2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷(三) 数学(文)(解析版)
展开一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合P={(x,y)|y=k},Q={(x,y)|y=2x},已知P∩Q=∅,那么k的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,0] D.(1,+∞)
答案 C
解析 由P∩Q=∅可得,函数y=2x的图象与直线y=k无公共点,所以k∈(-∞,0].
2.“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 (綈p)∨q为真命题包括以下三种情况:p假q真、p假q假、p真q真;p∧(綈q)为假命题包括以下三种情况:p假q真、p假q假、p真q真;所以“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的充要条件.
3.欧拉公式 eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,已知eai为纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解析 eai=cosa+isina是纯虚数,所以cosa=0,sina≠0,所以a=kπ+,k∈Z,所以2a=2kπ+π,k∈Z,sin2a=0,所以===+i,在复平面内对应的点位于第一象限.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是( )
A.①② B.②④ C.②③ D.①④
答案 D
解析 从上下方向上看,△PAC的投影为①图所示的情况;从左右方向上看,△PAC的投影为④图所示的情况;从前后方向上看,△PAC的投影为④图所示的情况.
5.(2019·河南洛阳月考)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)的同学有30人,则n的值为( )
A.100 B.1000 C.90 D.900
答案 A
解析 由频率分布直方图可知,支出在[50,60)的同学的频率为0.03×10=0.3,∴n==100.
6.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A.1+ B.1-
C.1- D.1+
答案 C
解析 s=0,n=1<5,且n=1是奇数,则s=0-sinπ=0;n=2<5,且n=2不是奇数,则s=0+sin=1;n=3<5,且n=3是奇数,则s=1-sin=1-;n=4<5,且n=4不是奇数,则s=1-+sin=1-+;n=5时结束循环,输出的s=1-+=1-.
7.已知sinα-cosα=,则cos+sin=( )
A.0 B. C.- D.
答案 C
解析 依题意,sin=;因为-=,故α+=+,则cos=cos=-sin=-;
而-=π,故=π+,故sin=-sin=-,
故cos+sin=-.
8.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,抛物线上一点P,若|PF|=5,则△PFK的面积为( )
A.4 B.5 C.8 D.10
答案 A
解析 由抛物线的方程y2=4x,可得
F(1,0),K(-1,0),准线方程为x=-1,
设P(x0,y0),则|PF|=x0+1=5,即x0=4,
不妨设P(x0,y0)在第一象限,则P(4,4),
所以S△PKF=|FK|·|y0|=×2×4=4.
9.如图,△GCD为正三角形,AB为△GCD的中位线,AB=3AE,BC=3BF,O为DC的中点,则向量,夹角的余弦值为( )
A. B.- C.- D.
答案 B
解析 解法一:以O为坐标原点,DC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图所示,设△GCD的边长为4,则A(-1,),E,
B(1,),C(2,0),F,
=,=,·=-,||=,||=,cos〈,〉==-.
解法二:设△GCD的边长为4,连接OE,OA,如图,易得△ADO为正三角形,∠OAE=60°,AO=2,AE=,由余弦定理得OE=,同理得EF=,OF=,∴∠EFO=60°,∴cos〈,〉=cos120°=-.
10.王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁,他们都特别擅长短跑,在某次运动会上,他们四人要组成一个4×100米接力队,王老师要安排他们四个人的出场顺序,以下是他们四人的对话:
甲:我不跑第一棒和第二棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;丙:我也不跑第一棒和第四棒;丁:如果乙不跑第二棒,我就不跑第一棒;
王老师听了他们四人的对话,安排了一种合理的出场顺序,满足了他们的所有要求,据此我们可以断定,在王老师安排的出场顺序中,跑第三棒的人是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案 C
解析 由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒,则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个,当丙跑第三棒时,乙只能跑第二棒,这时丁跑第一棒,甲跑第四棒,符合题意,故跑第三棒的人是丙.
11.已知点P为双曲线-=1(a>b>0)右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有S△IPF1-S△IPF2≥S△IF1F2成立,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2] B.(1,2) C.(0,3] D.(1,3]
答案 D
解析 设△PF1F2的内切圆的半径为r,
由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
S△IPF1=|PF1|·r,S△IPF2=|PF2|·r,
S△IF1F2=·2c·r=cr,
由题意,得|PF1|·r-|PF2|·r≥cr,
故c≤(|PF1|-|PF2|)=3a,
故e=≤3,又e>1,
所以双曲线的离心率取值范围是(1,3].
12.已知函数f(x)=2ax3-3ax2+1,g(x)=-x+,若对任意给定的m∈[0,2],关于x的方程f(x)=g(m)在区间[0,2]上总存在唯一的一个解,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.
C.(0,1)∪{-1} D.(-1,0)∪
答案 B
解析 f′(x)=6ax2-6ax=6ax(x-1),
①当a=0时,f(x)=1,g(x)=,
显然不可能满足题意;
②当a>0时,f′(x)=6ax(x-1),
x,f′(x),f(x)的变化如下:
又因为当a>0时,g(x)=-x+是减函数,
对任意m∈[0,2],g(m)∈,
由题意,必有g(m)max≤f(x)max,且g(m)min>f(0),
故解得≤a<1;
③当a<0时,g(x)=-x+是增函数,不符合题意.
综上,a∈.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可以计算出A,B两点的距离为________.
答案 50 m
解析 根据三角形内角和为180°,所以∠BAC=30°,
由正弦定理=,得=.
解得AB=50 m.
14.已知实数x,y满足约束条件则sin(x+y)的取值范围为________(用区间表示).
答案
解析 作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分所示).
设z=x+y,作出直线l:x+y=z,当直线l过点B时,z取得最小值;当直线l过点A时,z取得最大值,所以≤x+y≤,所以sin(x+y)∈.
15.已知14C的半衰期为5730年(是指经过5730年后,14C的残余量占原始量的一半).设14C的原始量为a,经过x年后的残余量为b,残余量b与原始量a的关系如下:b=ae-kx,其中x表示经过的时间, k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年.(已知log20.767≈-0.4)
答案 2292
解析 由b=ae-kx及题意,得=e-5730k,
两边取2为底的对数可得,
-1=-5730klog2e,①
又0.767=e-kx,
两边取2为底的对数可得,
log20.767=-kxlog2e,②
②÷①可得0.4≈,即x≈2292.
16.(2019·广东湛江测试二)圆锥 Ω的底面半径为2,母线长为4,正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的上底面的顶点A′,B′,C′,D′均在圆锥 Ω的侧面上,棱柱下底面在圆锥 Ω的底面上,则此正四棱柱体积的最大值为________.
答案
解析 设正四棱柱的底面边长为x,棱柱的高为h,根据相似性可得=,
解得h=(其中0<x<2).所以此正四棱柱的体积为V=x2h=x2·,
V′=,令V′=0,解得x=,易得V=x2·在上单调递增,在上单调递减,所以此正四棱柱体积的最大值为2×=.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(2019·四川教考联盟第三次诊断) (本小题满分12分)槟榔原产于马来西亚,中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区,亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材,在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品,但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A,B两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况,分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查,将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).
(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多?
(2)从A班不超过19的样本数据中随机抽取一个数据记为a,从B班不超过21的样本数据中随机抽取一个数据记为b,求a≥b的概率.
解 (1)A班样本数据的平均数为×(9+11+14+20+31)=17.由此估计A班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17; 2分
B班样本数据的平均数为×(11+12+21+25+26)=19,由此估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19颗.故估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多. 5分
(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个,分别为9,11,14,B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个,分别为11,12,21. 6分
从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况,分别为(9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,12),(11,21),(14,11),(14,12),(14,21). 9分
其中a≥b的情况有(11,11),(14,11),(14,12)三种,
故a≥b的概率P==. 12分
18.(本小题满分12分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,若数列{logan}是公差为-1的等差数列,且a2+2是a1,a3的等差中项.
(1)证明:数列{an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若Tn是数列的前n项和,且Tn
故log=-1,故=3; 2分
故数列{an}是公比为3的等比数列.
因为2(a2+2)=a1+a3,故2(3a1+2)=a1+9a1, 4分
解得a1=1,故数列{an}的通项公式为an=3n-1. 6分
(2)依题意,=,故数列是以1为首项,
为公比的等比数列, 8分
故Tn=+++…+=1++…+==<, 10分
故M≥,即实数M的取值范围为. 12分
19.(2019·湖南师大附中考前演练五)(本小题满分12分)在梯形ABCD中(图1),AB∥CD,AB=2,CD=5,过点A,B分别作CD的垂线,垂足分别为E,F,且AE=2DE,将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起,使得CF⊥FE,且DE∥CF,得空间几何体ADE-BCF(图2).直线AC与平面ABFE所成角的正切值是.
(1)求证:BE∥平面ACD;
(2)求多面体ADE-BCF的体积.
解 (1)证明:如图,设BE交AF于点O,取AC的中点H,连接OH,DH,
因为四边形ABFE为矩形,则OH是△AFC的中位线,所以OH∥CF且OH=CF, 2分
设DE=x,则AE=2x,CF=3-x,
因为直线AC与平面ABFE所成角的正切值是,所以tan∠CAF===,
解得x=1,
所以DE=1,AE=2,CF=2.因为DE∥CF且DE=CF,所以DE∥OH且DE=OH,所以四边形DEOH为平行四边形,DH∥EO,又因为EO⊂平面ABFE,DH⊄平面ABFE,DH⊂平面ACD,所以EO∥平面ACD,即BE∥平面ACD. 5分
(2)由已知CF⊥FE,CF⊥BF,EF∩BF=F,得CF⊥平面BEF,又CF⊂平面CDEF,所以平面CDEF⊥平面BEF,又AE⊥EF,所以AE⊥平面CDEF, 7分
由(1)知DE=1,AE=2,CF=2,
所以S矩形ABFE=4,S△CDE=×1×2=1, 10分
则VADE-BCF=VC-ABFE+VA-CDE=×4×2+×2×1=. 12分
20.(2019·吉林长春质量监测二)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a-1)ln x--x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为-2,求实数a的值.
解 (1)因为a=2时,f(x)=ln x--x,
所以f′(x)=+-1,
又f(2)=ln 2-3,f′(2)=0,
所以所求切线方程为y=ln 2-3. 4分
(2)因为f′(x)=(1≤x≤3), 5分
当a≤1时,f′(x)<0,f(x)在[1,3]上单调递减,
此时f(x)max=f(1)=-a-1=-2,a=1, 7分
当a≥3时,f′(x)>0,f(x)在[1,3]上单调递增,
此时f(x)max=f(3)=aln 3-ln 3--3=-2,
a=(舍去); 9分
当1<a<3时,f(x)在(1,a)上单调递增,在(a,3)上单调递减,
此时f(x)max=f(a)=aln a-ln a-1-a=-2,a=e.
综上a=1或a=e. 12分
21.(2019·东北三省四市一模)(本小题满分12分)如图所示,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,B1,B2是椭圆C的短轴端点,且B1到焦点的距离为3,点M在椭圆C上运动,且点M不与B1,B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求四边形MB2NB1的面积的最大值.
解 (1)∵e=,∴a=c,
又a2=b2+c2=(3)2,∴a2=18,b2=9,
∴椭圆C的方程为+=1. 4分
(2)解法一:设N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0),
∵MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,B1(0,-3),B2(0,3),
∴直线NB1:y+3=-x, ①
直线NB2:y-3=-x, ② 6分
由①②解得x=,又+=1,∴x=-,
则四边形MB2NB1的面积
S=|B1B2|·(|x|+|x0|)=×6×=3×|x0|, 9分
∵0<x≤18,∴当x=18时,S的最大值为3××3=. 12分
解法二:设直线MB1:y=kx-3(k≠0),
则直线NB1:y=-x-3, ①
则直线MB1与椭圆C:+=1的交点M的坐标为, 6分
则直线MB2的斜率kMB2==-,
∴直线NB2:y=2kx+3. ②
由①②解得xN=-, 9分
则四边形MB2NB1的面积S=|B1B2|·(|xM|+|xN|)=×6×==≤,
当且仅当|k|=时,S取得最大值. 12分
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρ=.
(1)试判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)若直线θ=(ρ∈R)与直线l交于点A,与曲线C交于M,N两点,求|AM|·|AN|的值.
解 (1)曲线C的普通方程为x2+(y-)2=7,圆心C(0,),
半径r=, 2分
直线l的普通方程为x+y-2=0, 3分
∵圆心C到直线l的距离
d==
(2)曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ-4=0,
将θ=代入ρ=,得ρ=1, 7分
将θ=代入ρ2-2ρsinθ-4=0得ρ2-3ρ-4=0,则ρ1=4,
ρ2=-1. 8分
∴|AM|=ρ1-ρ=3,|AN|=ρ-ρ2=2, 9分
∴|AM|·|AN|=3×2=6.10分
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=ln (|x-2|+|ax-a|)(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若∀x∈R,都有f(x)+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ln (|x-2|+|x-1|),
∵|x-2|+|x-1|≥|(x-2)-(x-1)|=1, 3分
∴ln (|x-2|+|x-1|)≥ln 1=0,即函数f(x)的值域为[0,+∞). 5分
(2)由f(x)+1≥0,即ln (|x-2|+|ax-a|)≥-1,得|x-2|+|ax-a|≥,
令g(x)=|x-2|+|ax-a|,
则函数g(x)的最小值g(x)min={g(1),g(2)}min, 7分
∴只需满足 9分
解得a≤-或a≥,故实数a的取值范围是∪. 10分