2020届云南省陆良县高三毕业班第二次教学质量摸底考试数学（文）试题（解析版）

2020届云南省陆良县高三毕业班第二次教学质量摸底考试数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出集合B，再利用集合的交、补运算即可求解.

【详解】

由，，

所以，因为，

所以.

故选：B

【点睛】

本题考查了集合的交、补运算，需掌握集合的交、补概念与运算，属于基础题.

2．复数( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：

【考点】复数的化简计算

点评：复数运算中将分母实数化，分子分母同乘以分母的共轭复数，其中

3．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】

因为向量，，

所以，

又，所以，

解得.

故选：C

【点睛】

本题考查了向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标的坐标表示，属于基础题.

4．云南北辰中学五四青年节在辰星堂上演了一个数学性节目，演员将一只鸽子用长为2米的绳子固定在一个棱长为4米的铁笼上顶中心位置（鸽子的飞行半径为2米），然后再将一只昆虫放入笼中，求鸽子能捉到昆虫的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用几何概型的体积比即可求解.

【详解】

根据题意昆虫飞行的区域为，

鸽子能能捉到昆虫的飞行区域为,

所以鸽子能捉到昆虫的概率为：

故选：A

【点睛】

本题考查了几何概型的概率模型，同时考查了球的体积公式，属于基础题.

5．在如图所示的程序框图中，若输入的a、b、c分

别是1、2、3，则输出的a、b、c分别是（    ）

A．3、1、2 B．1、2、3 C．2、1、3 D．3、2、1

【答案】A

【解析】程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是将输入的三个数，交换次序后输出．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．

【详解】

第一行：a=1，b=2，c=3

第二行：x=1，a=1，b=2，c=3

第三行：x=1，a=3，b=2，c=3

第四行：x=1，a=3，b=2，c=2

第五行：x=1，a=3，b=1，c=2

第六行：x=1，a=3，b=1，c=2

故输出的结果为：3、1、2

故选:A

【点睛】

本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．

6．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（   ）

A．为奇函数，在上单调递减 B．为偶函数，在上单调递增

C．周期为，图象关于点对称 D．最大值为1，图象关于直线对称

【答案】D

【解析】，值域为，为偶函数，选项A排除；周期，令，，故单调增区间为，令，，单调减区间为，函数在上无单调性，选项B排除；令，，所以对称中心为，当，不符合，排除C选项；令，当是函数的一条对称轴，选项D正确。

点睛：本题主要考查函数的图象和性质，包括最值，单调性，周期性，奇偶性，对称性等，属于中档题。

7．已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，再由正方体的体积公式以及锥体的体积公式即可求解.

【详解】

由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，

正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，

几何体的体积为：.

故选：B

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的体积，需熟记体积公式，属于基础题.

8．若，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.

【详解】

为单调递减函数，

，

为单调递减函数，

，

为单调递增函数，

，

所以.

故选：C

【点睛】

本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.

9．若，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

，

由，故.

故选：D

【点睛】

本题考查了二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系、齐次式，需熟记公式，属于基础题.

10．在等差数列中，已知，，则（   ）

A．38 B．39 C．41 D．42

【答案】D

【解析】分析：利用等差数列通项公式布列关于基本量的方程，从而得到所求的结果.

详解：由，

可得：，解得：,

∴.

故选D

点睛：本题重点考查了等差数列通项公式的运用，以及简单的代数运算能力，属于基础题.

11．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A．4 B． C． D．

【答案】B

【解析】为等边三角形，不妨设

为双曲线上一点，

为双曲线上一点,

由

在中运用余弦定理得：

,

故答案选

点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率．

12．已知函数的定义为，，若对任意实数都有，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】本题可以构造函数，利用函数的单调性将不等式转化为两个函数值的大小，得到自变量的大小关系，从而得到本题的结论.

【详解】

记，

对任意实数都有，

，

函数为定义在上的单调递增函数，

，

，

，

，

函数为定义在上的单调递增函数，

 故不等式的解集是.

故选：B

【点睛】

本题考查了解抽象函数的不等式，解题的关键是判断函数的单调性，属于中档题.

二、填空题

13．设满足约束条件则的最大值为__________.

【答案】

【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【详解】

由约束条件作出可行域，

化目标函数为

，

由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，

有最大值为：

故答案为：

【点睛】

本题考查了简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数的几何意义，属于基础题.

14．已知，求的值__________.

【答案】

【解析】令，求出，代入解析式右边求解即可.

【详解】

令，求出，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了求函数值，注意换元法的应用，属于基础题.

15．直线与圆相交于两点，则__________.

【答案】

【解析】利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离，即可得出弦长.

【详解】

由圆，可得圆心，半径，

圆心到直线的距离，

弦长.

故答案为：

【点睛】

本题考查了直线与圆相交求弦长，在圆中求弦长采用几何法，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.

16．在数列中，，且，则数列的通项公式__________.

【答案】

【解析】利用数列的递推关系式，通过迭代，转化求解数列的通项公式即可.

【详解】

因为在数列中，，且，

所以当时，

，

由于当时，，符合上式，所以数列的通项公式.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了迭代法求数列的通项公式，属于基础题.

三、解答题

17．在中，角所对的边分别为，若；

（1）求；

（2）设函数，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，从而可得.

（2）利用二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式可得，由（1）可得，再利用正弦函数的性质即可求解.

【详解】

解：（1）由及正弦定理得，

因为在中，，所以，即，

所以；

（2）因为

所以

由（1）知：，所以，所以

所以，即：

所以的取值范围是.

【点睛】

本题考查了二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.

18．陆良县2017届和2018届都取得了辉煌的成绩，两年均有人考入清华大学或北京大学，600分以上的考生进一步创历史新高.对此北辰中学某学习兴趣小组对2019届20名学生的数学成绩进行了调查，所得分数分组为，，，，，据此制作的频率分布直方图如图所示.

（1）求出直方图中的值；

（2）利用直方图估计2019届20名学生分数的众数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）若从分数在的学生中，随机的抽取2名学生进行辅导，求抽到的学生来自同一组的概率.

【答案】（1）（2）中位数为126.7；众数为：125（3）

【解析】（1）利用频率分布直方图中，小矩形的面积之和等于可求，

（2）频率分布直方图中，众数是小矩形面积最大的底边中点的横坐标；设中位数为，结合图形可得，解方程即可.

（3）在的2名学生为，在的4名学生为，列举出任选2人所有的基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】

解：（1）由频率分布直方图得：

∴

（2）由频率分布直方图得：2019届这20名学生分数的众数为：125；

设2019届这20名学生分数的中位数为，则满足：

∴

∴2019届这20名学生分数的中位数为126.7

（3）设事件为从分数在的学生中，随机的抽取2名学生进行辅导，抽到的这两名学生来自同一组.

则由题意得：假设的6名学生中，在的2名学生为，在的4名学生为；则任选2人的可能搭配情况为：

所以.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图，根据频率分布图求众数、中位数，考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.

19．在直四棱柱中，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）取中点，连接，由题意证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出.

（2）利用等体法，由图可得：，根据三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

（1）证明：取中点，连接，

∵该几何体为直四棱柱，∴平面，∴

∵，，∴

∵，，

∴四边形为正方形，∴

∴，∵，∴

∵，，，平面

∴平面

（2）由图可得：

由（1）中证明知：平面，∴，∴

又∵∴

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，考查了立体几何的基本知识，属于基础题.

20．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据题意可得，，再由，即可求解.

（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.

【详解】

解（1）由题意的：，，∴，

∴

∴椭圆的方程为

(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为

与椭圆的方程联立可得：①

设两点的坐标为，由韦达定理得：

，

∴

点到直线的距离，

∴

由①知：，，

令，则，∴

令，则在上的最大值为

∴的最大值为

综上所述：三角形面积的最大值2.

【点睛】

本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.

21．已知函数（）.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程即可求解.

（2）根据题意可得在上有两个解，转化为与的图象在上有两个交点，令，，求出函数的值域，从而可求解.

【详解】

解：（1）当时，，，

∴，，

∴在处的切线方程为

（2）在上有两个零点，

∴在上有两个解，

即：与的图象在上有两个交点，

令，，则

∵为增函数，又∵

∴由得：，由得：，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∴与的图象在上有两个交点时：

综上所述：实数的取值范围位.

【点睛】

本题考查了求曲线上一点的切线方程，考查了函数的零点个数求参数的取值范围以及导数在研究函数的单调性、最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为；

（1）求的普通方程和的直角坐标方程.

（2）已知点在曲线上，求点到直线的最大距离.

【答案】（1）的普通方程为；的直角坐标方程为（2）

【解析】（1）消参数即可的普通方程；利用极坐标与直角坐标的互化式即可求解.

（2）设出的参数方程，利用点到直线的距离公式，再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.

【详解】

解（1）由曲线的参数方程为（为参数）得：

的普通方程为

由曲线的极坐标方程为得：

的直角坐标方程为

（2）由的直角坐标方程得的参数方程为（为参数）

∴点到直线的距离

∴

【点睛】

本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，同时考查了辅助角公式以及三角函数的最值，属于基础题.

23．已知.

（I）求不等式的解集；

（II）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

【答案】（I）；（II）或.

【解析】试题分析：

（I）根据分类讨论将不等式化为三个不等式组求解即可．（II）画出函数的图象，由图象求得函数的最小值为4，解不等式可得所求范围．

试题解析：

（I）不等式即为，等价于

①或 ② 或③

由①得；

由②得；

由③得此不等式组无解．

综上．

∴不等式的解集为．

（II）由题意得，

画出函数的图象如图所示：

其中，

由图象可得函数的最小值为4．

由题意知，

即 ，      

解得或．

∴实数的取值范围为．