湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高三下学期4月期中考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高三下学期4月期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了林业部门规定，已知函数f，已知定义在R上的函数f，已知⊙A等内容，欢迎下载使用。

1．若集合A＝{x|x＝4k﹣3，k∈N}，B＝{x|（x+3）（x﹣9）≤0}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin2A＝sin2B”是“a＝b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设a∈R，则“a＝1”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300～500年之间的古树为二级，树龄100～299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树属于（ ）
A．一级B．二级C．三级D．不是古树
5．如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，以C1为球心，为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωxcsωx﹣1（ω＞0）在上恰有4个不同的零点，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在R上的函数f（x）满足，f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞0时，f（x）＞0，f（1）＝1，则关于x的不等式21+f（x）+21﹣f（x）+2f（x2）≤7的解集为（ ）
A．[1，+∞）B．[﹣1，1]C．[﹣2，2]D．[2，+∞）
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在（2400，3200]家庭数量超过总数的三分之一
B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个
C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元
D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元
（多选）10．已知⊙A：x2+y2﹣10x﹣10y＝0，⊙B：x2+y2﹣6x+2y﹣40＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆位置关系是相交
B．两圆的公共弦所在直线方程是x+3y+10＝0
C．⊙A上到直线x+3y﹣10＝0的距离为的点有四个
D．若P（x，y）为⊙B上任意一点，则
（多选）11．已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径，B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．△SAB面积的最大值为
C．直线SB与平面SAC所成角的最大值为
D．若B是的中点，则（SF+CF）2的最小值为
（多选）12．下列说法中，其中正确的是（ ）
A．命题：“∃x≥0，x3﹣x﹣1≥0”的否定是“∀x＜0，x3﹣x﹣1＜0”
B．化简的结果为2
C．…
D．在三棱锥P﹣ABC中，，，点D是侧棱PB的中点，且，则三棱锥P﹣ABC的外接球O的体积为．
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中x3的系数为 ．
14．二项式的展开式中的常数项为 ．
15．已知双曲线C：＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的左支上，AF2交C的右支于点B，∠AF1B＝，＝0，则C的焦距为 ，△AF1F2的面积为 ．
16．经过坐标原点O的直线与椭圆C：相交于A、B两点，过A垂直于AB的直线与C交于点D，直线DB与y轴相交于点E．若，则C的离心率为 ．
四．解答题（共6小题，70分）
17．已知首项为3的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1+an＝Sn+5•4n．（10分）
（1）求证：数列{an﹣4n}为等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn+1+Sn＝2，a1＝1．（12分）
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn＝|a1a2⋯an+1|，cn＝lg2bn，数列的前n项和为Tn，求Tn．
19．近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．（12分）
（1）已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；
（2）三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为p，2p，0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且E（X）＝1.7，求p的值及X的分布列．
20．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平．一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案．（12分）
方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务，每次另外收费200元；
方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元．
（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月求这3个月，恰好是1个13次服务、2个14次服务的概率；
（3）依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为M1，M2，短轴长为2，点C上的点P满足直线PM1，PM2的斜率之积为﹣．（12分）
（1）求C的方程；
（2）若过点（1，0）且不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点，记直线M1A，M2B交于点Q．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝x2﹣mx+2lnx（m∈R）．（12分）
（1）若f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若4＜m＜5，且f（x）有两个极值点x1，x2，其中x1＜x2，求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：:CBACC 6-8:BDB
二．多选题（共4小题）
9．：ABD．
10：ACD．
11．：AC．
12．BCD．
三．填空题（共4小题）
13 945．
14：240．
15．：2；12+6．
16．．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）证明：由首项为3的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1+an＝Sn+5•4n，
可得an+1＝Sn+1﹣Sn＝﹣an+5•4n，
即有an+1﹣4n+1＝﹣（an﹣4n），
则数列{an﹣4n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；
（2）由（1）可得an﹣4n＝（﹣1）n，
即为an＝4n+（﹣1）n，
则Sn＝（4+16+...+4n）+（﹣1+1﹣1+（﹣1）n）
＝+＝﹣﹣．
18．
【解答】解：（1）因为2Sn+1+Sn＝2，
则当n≥2是，2Sn+Sn﹣1＝2，
两式相减可得，2an+1+an＝0（n≥2），
所以（n≥2），
当n＝1时，有2（a1+a2）+a1＝2，
因为a1＝1，
所以，
故，
所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
则；
（2）因为bn＝|a1a2⋯an+1|＝＝，
所以cn＝lg2bn＝，
则，
所以Tn＝＝＝．
19．
【解答】解：（1）设A1＝“第一天选择抖音平台”，Bi＝“第一天选择快手平台”，A2＝“第二天选择抖音平台”，
则P（ A1）＝0.6，P（B1）＝0.4，P（ A2|A1）＝0.6，P（ A2|B1）＝0.7，
则P（A2）＝P（A1）P（ A2|A1 ）+P（B1）P（ A2lB1）＝0.6×0.6+0.4×0.7＝0.64．
（2）由题意得，X的取值为0，1，2，3，
且P（X＝0）＝（1﹣p）（1﹣2p）（1﹣0.5）＝p2﹣p+，
P（X＝l）＝p（1﹣2p）（1﹣0.5）+（1﹣p）•2p•（1﹣0.5）+（1﹣p）（1﹣2p）•0.5＝﹣p2，
P（X＝2）＝p•2p•（1﹣0.5）+（1﹣p）•2p•0.5+p•（1﹣2p）•0.5＝p﹣p2，
P（X＝3）＝p•2p•0.5＝p2，
所以E（X）＝﹣p2+2（p﹣p2）+3p2＝0.5+3p＝1.7，解得p＝0.4．
故X的分布列为：
20．
【解答】解：（1）由题意知，方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为y＝200x+4800，x∈N，
方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：
y＝
（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务为事件A，
则P（A）＝＝．
（3）对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为ξ元，
由条形统计图得ξ的取值为7400，7600，7800，8000，8200，
P（ξ＝7400）＝0.1，
P（ξ＝7600）＝0.4，
P（ξ＝7800）＝0.1，
P（ξ＝8000）＝0.2，
P（ξ＝8200）＝0.2，
∴ξ的分布列为：
E（ξ）＝7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2＝7800．
对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为η元，
由条形统计图得η的可能取值为7600，8100，8600，
P（η＝7600）＝0.6，
P（η＝8100）＝0.2，
P（η＝8600）＝0.2，
∴η的分布列为：
E（η）＝7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2＝7900．
∵E（ξ）＜E（η），
∴从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适．
21．
【解答】解：（1）由短轴长2，可知2b＝2，即b＝，
设P（x，y），由题意可知M1（﹣a，0），M2（a，0），
因为P在椭圆上，所以+＝1，
即y2＝b2（1﹣）＝（a2﹣x2），
因为•＝•＝＝＝﹣，
由题意可得﹣＝﹣，即＝，b＝，
可得a2＝4，
即椭圆的方程为：+＝1；
（2）由（1）可知M1（﹣2，0），M2（2，0），右焦点F2（1，0），
当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x＝1，与椭圆的方程联立，可得y2＝，即y＝±，
设A（1，），B（1，﹣），
可得直线M1A的方程为y＝（x+2）＝（x+2），
直线M2B的方程为y＝（x﹣2）＝（x﹣2），
联立，解得x＝4，y＝3，
即两条直线的交点Q（4，3）；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，
显然Δ＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
直线M1A的方程为y＝（x+2），直线M2B的方程为：y＝（x﹣2），
联立，解得（x+2）＝（x﹣2），而x1＝my1+1，x2＝my2+1，
因为＝＝，所以my1y2＝（y1+y2），
整理可得（3y2+y1）x＝4y1+12y2＝4（y1+3y2），
所以x＝4，显然（4，3）点也在直线x＝4上，
所以可得Q点在直线x＝4上．
22．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴在（0，+∞）上恒成立．
即在（0，+∞）上恒成立．
又（当且仅当x＝1时等号成立），∴m≤4；
（2）．
∵f（x）有两个极值点x1，x2，
∴x1，x2为方程2x2﹣mx+2＝0的两个不相等的实数根，
由韦达定理得：，x1•x2＝1．
∵0＜x1＜x2，∴0＜x1＜1＜x2，
又，
解得．
∴
＝
＝
＝．
设（），
则．
∴g（x）在上为减函数．
又，g（1）＝1﹣1+0＝0．
∴．
即f（x1）﹣f（x2）的取值范围为．
X
0
1
2
3
P
0.06
0.34
0.44
0.16
ξ
7400
7600
7800
8000
8200
P
0.1
0.4
0.1
0.2
0.2
η
7600
8100
8600
P
0.6
0.2
0.2