海南省海口市海南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题A卷

这是一份海南省海口市海南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题A卷，共12页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2.已知，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
3.若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
6.在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. 40D. 80
7.已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ）
A. 511B. 61C. 41D. 9
8.若函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.设，，，…，是1，2，3，…，7的一个排列.且满足，则的最大值是（ ）
A 23B. 21C. 20D. 18
10.已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
11.在边长为4的正三角形中，E，F分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，若，则实数取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
13.已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. 2D.
14.（双选）已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A. 函数图象关于点对称
B. 函数图象关于直线对称
C. 函数在上单调递增
D. 函数在上有个零点
二、非选择题（共58分）
15.（8分）已知集合，，则__________。
16.（10分）记的内角，，的对边分别为，，，向量，且．
（1）求角的大小
（2）若的面积为，，求。
17.（10分）某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有水产海鲜，水果，蔬菜，食品，日常用品等．某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问了100人，访问结果如下表所示．
（1）从被访问的100人中随机抽取2名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率；
（2）用随机抽样的方法从该地区抽取10名市民，这10名市民中使用该软件的人数记为，问为何值时，的值最大？
18.（10分）已知函数，其中.
（1）若，求的值；
（2）已知时，单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数存在，求m的最大值。
条件①：；
条件②：；
条件③：的图像与直线的一个交点的横坐标为.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
19.（10分）某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种.
方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分；
已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立.
（1）求甲得分不低于2分的概率；
（2）求乙得分的分布列及期望；
（3）甲，乙谁胜出的可能性更大？直接写出结论。
20.（10分）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为.
（1）写出的一个优划分，使其满足；
（2）对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足；
（3）对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且。
参考答案
15.【答案】或
【解析】【分析】由定义域可得，由一元二次不等式的解法可得，利用交集、补集运算求解即可．
【详解】由题，
所以或．
故答案为：或
16.【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；
（2）利用三角形面积公式得到，利用三角函数的和差公式得到，再利用正弦定理即可得解.
【小问1详解】
因为，，，
所以，
由正弦定理得，化简得，
所以，
又，所以.
【小问2详解】
由题意得，则，
由，
得，则，
因为，所以，
所以.
17.【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由二项分布的概率计算公式列出式子，然后即可得到其最大值.
【小问1详解】
设事件为“从被访问的100人中随机抽取2名，所抽取的都是女性顾客且使用该软件”，从被访问的100人中随机抽取2名，共有个基本事件，事件共有个基本事件，
则．
【小问2详解】
由题意，服从二项分布，且使用该软件的概率为，
则．
所以．
设．
若，则；
若，则．
所以时，最大。
18.【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）结合三角恒等变换公式，将代入计算即可得；
（2）若选②，将与计算出来，即可得出，结合正弦函数的性质即可得解；若选③，借助函数的对称性计算即可得，结合正弦函数的性质即可得解；不可选①，代入计算后，结合三角函数的值域可知此时函数不存在.
【小问1详解】
法一：
，
即可得，
又，所以；
法二：
，
所以即得，
又，所以；
【小问2详解】
，
选择②，，，
因为，所以，
因为的最小正周期，，
所以由可得，
所以，；
或法二：因为，，
所以即，
因为，所以，；
选择③，，
的图像与直线的一个交点的横坐标为，
即可得，所以，
又，所以，
法一：令，，
解得，即的单增区间为，
又时，单调递增，
所以，是的一个子区间，
所以，，即可得，又，
所以，故是的一个子区间，所以m的最大值为；
法二：因为，，所以，
因为在上单增，
所以，，
即可得，，，
所以，所以，可得m的最大值为.
不可选择条件①，理由如下：
若，则，即，
由，故该方程无解，故函数不存在，故不可选①。
19.【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）甲获胜的可能性更大
【解析】【分析】（1）计算出及的概率，求和即可得；
（2）写出Y的可能取值后计算对应的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望；
（3）分别计算出甲获胜的概率与乙获胜的概率，比较大小即可得.
【小问1详解】
设甲选择方式一参加比赛得分为，
，
，
设甲得分不低于2分为事件A，
则；
【小问2详解】
设乙选择方式二参加比赛得分为Y，Y的可能取值为0，2，4，6，
，，
，，
所以Y的分布列为：
所以；
【小问3详解】
甲获胜的概率为
，
乙获胜的概率为，
故甲获胜的可能性更大。
20.【答案】（1）（答案不唯一）
（2）证明见解析； （3）证明见解析
【解析】（1）根据题中定义写出一个符合的即可；
（2）根据题意，以的取值与1的大小比较为标准，分类讨论即可证明；
（3）根据题意，分类讨论即可；
【小问1详解】
由题因为，
所以若使，则可以，
此时，满足题意.
【小问2详解】
根据题意对于任意点集，不妨设，
且，，，
若，则，令，
则，此时恒有；
若，则，可令，
此时，则，满足题意；
若，则，令，
此时，则，满足题意；
若，则，则
令，
此时，则，满足题意；
所以对于任意点集，都存在的一个优划分，满足.
【小问3详解】
不妨设，
若，则B取其中一点即可满足；
若，
则必存在正整数k使得，
则有，于是，
又因为
，当且仅当时取等号；
于是取，
即可满足且，命题得证。
使用人数
未使用人数
女性顾客
40
20
男性顾客
20
20
Y
0
2
4
6
P