2020届四川省成都市零模数学(文)试题(解析版)
展开2020届四川省成都市零模数学(文)试题
一、单选题
1.复数(其中为虚数单位)的虚部是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:,则虚部为,故选.
【考点】复数的运算、复数的实部与虚部.
2.若集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,选.
3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是( )
A.甲所得分数的极差为22
B.乙所得分数的中位数为18
C.两人所得分数的众数相等
D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
【答案】D
【解析】根据茎叶图,逐一分析选项,得到正确结果.
【详解】
甲的最高分为33,最低分为11,极差为22,A正确;乙所得分数的中位数为18,B正确;甲、乙所得分数的众数都为22,C正确;甲的平均分为,乙的平均分为
,甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数,D错误,故选D.
【点睛】
本题考查了根据茎叶图,求平均数,众数,中位数,考查基本概念,基本计算的,属于基础题型.
4.若实数满足约束条件,则的最小值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出的最大值.
【详解】
作出实数,满足约束条件表示的平面区域,如图所示.
由可得,则表示直线在轴上的截距,纵截距越大,越小.
作直线,然后把该直线向可行域平移,当直线经过点时,最大,最小.
由可得,此时,
故选:.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用,利用的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.
5.已知等比数列的各项均为正数,若,则=( )
A.1 B.3 C.6 D.9
【答案】D
【解析】首先根据对数运算法则,可知,再根据等比数列的性质可知,最后计算的值.
【详解】
由 ,
可得,进而可得 ,
.
【点睛】
本题考查了对数运算法则和等比数列性质,属于中档题型,意在考查转化与化归和计算能力.
6.设函数的导函数为,若,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先求出,即可求出的值.
【详解】
由题得,
所以.
故选:C
【点睛】
本题主要考查函数求导,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
7.中,角,,的对边分别为.若向量,,且,则角的大小为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题,通过两角和的公式化简得到角的方程,得解.
【详解】
由得,
,
由正弦定理得,,
化为,
即,
由于,
,又
,
故选:.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理,考查和角的正弦公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【详解】
模拟程序的运行,可得
开始 | ||
① | ||
② | ||
③ | ||
④ | ||
⑤ |
故选:.
【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.
9.若矩形的对角线交点为,周长为,四个顶点都在球的表面上,且,则球的表面积的最小值为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径,进一步利用基本不等式求出球的半径,进一步求出球的表面积的最小值.
【详解】
如图,设矩形的两邻边分别为,,则,且外接圆的半径.
由球的性质得,平面,所以球的半径.
由均值不等式得,,所以,
所以,当且仅当时,等号成立.
所以球的表面积的最小值为,
故选:.
【点睛】
本题考查的知识要点:球的表面积公式的应用,基本不等式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
10.已知函数,则“”是“函数在处取得极小值”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求出原函数的导函数,分析函数在处取得极小值时的的范围,再由充分必要条件的判定得答案.
【详解】
解:若在取得极小值,
.
令,得或.
①当时,.
故在上单调递增,无最小值;
②当时,,故当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
故在处取得极小值.
综上,函数在处取得极小值.
“”是“函数在处取得极小值”的充分不必要条件.
故选:.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值,考查充分必要条件的判定,属于中档题.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点的坐标为.若双曲线左支上的任意一点均满足,则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】首先根据双曲线的定义,,转化为,即,根据数形结合可知,当点三点共线时,最小,转化为不等式,最后求离心率的范围.
【详解】
由已知可得,若,
即,左支上的点均满足,
如图所示,当点位于点时,最小,
故,即,
,
或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .
【点睛】
本题考查离心率的取值范围的问题,属于中档题型,意在考查化归和计算能力,关键是根据几何关系分析的最小值,转化为的代数关系,最后求的范围.
12.若关于的不等式在内恒成立,则满足条件的整数的最大值为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意即可得出函数的图象恒在直线的上方,当直线与函数相切时,可设切点为,,从而可以得出,联立三式即可得出,根据即可得出,再根据③即可得出,从而得出整数的最大值为2.
【详解】
关于的不等式在内恒成立,
即关于的不等式在内恒成立,
即函数的图象恒在直线的上方.
当直线与函数相切时,设切点为,,
则,由①②得,,把③代入得,化简得.由得,.
又由③得.即相切时整数.
因此函数的图象恒在直线的上方时,整数的最大值为2.
故选:.
【点睛】
本题主要考查基本初等函数的求导公式,积的导数的求导公式,考查直线和曲线的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题
13.某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如表:
(单位:万元) | |||||
(单位:万元) |
已知销售额与宣传费用具有线性相关关系,并求得其回归直线方程为,则的值为__________.
【答案】
【解析】由表中数据计算平均数,代入回归直线方程中求得回归系数.
【详解】
由表中数据,计算,
,
又归直线方程为过样本中心点得,
,
解得.
故答案为:6.5.
【点睛】
本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题,是基础题.
14.已知曲线:(为参数).若点在曲线上运动,点为直线:上的动点,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】先表示出曲线C上的点到直线距离,再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.
【详解】
表示曲线为参数)上任意点到直线的距离
,
当时,.
故答案为:
【点睛】
本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,点到直线的距离公式的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.
15.已知是定义在上的奇函数,其导函数为,,且当时,.则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】令,根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出的单调性,根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集.
【详解】
令,
则,
所以在上为单调递增,且,
所以,
解得.
由是定义在上的奇函数得,
所以在为偶函数,且
所以不等式的解集为,
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查不等式的求解,根据条件构造函数,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.
16.已知抛物线:的焦点为,准线为.过点作倾斜角为的直线与准线相交于点,线段与抛物线相交于点,且,则抛物线的标准方程为__________.
【答案】
【解析】设出直线的方程,与抛物线方程联立,消去,解方程求得的值,再写出抛物线的标准方程.
【详解】
由题得直线的方程为,从而;
由消去,
得,
解得或(舍去),从而;
由得,,
解得,所以抛物线的标准方程为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了直线与抛物线方程的应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.
三、解答题
17.已知函数,其导函数的图象关于轴对称,.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若函数的图象与轴有三个不同的交点,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)根据导函数的图象关于轴对称求出m的值,再根据求出n的值;(Ⅱ)问题等价于方程有三个不相等的实根,再求出函数f(x)的单调性和极值,分析得解.
【详解】
解:(Ⅰ).
函数的图象关于轴对称,.
又,解得.
,.
(Ⅱ)问题等价于方程有三个不相等的实根时,求的取值范围.
由(Ⅰ),得..
令,解得.
当或时,,
在,上分别单调递增.
又当时,,
在上单调递减.
的极大值为,极小值为.
实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的零点问题,数形结合思想是数学中的一种重要的思想,通过数形结合将本题转化为函数图象的交点,可以直观形象的解决问题.
18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内,,三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下:
类行业:85,82,77,78,83,87;
类行业:76,67,80,85,79,81;
类行业:87,89,76,86,75,84,90,82.
(Ⅰ)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数;
(Ⅱ)若从抽取的类行业这6个单位中,再随机选取3个单位进行某项调查,求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.
【答案】(Ⅰ),,三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80.(Ⅱ)
【解析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可;第二问是古典概率模型,先列出所有的基本事件,然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数,即可求出3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率。
【详解】
(I)由题意,得抽取的,,三类行业单位个数之比为.
由分层抽样的定义,有
类行业的单位个数为,
类行业的单位个数为,
类行业的单位个数为,
故该城区,,三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80.
(Ⅱ)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位为事件.
这3个单位的考核数据情形有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有,,,,共4种,没有都是“非星级”环保单位的情形,
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种,
故所求概率.
【点睛】
本题主要考查分层抽样及古典概型问题,属基础题。
19.如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,,分别为,的中点.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若,求三棱锥的体积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】第一问先证明平面,平面,再根据面面平行的判定定理证明平面平面。第二问利用等积法可得,分别求出的面积和BM的长度即可解决问题。
【详解】
(Ⅰ)连接,∴,,∴为正三角形.
∵为的中点,∴.
∵,平面,∴.
又平面,平面,∴平面.
∵,分别为,的中点,∴.
又平面,平面,∴平面.
又平面,,
∴平面平面.
(Ⅱ)在(Ⅰ)中已证.
∵平面平面,平面,∴平面.
又,,∴.
在中,∵,,∴.
∵,分别为,的中点,
∴的面积,
∴三棱锥的体积.
【点睛】
本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质,等积法求三棱锥的体积问题,属中等难度题。
20.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点,记点关于轴对称的点为.证明:直线经过轴上一定点,并求出定点的坐标.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析,直线经过轴上定点,其坐标为
【解析】(Ⅰ)由已知结合椭圆定义求得,再求得,则椭圆方程可求;(Ⅱ)由题意,设直线的方程为,再设,,,,则,.联立直线方程与椭圆方程,化为关于的一元二次方程,求出所在直线方程,取求得值,即可证明直线经过轴上一定点,并求出定点的坐标.
【详解】
解:(Ⅰ)由椭圆的定义,可知
.
解得.
又,
椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)由题意,设直线的方程为.
设,,则.
由,消去,可得.
,.
,.
,
直线的方程为.
令,可得.
..
直线经过轴上定点,其坐标为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,是中档题.
21.已知函数,其中。
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数有唯一零点,求的值。
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)根据题意求得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线方程;
(2)问题等价于关于的方程有唯一的解时,求的值.令,求得的导数,以及单调性和极值,结合图象和已知条件可得的值;
【详解】
解:(1)当时,,
所以,
所以。
又,
所以曲线在点处的切线方程为,
即。
(2)问题等价于关于的方程有唯一的解时,求的值。
令,则。
令,则,
在上单调递减。
又,
当时,,即,
在上单调递增;
当时,,即,
在上单调递减。
的极大值为。
当时,;当时,。
又,当方程有唯一的解时,。
综上,当函数有唯一零点时,的值为1。
【点睛】
本题考查导数的运用:求切线方程和单调性、极值和最值,考查换元法和构造函数法,以及化简运算能力,属于中档题.
22.在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于两点,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系式,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的方程,并整理得,再利用
直线参数方程t的几何意义求出的最小值.
【详解】
解:(Ⅰ),.
由直角坐标与极坐标的互化关系,.
曲线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的方程,并整理得
.
,
可设是方程的两个实数根,
则,.
,当时,等号成立.
的最小值为.
【点睛】
本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,三角函数关系式的恒等变换,考查直线参数方程t的几何意义,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.