棱柱，
所以，且，
因为为线段的中点，
所以且.
所以且，
因为为中点，所以.
所以且.
所以四边形是平行四边形.
所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：
分别取中点，连接，
因为是正三棱柱，
所以，平面，.
所以平面.
所以，.
以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则.
所以.
设平面的法向量为，
所以，即，
令，解得，所以.
设直线与平面所成角为，，
则，
所以.
即直线与平面所成角为.
22. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可证明.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
证明：要证点A，D关于x轴对称，需证，即证，
不妨设直线方程为，，
联立，消去可得，
由韦达定理可得，，
所以，
因为
，
所以，故点A，D关于x轴对称.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，难度较大，解得本题的关键在于合理设出直线的方程，然后结合韦达定理代入计算.
质量指标值
甲生产线生产的产品数量
4
9
15
32
76
64
乙生产线生产的产品数量
6
7
22
45
67
53
优等品
非优等品
合计
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
合计
0.050
0.010
0.005
k
3.841
6.635
7.879
优等品
非优等品
合计
甲生产线生产的产品数量
140
60
200
乙生产线生产的产品数量
120
80
200
合计
260
140
400
1
2
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号
1
2
3
4
5
新增碳排放万吨
6.1
5.2
4.9
4
3.8