千题百炼——高中数学100个热点问题（三）：第99炼 归纳推理与类比推理
展开第99炼 归纳推理与类比推理
一、基础知识：
（一）归纳推理：
1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理
2、处理归纳推理的常见思路：
（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律
（2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）
（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意
3、常见的归纳推理类型：
（1）函数的迭代：设是的函数，对任意，记，则称函数为的次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其通常具备某些特征（特征与）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到的通式
（2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。
（3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式）
（4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标进行表示，其中代表行，代表列。例如：表示第行第列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。
（二）类比推理：
1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）
2、常见的类比类型及处理方法：
（1）运算的类比：通常是运算级数相对应：
① 加法乘法，
② 数乘（系数与项的乘法）指数幂
③ 减法除法
（2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如
①在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则：
代数中的平方差公式：，和差完全平方公式： 均可推广到向量数量积中：，
②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理）
（3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如：设为等差数列，公差为；为等比数列，公比为，则
① 递推公式：
② 通项公式：
③ 双项性质：
④ 等间隔取项，在数列，中等间隔的取项：
则成等差数列 成等比数列
（4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升高时，涉及的要素也将维度升高，例如：
①位置关系：平面中的线的关系空间中的面的关系，线所成的角线面角或二面角，
②度量：线段长度图形的面积，图形面积几何体体积，点到线的距离点到平面距离
③衍生图形：内切圆内切球，外接圆外接球，面对角线体对角线
（5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标空间直角坐标系坐标，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如：
① 线段中点坐标公式：
平面：设，则中点
空间：设，则中点
② 两点间距离公式：
平面：设，则
空间：设，则
3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向，猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论
二、典型例题：
例1：已知，定义 ，经计算 照此规律，则（ ）
A. B. C. D.
思路：由定义可知：即为的导函数，通过所给例子的结果可以推断出，从而，所以
答案：C
例2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（ ）
A. B. C. D.
思路：从所给图中可发现第个图可以视为在前一个图的基础上，外面围上一个正六边形，且这个正六边形的每条边有个小正方形，设第个图的蜂巢总数为，则可知比多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即 （每条边个，其中顶点被计算了两次，所以要减），所以有，联想到数列中用到的累加法，从而由，且 则
。代入可得
答案：C
例3：将正整数排成数阵（如图所示），则数表中的数字出现在（ ）
A. 第44行第78列 B. 第45行第78列
C. 第44行第77列 D. 第45行第77列
思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即第行最后一个数为，所以考虑离较近的完全平方数：，所以位于第行，因为是第44行的最后一个数，所以为第45行中第个数，即位于第45行第78列
答案：B
例4：已知结论：“在中，各边和它所对角的正弦比相等，即”，若把该结论推广到空间，则结论为：“在三棱锥中，侧棱与平面，平面所成的角为，则有（ ）
A. B.
C. D.
思路：本题为维度推广题，平面中的线段所成的夹角推广为线面角，所以可将正弦定理的边长（一维度量）类比推广为面积（二维度量），正弦定理中为角所对的边长，则在三棱锥中推广为线面角所对的侧面面积，即所对的侧面为平面，所对的侧面为平面，所以猜测，再考虑证明其正确性。证明过程如下：
证明：分别过作平面，平面的垂线，垂足分别为
由线面角的定义可知：
同理：
得证
答案：C
例5：三角形的面积，其中为其边长，为内切圆半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（ ）
A. （其中分别为四个面的面积，为内切球的半径）
B. （为底面面积，为四面体的高）
C. （其中分别为四个面的面积，为内切球的半径）
D. （为底面边长，为四面体的高）
思路：本题为维度题，在三角形中，面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中，内切圆类比成内切球，边长类比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关，即在A，C中挑选。考虑在三角形中，可通过连接内心与各顶点，将三角形分割为三个小三角形，底边为各边边长，高均为半径，所以面积，其中系数来源于三角形面积公式。进而类比到四面体中，可通过连接内切球的球心与各顶点，将四面体分割为4个小四面体，以各面为底面，内切球半径为高。从而。系数来源于棱锥体积公式
答案：C
例6：若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列.若数列是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ）
A. 是等差数列 B. 是等差数列
C. 是等差数列 D. 是等差数列
思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算（乘除法，乘方开方），到了等差数列中，很多性质可类比为一二级运算（加减，数乘）。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方，所以可联想到类比等差数列，乘法运算对应类比为加法，开方运算对应类比为除法。所以该性质为：若数列是等差数列，则是等差数列。这个命题是正确的，证明如下：
证明：设等差数列的公差为，则
为等差数列
为公差是的等差数列
答案：B
例7：对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
思路：观察这几个等式不难发现以下特征：（1）可分解为个连续奇数的和，（2）从开始这些奇数是按 顺次排列的。所以在第个数时，所用的奇数的总数为个。从3开始算起，是第个奇数。当，可知所用的奇数总数为个，当，可知所用的奇数总数为个。所以
答案：C
例8：从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（ ）
A. B. C. D.
思路：当三角形在移动时，观察其规律，内部的数如果设第一行的数为，则第二行的数为，其和为，第三行的数为，其和为，所以这九个数的和为，代入到各个选项中看能否算出即可。通过计算可得：时，符合题意
答案：C
例9：某种游戏中，黑，白两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发，沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是，白“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线（其中），设黑“电子狗”爬完2012段，白“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白“电子狗”间的距离是_____________
思路：首先根据题目中所给规则，观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所走的路线为，然后周而复始，以6为周期；白“电子狗”所走的路线为，也是以6为周期。从而由周期性的规律可得：，则黑电子狗到达；，所以白电子狗到达，所以只需计算即可，由正方体性质可知
答案：
例10：把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵，设是位于这个三角形数中从上往下数第行，从左往右数第列的数，如 若，则 ( )
A. 111 B. 110 C. 108 D. 105
思路：观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数，偶数行均为偶数。所以可知一定在奇数行中，先确定的值，因为奇数构成首项为1，公差为2的等差数列，所以第个奇数，因为，所以可得为第个奇数，考虑前面的奇数共占了多少行。由第行由个奇数可得：前个奇数行内奇数共有，前个奇数行内奇数共有，而，所以在第个奇数行中，即，再考虑的值，第31个奇数行最后一个奇数为，因为，所以为第32个奇数行的第47个数，即，从而
答案：C
