2020_2021学年高中数学课时分层作业2集合的表示新人教A版必修3 练习

课时分层作业(二)　集合的表示

(建议用时：60分钟)

一、选择题

1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是(　　)

A．0∈A　 B．1.5∉A

C．－1∉A D．6∈A

D　[∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，

∴6∉A，故选D.]

2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为(　　)

A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}

C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}

D　[解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]

3．下列四个集合中，不同于另外三个的是(　　)

A．{y|y＝2} B．{x＝2}

C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}

B　[{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．]

4．集合{－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}用描述法可表示为(　　)

A．{－1≤x≤8}　　 B．{x|－1≤x≤8}

C．{x∈Z|－1≤x≤8} D．{x∈N|－1≤x≤8}

C　[观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x∈Z|－1≤x≤8}，故选C.]

5．下列集合的表示方法正确的是(　　)

A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}

B．不等式x－1<4的解集为{x<5}

C．{全体整数}

D．实数集可表示为R

D　[选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．]

二、填空题

6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________．

{x|x＝2n，n∈N*}　[正整数中所有的偶数均能被2整除．]

7．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.

1　[由集合相等的概念得

解得a＝1.]

8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.

{1,3}　[由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，

所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，

则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，

解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．]

三、解答题

9．选择适当的方法表示下列集合．

(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；

(2)大于2且小于6的有理数；

(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．

[解]　(1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．

(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}．

(3)用描述法表示该集合为

M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；

或用列举法表示该集合为

{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．

10．已知集合A＝，

(1)用列举法表示集合A；

(2)求集合A的所有元素之和．

[解]　(1)由∈Z，得3－x＝±1，±2，±4.

解得x＝－1,1,2,4,5,7.

又∵x∈Z，∴A＝{－1,1,2,4,5,7}．

(2)由(1)得集合A中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.

1．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a＝5，则有(　　)

A．a∈A B．－a∉A

C．{a}∈A D．{a}∉A

A　[由题意，当k＝2时，x＝5，所以a∈A.当k＝－3时，x＝－5，所以－a∈A.故选A.]

2．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为(　　)

A．3 B．4

C．5 D．6

B　[当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素．]

3．有下面六种表示方法

①{x＝－1，y＝2}；②(x，y)；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{x，y|x＝－1或y＝2}．

其中，能正确表示方程组的解集的是________(填序号)．

②⑤　[

]

4．已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,10}，若－3∈A，则a＝________.

－　[因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，当a－2＝－3时，a＝－1，

此时2a2＋5a＝－3，与元素的互异性不符，所以a≠－1.

当2a2＋5a＝－3时，即2a2＋5a＋3＝0，

解得a＝－1或a＝－.显然a＝－1不合题意．

当a＝－时，a－2＝－，满足互异性．

综上，a＝－.]

5．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．

(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；

(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；

(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

[解]　(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝，符合题意．当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝.所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．

(2)由题意得，当

即a<且a≠0时方程有两个实根，

又由(1)知，当a＝0或a＝时方程有一个实根．所以a的取值范围是a≤.

(3)由(1)知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．

当集合A中没有元素，即A＝∅时，

由题意得解得a>.

综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素.