2020届上海市奉贤区高三上学期第一次模拟考试（期末）数学试题（解析版）

2020届上海市奉贤区高三上学期第一次模拟考试（期末）数学试题

一、单选题

1．己知点的，曲线的方程，曲线的方程，则“点在曲线上“是”点在曲线上“的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】根据充分性和必要性的定义进行判断即可.

【详解】

当点在曲线上时，有，所以由点在曲线上，可以推出点在曲线上；

当点在曲线上时，有，所以由点在曲线上不一定能推出点在曲线上，所以“点在曲线上“是”点在曲线上“的充分非必要条件.

故选：A

【点睛】

本题考查了充分不必要条件的判断，考查了点与曲线的关系，属于基础题.

2．一个不是常数列的等比数列中，值为的项数最多有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．无穷多个

【答案】D

【解析】通过举特例可以选出正确答案.

【详解】

例如数列：，显然值为3的项数有无穷多个.

故选：D

【点睛】

本题考查了等比数列的性质，属于基础题.

3．复数满足（为虚数单位），则复数模的取值范围是（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】A

【解析】根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求出复数模的取值范围.

【详解】

它表示复平面上到距离为2的点的集合，显然是以为圆心，2为半径的圆，模的几何意义是以为圆心，2为半径的圆上的点到点的距离，

显然复数模的最大值为：，最小值为：.

故选：A

【点睛】

本题考查了复数模的几何意义，考查了圆的几何性质.

4．由个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列判断正确的有（    ）

①第列中的必成等比数列；②第列中的不一定成等比数列；③；

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】根据每行中的三个数成等差数列，可以把原来的矩阵变形，最后根据等比的数列的性质、基本不等式，举特例对三种说法逐一判断即可.

【详解】

因为每行中的三个数成等差数列，所以有.

、、分别为：，它们成等比数列，因此有：，因此说法①正确；

题中已知可知这九个数都不互相相等，故不取等号），因此说法③正确；

当显然符合已知条件，所以说法②正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了等差数列的性质、等比数列的性质，考查了基本不等式的应用.

二、填空题

5．计算：__________．

【答案】

【解析】对分式进行变形，然后根据极限公式计算求解即可.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题考查了极限的有关计算，考查了恒等变形的能力，属于基础题.

6．在中，若，，，则的面积是__________．

【答案】3

【解析】直接运用三角形面积求解即可.

【详解】

的面积为.

故答案为：3

【点睛】

本题考查了三角形面积公式，考查了数学运算能力.

7．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为      ．

【答案】

【解析】试题分析：根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长为再根据圆锥的侧面积公式圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形，由相应扇形面积公式理解记忆.

【考点】圆锥的侧面积.

8．设，，且，则__________．

【答案】0

【解析】根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，求出的值，最后计算出它的余弦值即可.

【详解】

因为，所以，

因此.

故答案为：0

【点睛】

本题考查了两个平面向量共线定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.

9．在二项式的展开式中，的一次项系数为      ．（用数字作答）

【答案】

【解析】试题分析：二项式的通项，令，此时的一次项系数为.

【考点】二项式定理.

10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_________种．

【答案】180

【解析】先确定相同的门，再各自选门不同的课程，利用乘法原理可得结论.

【详解】

根据题意，甲乙所选的课程有门相同，

有种情况.

故答案为：180.

【点睛】

本题主要考查的是分步计数原理，关键是如何分步，考查学生的理解能力，是基础题.

11．若双曲线的渐近线方程为，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为__________．

【答案】

【解析】根据双曲线的焦点的位置，分类讨论求出双曲线的标准方程.

【详解】

双曲线的焦距为，所以.

当双曲线的焦点在横轴时，因为双曲线的渐近线方程为，所以，

又因为，所以解得，所以双曲线方程为：；

当双曲线的焦点在纵轴时，因为双曲线的渐近线方程为，所以，

又因为，所以解得，所以双曲线方程为：，

因此该双曲线的标准方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线方程的求法，考查了双曲线渐近线方程，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.

12．已知点在函数的图像上，则的反函数_______．

【答案】

【解析】【详解】试题分析：

将点（3，9）代入函数的解析式得，所以，用表示得，所以．

【考点】反函数的概念以及指对数式的转化．

13．设平面直角坐标系中，为原点，为动点，，，过点作轴于，过作轴于点，与不重合，与不重合，设，则点的轨迹方程是__________．

【答案】（且）

【解析】设出点的坐标，根据，可以知道点的横坐标和纵坐标之间的关系，由

可以求出的坐标，进而根据已知的条件，求出、的坐标，设出点的坐标，通过，可以得到的坐标和的坐标之间的关系，再根据点的横坐标和纵坐标之间的关系，求出点的轨迹方程.

【详解】

设点，因为，所以有，因为，所以有

，由题意可知：，，因为与不重合，与不重合，所以且，，设，因为，所以有，而，所以，又因为且，所以且.

故答案为：（且）

【点睛】

本题考查了利用平面向量的式子求点的轨迹问题，考查了数学运算能力.

14．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）. 若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过________小时方可驾车．(精确到小时)

【答案】8

【解析】先求出，再利用，即可得出结论．

【详解】

解：由题意，，∴，

，∴，

故答案为8．

【点睛】

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．

15．给出下列一组函数：，，，，…，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式：__________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】通过求函数的定义域发现它们的定义域都是实数集，根据所给的函数解析式的特征可以写出一般形式所满足的条件，然后写出一个即可.

【详解】

二次方程的判别式为，

二次方程，

二次方程，

所以一般特征为，所以一个类似的函数解析式.

故答案为：（不唯一）

【点睛】

本题考查了归纳推理，属于基本题.

16．己知直线上有两个点、，己知满足，若，，则这样的点有__________个.

【答案】3

【解析】根据，联想平面向量数量积的夹角坐标运算公式，可以求出向量的夹角，然后分类讨论求出点的个数.

【详解】

，因此有

或，

当关于直线对称时，,则，这是一个临界状态，此时只有一个点；

根据对称性，在上下移动过程中，要保持和，这样的点上下各一个，综上所述：点的个数为3个.

故答案为：3

【点睛】

本题考查了平面向量夹角公式，考查了数形结合思想.

三、解答题

17．己知长方体中，，，，点是棱上的动点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）当点是棱上的中点时，求直线与平面所成的角（结果用反三角函数值表示）.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）直接应用三棱锥的体积公式求解即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用平面空间线面角的坐标公式求出即可.

【详解】

（1）由长方体的性质可知：平面.

所以三棱锥的体积为：；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系：

则，

所以，设平面的法向量为，则有，

设直线与平面所成的角为，

所以，

因此直线与平面所成的角为.

【点睛】

本题考查了求三棱锥的体积，考查了利用空间向量求解线面角，考查了数学运算能力.

18．某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调査，得到该纪念章每枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：

（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由：①；②；③；④；

（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

【答案】（1）②；（2）上市天，最低价元

【解析】（1）根据所给的四个函数的单调性，结合表中数据所表示的变化特征进行选择即可；

（2）根据表中数据代入所选函数的解析式，用待定系数法求出解析式，最后利用函数的单调性求出纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

【详解】

（1）通过表中数据所知纪念章的市场价与上市时间的变化先是递减而后递增，而已知所给的函数中除了②以外，其他函数要么是单调递增，要么是单调递减，要么是常值函数，所以选择②；

（2）由（1）可知选择的函数解析式为：.

函数图象经过点，代入解析式中得：

，

显然当时，函数有最小值，最小值为26.

所以该纪念章时的上市20天时市场价最低，最低的价格26元.

【点睛】

本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了函数的单调性的判断，考查了二次函数的单调性及最值，考查了数学运算能力.

19．平面内任意一点到两定点、的距离之和为.

（1）若点是第二象限内的一点且满足，求点的坐标；

（2）设平面内有关于原点对称的两定点，判别是否有最大值和最小值，请说明理由？

【答案】（1）；（2）有最大值，最小值.

【解析】由椭圆的定义可以直接求出椭圆的标准方程.

（1）根据数量积的坐标运算公式，得到等式，与椭圆的标准方程联立，解方程即可；

（2）设出两点坐标，根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆上和椭圆的范围，可以求出的最大值及最小值.

【详解】

因为，所以椭圆的定义可知：点的轨迹是以、为焦点的椭圆，，所以点的轨迹方程为：.

（1）设点的坐标为：，所以

，

因为，所以，与联立，解得

，点的坐标为；

（2）存在最大值和最小值，理由如下：

根据题意，设的坐标分别为：，

，

则而，

所以，因为，所以，

.

【点睛】

本题考查了椭圆的定义，考查了平面向量数量积的坐标公式，考查了椭圆的范围，考查了数学运算能力.

20．函数，其中.

（1）讨论的奇偶性;

（2）时，求证：的最小正周期是；

（3），当函数的图像与的图像有交点时，求满足条件的的个数，说明理由.

【答案】（1）奇函数；（2）见解析；（3）的个数为个，见解析.

【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；

（2）根据最小正周期公式进行验证即可；

（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的的个数.

【详解】

（1），所以函数是奇函数；

（2），所以的最小正周期是；

（3）因为当时，，（当且仅当时取等号），所以当函数的图像与的图像有交点时，只能，即，因为，所以，

因此，，因此满足条件的的个数为198个，

当时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，

所以当函数的图像与的图像有交点时，满足条件的的个数为198.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.

21．有限个元素组成的集合为，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当，称集合具有性质.

（1）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；

（2） 设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求；

（3） 己知集合，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由.

【答案】（1）否，见解析；（2）；（3）具有性质，理由见解析

【解析】（1）根据集合具有性质，可以得到、以及的元素性质，运用反证法可以判断出集合中的三个元素不能组成等差数列；

（2）根据递推公式求出数列的通项公式，根据题意写出集合，根据题目中所给的定义，结合等比数列的性质求出；

（3）只要能够证明当时,不成立，运用反证法结合整除的知识，就可以判断出集合具有性质.

【详解】

（1）集合中的三个元素不能组成等差数列，理由如下：

因为集合具有性质，所以，由题中所给的定义可知：中的元素应是：这6个元素应该互不相等，假设中的三个元素能构成等差数列，不妨设成等差数列，这时有

这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故中的三个元素不能能构成等差数列；

（2），得：

，说明数列从第二项起，数列是等差数列，

因为，，所以有，所以，显然也成立，因此.

所以

，显然

根据定义在之间增加的元素个数为：，这样包括在内前面一共有个元素.

当时，包括在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当时，能找到

因此；

（3）集合具有性质，理由如下：设等比数列的公比为，所以通项公式为：，为有理数.

设假设当时,成立，则有

，

因为为有理数，所以设且互质，因此有

，

式子的左边是的倍数，右边是的倍数，而互质，显然不成立，因此集合中的元素个数为：，因此它符合已知所下的定义，因此集合是否具有性质.

【点睛】

本题考查了集合新定义问题，考查了等比数列的应用，考查了数学阅读能力，属于难题.