2020届浙江省高考冲刺抢分练高考仿真卷（三） 数学（解析版）

2020届浙江省高考冲刺抢分练高考仿真卷（三） 数学（解析版）
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．已知集合A＝{x∈Z|x≤0}，B＝，则A∩B等于(　　)
A．{x|－1≤x≤0} B．{x|x≤6}
C．{0,1,2,3,4,5,6} D．{0，－1}
答案　D
解析　A＝{x∈Z|x≤0}，B＝{x|－1≤x≤6}，则A∩B＝{0，－1}．
2．若双曲线－y2＝1(a>0)的实轴长为2，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
答案　A
解析　双曲线的实轴长为2，得a＝1，又b＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
3．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线．
①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
②若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则n∥l；
④若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m.
则上述命题中正确的是(　　)
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
答案　D
解析　对于①，当m，n相交时，才能得到l⊥α，①错误；对于②，由l∥m，m∥n得l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，②正确；对于③，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又因为l∥m，所以n∥l，③正确；对于④，直线l与m可能相交、平行或互为异面直线，④错误．综上所述，正确命题的序号为②③.
4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
答案　D
解析　因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，
所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，
将该函数的图象向右平移个单位长度后，
得到图象所对应的函数解析式为
y＝sin＝sin，
由此函数图象关于直线x＝对称，得
2×＋φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
取k＝0，得φ＝－，满足|φ|<，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
5．函数f(x)＝的图象大致为(　　)


答案　A
解析　由题意知，函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}且满足f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D项；又由当x∈(0,1)时，函数f(x)的值小于0，排除B项，故选A.
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1>0”是“S3>S2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q，S3>S2⇔a3>0⇔a1q2>0⇔a1>0，故选C.
7．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球．现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一个球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　设摸取一次摸得白球的概率为p，则易得X～B(4，p)，D(X)＝4p(1－p)＝1，解得p＝，则E(X)＝4×＝2.
8．将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球，放入编号为1,2，…，7的七个盒子中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有(　　)
A．98种 B．196种 C．252种 D．336种
答案　D
解析　3个球放入编号为1,2，…，7的七个盒子中，每个盒子至多放2个球，应采用排除法，每个球放入盒子的放法各有7种，共73种，排除3个球放在同一个盒中的7种放法，则共有73－7＝336(种)放法．
9．已知向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝2，则|2a＋b|＋|b|的最大值为(　　)
A．4 B．4 C．4＋2 D．8
答案　B
解析　记a＋b＝m，则|a|＝|m|＝2，|2a＋b|＋|b|＝|a＋m|＋|m－a|≤＝2＝4，当且仅当|a＋m|＝|m－a|，即a·(a＋b)＝0，a·b＝－4时，取等号，则所求的最大值为4.
10．已知偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ax2－bx＋c，a，b，c∈N*.若函数f(x)在[－100，100]上有400个零点，则a＋b＋c的最小值为(　　)
A．5 B．8 C．11 D．12
答案　C
解析　由f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是以2为周期的周期函数，函数f(x)在[－100,100]上有400个零点等价于函数f(x)在[0,1]上有两个不同的零点，又因为a，b，c∈N*，
所以即

所以要使a＋b＋c取得最小值，不妨取c＝1，则不等式组化为以a为横轴，b为纵轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示，由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5,5)，此时a＝b＝5，所以a＋b＋c的最小值为11.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11．复数z＝(3＋4i)2的虚部为________，z的共轭复数＝________.
答案　24　－7－24i
解析　∵z＝(3＋4i)2＝32＋2×3×4i＋(4i)2＝－7＋24i，∴虚部为24，共轭复数＝－7－24i.
12．若变量x，y满足则2x＋y的最大值为________，的取值范围为________．
答案　8　
解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z＝x＋y，则y＝－x＋z表示的是斜率为－1，在y轴上的截距为z的直线，当直线在y轴上的截距最大时，z最大，即直线过点C时，z最大，由得
zmax＝3,2x＋y的最大值为23＝8.表示的是可行域内的点(x，y)与点(2，－1)连线的斜率，设D(2，－1)，kAD＝－，kCD＝＝－3，因此的取值范围.

13．某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为________；其外接球的体积为________．

答案　4　π
解析　由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥O－ABCD，

且AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AO＝，四边形ABCD是矩形，OA⊥平面ABCD，
所以该多面体最长的棱长为OC＝＝＝4，该几何体外接球的半径为2，其体积V＝π×23＝π.
14．已知n的展开式中所有二项式系数和为64，则n＝________；二项展开式中含x3的系数为________．
答案　6　－540
解析　n展开式中所有二项式系数和为64，
∴2n＝64，解得n＝6；
∴6展开式的通项公式为
Tk＋1＝C·(3x2)6－k·k
＝(－1)k·36－k·C·x12－3k，
令12－3k ＝3，解得k＝3，
∴二项式展开式中含x3项的系数为(－1)3×33×C＝－540.
15．已知实数a≥，b≥，且a2－a＝b－b2，则M＝＋的最大值是________．
答案　＋1
解析　由a2－a＝b－b2化简得，2＋2＝，又实数a≥，b≥，图形为圆，如图：

由a2－a＝b－b2，可得a2＝a＋b－b2，b2＝a＋b－a2，
则M＝＋＝＋＝1＋－a＋1＋－b＝＋－a－b＋2，
由几何意义得，∈[－1,1＋]，则∈[－1，1＋]，则当过点A或点B时，a＋b取最小值，可得Mmax＝－1＋1＋－＋2＝＋1，
所以M＝＋的最大值是＋1.
16.如图，椭圆M：＋＝1(a>b>0)的两个顶点A(a,0)，B(0，b)，过A，B分别作AB的垂线交椭圆M于D，C(不同于顶点)，若|BC|＝3|AD|，则椭圆M的离心率e＝________.

答案　
解析　直线AB的斜率为－，故直线BC，AD的斜率都为，所以直线BC的方程为y＝x＋b，直线AD的方程为y＝.将直线BC的方程代入椭圆方程，求得C点的坐标为，将直线AD的方程代入椭圆方程，求得D点的坐标为，由于|BC|＝3|AD|，即＝3，也即＝3，即＝，化简得＝.故离心率为e＝＝.
17．已知f(x)＝2x2＋2x＋b是定义在[－1,0]上的函数， 若f(f(x))≤0在定义域上恒成立，而且存在实数x0满足：f(f(x0))＝x0且f(x0)≠x0，则实数b的取值范围是________．
答案　
解析　因为f(x)min＝f ＝b－，
f(x)max＝f(0)＝f(－1)＝b，
所以得b∈时满足
f(f(x))≤0；
设f(x0)＝y0，则f(y0)＝x0且y0≠x0，
所以函数f(x)＝2x2＋2x＋b图象上存在两点关于直线y＝x对称，
令l：y＝－x＋m，
由得2x2＋3x＋b－m＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)为直线与抛物线的交点，线段MN的中点为E(xE，yE)，
所以
所以E，而E在y＝x上，
所以m＝－，
从而2x2＋3x＋b＋＝0在[－1,0]上有两个不相等的实数根，
令h(x)＝2x2＋3x＋b＋，
所以
得b∈.
三、解答题(本大题共5小题，共74分．)
18．(14分)已知函数f(x)＝cos x＋.
(1)求f 的值；
(2)当x∈时，不等式c 解　(1)f(x)＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
所以f ＝sin＝sin ＝1.
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.
所以－≤sin≤1.
由不等式c 所以实数c的取值范围为.
19．(15分)如图，四边形ABEF是正方形，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD.
(1)若平面ABEF⊥平面ABCD，求证：DB⊥平面EBC；
(2)若DF⊥BC，求直线BD与平面ADF所成角的正弦值．

(1)证明　∵四边形ABEF是正方形，∴EB⊥AB.
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴EB⊥平面ABCD，可得EB⊥BD.
又∵AD＝AB＝BC＝CD，
不妨设AB＝BC＝AD＝1，DC＝2，
可求BD＝，可得BD⊥BC，
∵EB∩BC＝B，EB，BC⊂平面EBC，
∴DB⊥平面EBC.
(2)解　方法一　过点F作FH⊥平面ABCD，连接AH交CD于点G，过点H作HI⊥AD交AD于点I，连接FI，作HO⊥FI交FI于点O，

∵FH⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴FH⊥BC，
又∵DF⊥BC，且FH∩DF＝F，FH，DF⊂平面FDH，
∴BC⊥平面FDH，
又DH⊂平面FDH，∴BC⊥DH，即H在BD上，
又∵FH⊥AB，FA⊥AB，且FH∩FA＝F，FH，FA⊂平面FAH，∴AB⊥平面FAH，
又AH⊂平面FAH，∴AB⊥AH.
又∵AD⊥FH，AD⊥HI，FH∩HI＝H，FH，HI⊂平面FHI，∴AD⊥平面FHI，
又∵AD⊂平面FAD，∴平面FHI⊥平面FAD，
∴H到平面AFD的距离为HO，
由(1)知DG＝，HG＝HI＝，HO＝，
又∵DB＝3DH，∴B到平面AFD的距离为，
设直线BD与平面ADF所成角为θ，则sin θ＝，
方法二　设AD＝AB＝BC＝1，
以A为坐标原点，AB为y轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C，D，
设F(x，y，z)，由题意得
即
解得x＝，y＝0，z＝，即F.
设平面ADF的法向量为m＝(r，s，t)，
又＝，＝，
∴即
令r＝，则s＝，t＝－1，即m＝(，，－1)．
设直线BD与平面ADF所成角为θ，且＝，
则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝，
∴直线BD与平面ADF所成角的正弦值为.
20．(15分)已知数列{an}是等差数列，满足a2＝6，S4＝28，数列{bn}满足：b1＝1，＋＋…＋＝－1(n∈N*)．
(1)求an和bn；
(2)记数列的前n项和为Sn，求Sn.
解　(1)设数列{an}的首项和公差分别为a1，d，则解得∴an＝2n＋2，n∈N*.
＋＋…＋＝－1，①
＋＋…＋＝－1(n≥2)，②
①－②得＝－，＝(n≥2)，当n＝1时，＝－1，b2＝，当n≥2时，bn＝··…··b1＝.当n＝1时，b1＝1符合上式，所以bn＝，n∈N*.
(2)＝＝＝·
＝，
Sn＝＋＋…＋
＝
＝＝.
21.(15分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点是F(1,0)，直线l1：y＝k1x，l2：y＝k2x分别与抛物线C相交于点A和点B，过A，B的直线与圆O：x2＋y2＝4相切．

(1)求直线AB的方程(含k1，k2)；
(2)若线段OA与圆O交于点M，线段OB与圆O交于点N，求S△MON的取值范围．
解　(1)焦点是F(1,0)，可得＝1，即p＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
抛物线方程为y2＝4x，联立可得A，同理可得B，
若AB的斜率存在，可得kAB＝＝，
AB的方程为y－＝，
化为k1k2x－(k1＋k2)y＋4＝0，
若AB的斜率不存在，也满足上面的方程，则直线AB的方程为k1k2x－(k1＋k2)y＋4＝0.
(2)过A，B的直线与圆O：x2＋y2＝4相切，可得d＝＝r＝2，
化简为(k1k2)2＋(k1＋k2)2＝4，即有－2≤k1k2<0，
cos∠AOB＝＝
＝，
由(k1k2)2＋(k1＋k2)2＝4，可得cos∠AOB＝，sin2∠MON＝，
设t＝5－2k1k2∈(5,9]，则S＝4sin2∠MON＝4·＝4·＝＝18－≤18－2＝4，
当t＝7时取等号，即k1k2＝－1∈[－2,0)，所以(S△MON)max＝2，
又S>18－＝，即S△MON>，
即有S△MON的取值范围为.
22．(15分)已知函数f(x)＝kex－x2，k∈R.
(1)当k＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若函数f(x)有两个零点，求k的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为R，当k＝－1时，f(x)＝－ex(x－1)－x2，
f′(x)＝－exx－x＝－x(ex＋1)．
当x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在x＝0时取到最大值，最大值为f(0)＝1.
(2)f′(x)＝kexx－x＝x(kex－1)，
当k＜0时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又因为f(0)＝－k＞0，f(1)＝－＜0，
f(2k－1)＝ke2k－1(2k－2)－(2k－1)2＜k(2k－2)－(2k－1)2＝－＜0，所以f(x)有两个零点；
当k＝0时，f(x)＝－x2，所以此时f(x)只有一个零点；
当k＝1时，f′(x)＝exx－x＝x(ex－1)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增，f(x)不存在两个零点；
当k>0且k≠1时，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln ，
当0＜k＜1时，ln ＝－ln k＞0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，－ln k)上单调递减，在(－ln k，＋∞)上单调递增，且f(0)＝－k＜0，f(x)不存在两个零点；
当k＞1时，ln ＝－ln k＜0，f(x)在(－∞，－ln k)上单调递增，在(－ln k,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且f＝－＜0，f(x)不存在两个零点．
综上，当f(x)有两个零点时，k的取值范围是(－∞，0)．