2024年浙江省宁波市初中学业水平考试数学三模冲刺练习试题（原卷+解析）

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试题卷I
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1 ．2024的相反数数是（ ）
A．B．2024C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的相反数数是
故选：C
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
【详解】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式=a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a4，故该选项符合题意；
故选：D．
3．据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，为1360000000参保人提供医保服务，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：1360000000用科学记数法表示为．
故选：C
4．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
5．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是
A．18，19B．19，19C．18，D．19，
【答案】A
【详解】试题分析：因为年龄18的人数最多为5，所以众数是18，而，故选A．
6．如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），
将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1B．3C．D．2
【答案】B
【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
则弧的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为，
故选：B．
如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，
则的解集是（ ）

A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】先求出函数表达式，再根据利用函数图像与不等式的关系解不等式即可得到答案．
【详解】解：一次函数与反比例函数的图像交于点，
，则当时，，
，
的解集是指一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的自变量的范围，即或，
故选：C．
如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个矩形，设长方形地板砖的长和宽分别为和，
则根据题意，列方程式组正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系即可解答．
【详解】解：设长方形地板砖的长和宽分别为和，
由题意得，，
故选：C．
9．设函数（为常数），下列说法正确的是（ ）
A．对任意实数，函数与轴都没有交点
B．存在实数，满足当时，函数的值都随的增大而减小
C．取不同的值时，二次函数的顶点始终在同一条直线上
D．对任意实数，抛物线都必定经过唯一定点
【答案】D
【分析】令函数值为0，可以得到一个一元二次方程，根据方程的判别式的符号即可判断A项；求出抛物线的对称轴，根据抛物线的增减性即可判断B项；先求出抛物线的顶点为 即令，消去k得：，
可知顶点在二次函数上，即可判断C项；
令和，得到方程组：，解得，
将代入，得，与k值无关，
即可判断D项．
【详解】A．∵，
∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；
B．∵，抛物线的对称轴:，
∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，
即当时，函数y的值都随x的增大而减小，
当时，函数y的值都随x的增大而增大，
即不存在，使得当时，函数y的值都随x的增大而减小，故B错误；
C．∵，
∴抛物线的顶点为
∴，消去k得：，
由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数，
即在二次函数的图象上，故C错误；
D．令和，得到方程组：，解得，
将代入，得，与k值无关，
不论k取何值，抛物线总是经过一个定点，故D正确，
故选：D．
10 .如图，点在正方形的对角线上，于点，
连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．
若，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，
根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故选：B．
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】根据提取公因式法，运用平方差公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12．一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，
摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．

【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
14．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，
经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．

【答案】20
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
15．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是__________．

【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，
根据矩形对边相等得到，推出，
根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，
得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
16．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（1）解不等式组：．
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，二次根式的性质进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，
由①得；
由②得．
所以，不等式组的解集为．
（2）解：原式
.
如图，在正方形网格上的一个，且每个小正方形的边长为1
（其中点A，B，C均在网格上）．

作绕点O逆时针旋转90°的旋转图形；
平移，使点A与点D重合，并记点B的对应点为E，点C的对应点为F；
求出的面积．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)5.5．
【分析】（1）依据△ABC绕点O逆时针旋转90°，即可得到旋转后的图形；
（2）依据点A与点D重合，即可得到平移的方向和距离，进而画出平移后的三角形；
（3）依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，△DEF即为所求；
（3）△ABC的面积＝3×4−×2×3−×1×3−×1×4＝12−3−1.5−2＝5.5．
暑期将至，学校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩
（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：

本次共抽取 名学生，b的值为 ；
在扇形统计图中，n=___，E组所占比例为___%；
补全频数分布直方图；
若全校共有2500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．
【答案】(1)150；27
(2)144；4
(3)见解析
(4)估计成绩80分以上的学生人数有1100名
【分析】（1）根据总数、频数频率之间的关系即可得出总人数，利用总数乘以频率即可得b值；
（2）利用频数除以总数可得D组占比，再由扇形统计图中圆心角度数与所占比例关系即可求得n值，E组占比为总数1减去各组占比即可；
（3）利用频数等于总数乘以频率即可求得C组学生人数；
（4）利用总人数乘以满足条件的占比即可求得满足人数的学生人数．
【详解】（1）∵A组的频数a比B组的频数b小15，且由扇形统计图可得：A占比8%，B组占比18%，
∴总人数：，
b=15018%=27（名），
∴共抽取150名，b的值为27；
（2）D组占比为：，
∴n=360°144°，
E组占比为：，
∴在扇形统计图中，n=144°，E占比4%；
（3）C组学生人数为：15030%=45（名），如下图
（4）80分以上的学生为D族和E组，
一共占比为：40%+4%=44%，
∴250044%=1100（名），
∴估计成绩80分以上的学生人数有1100名．
20．如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，
且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．
如图2，若．
(参考数值，，)

求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm
(2)点A到直线的距离约为21.5cm
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
21 . 某校开设智能机器人编程校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．
A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，
用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，
购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，
且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．
问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【解析】
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【小问1详解】
解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
【小问2详解】
设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
22．已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．

(1)试确定一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
(3)结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)点P的坐标为；
(3)或．
【分析】（1）将代入求出m，再将代入求出n，，最后将、代入一次函数即可得到答案；
（2）解出一次函数与x轴的交点，根据，求出，即可得到答案；
（3）根据函数图像直接求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，
∴的解为：或．
23．如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
直线的表达式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标．
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？
若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把代入，得：，
．
把代入得：，
，
将、代入得：，解得，．
抛物线的解析式为．
（2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P，
∵，，
∴
当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小．
∵点D是抛物线的顶点，
∴对称轴为，点D为，
∵点A、B抛物线与x轴交点，
∴点A为，
设的解析式为，则，解得：，．
的解析式为．
联立解析式得：
解得：，
点的坐标为．
（3）又，3，，
，，．
，
．
，，
，．，
．
又，
．
当的坐标为时，．
如图所示：连接，过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
．
如图所示：连接，过点A作，交轴与点．
为直角三角形，，
．
又，
．
，即，解得：．
∴
．
综上所述，当的坐标为或或时，
以、、为顶点的三角形与相似．
24．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．

(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．
①求证：直线与相切；
②若的直径为，求线段的长；
(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，

∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，

由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或
年龄（岁）
18
19
20
21
人数
5
4
1
2