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2020届全国高考数学（文）刷题1 1（2019模拟题）模拟重组卷（二）（解析版）
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2020届全国高考数学（文）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（二）（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·山西吕梁二模)集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x∈Z|2x－3＜0}，则A∩B的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 A＝{x|－2≤x≤3}，B＝，所以A∩B＝{－2，－1,0,1}．故选B.
2．(2019·大庆三模)若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1＋i，则＝( )
A．i B．－i C．1 D．－1
答案 B
解析 ∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1＋i，∴z2＝－1＋i，∴＝＝＝＝－i.故选B.
3．(2019·佛山二模)如图是1990～2017年我国劳动年龄(15～64岁)人口数量及其占总人口比重情况，则以下选项错误的是( )
A．2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大
B．2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势
C．2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值
D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%
答案 B
解析 从题图中可以看出，2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大，A正确；2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，B错误；从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C正确；我国劳动年龄人口占总人口比重最大的为2011年，约为74%，最小的为1992年，约为67%，故极差超过6%，D正确．
4．(2019·咸阳一模)在等比数列{an}中，a2·a6＝，则sin＝( )
A．－ B. C. D．－
答案 C
解析 在等比数列{an}中，a2·a6＝，可得a＝a2·a6＝，则sin＝sin＝，故选C.
5．(2019·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为( )
A．2 B．3 C．5 D．6
答案 C
解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．
∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当y＝4x＋z过点A(－1，1)时，z取得最大值，zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.
6．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判断k<3，k＝2；第二次循环：s＝2，判断k<3，k＝3；第三次循环：s＝2，判断k＝3，故输出2.故选B.
7．(2019·张掖二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E为下底面半圆弧上一点(异于点B，C)，则关于该几何体的说法正确的是( )
A．BE⊥AC B．DE⊥AE
C．CE⊥平面ABE D．BD⊥平面ACE
答案 C
解析 若BE⊥AC，因为BE⊥AB，AB∩AC＝A，所以BE⊥平面ABC，又因为BC⊂平面ABC，所以BE⊥BC，矛盾，故BE⊥AC不成立，故A不正确；
因为DE2＋AE2＝22＋CE2＋22＋BE2＝8＋AD2，因此∠AED≠90°，即DE与AE不垂直，故B不正确；因为BC为半圆的直径，所以BE⊥CE，又因为CE⊥AB，AB∩BE＝B，所以CE⊥平面ABE，故C正确；假设BD⊥平面ACE，则BD⊥CE，又CE⊥DC，BD∩DC＝D，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥BC，与∠CEB＝90°矛盾，故D不正确．故选C.
8．(2019·山东师大附中二模)已知函数f (x)＝，则y＝f (x)的图象大致为( )
答案 A
解析 令g(x)＝x－ln x－1，则g′(x)＝1－＝，由g′(x)＞0得x＞1，即函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增；由g′(x)＜0得0＜x＜1，即函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以当x＝1时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(1)＝0，于是对任意的x∈(0,1)∪(1，＋∞)，有g(x)≥0，故排除B，D；因函数g(x)在(0,1)上单调递减，则函数f (x)在(0,1)上单调递增，故排除C.故选A.
9．(2019·天津高考)已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A．－2 B．－ C. D．2
答案 C
解析 因为f (x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f (0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g(x)＝Asin，且g(x)最小正周期为2π，所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，所以g＝Asin＝A＝，所以A＝2.所以f (x)＝2sin2x，所以f＝.故选C.
10．(2019·咸宁模拟)已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1F2P＝( )
A. B. C. D．－
答案 D
解析 由题意可知，a＝4，b＝3，∴c＝5，设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2a＝8，故|PF1|＝16，|PF2|＝8，又|F1F2|＝10，∴利用余弦定理可得cos∠F1F2P＝＝－.故选D.
11．(2019·山西晋城一模)在四棱锥S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，△SAD为等边三角形，四边形ABCD为直角梯形，其中AD＝2AB＝2BC，∠CBA＝∠BAD＝90°，若E，F分别是线段SA与线段SC的中点，则直线BE和DF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 作出图形如图所示，取SD的中点G，连接EG，CG，且CG交FD于H；
因为E，G分别是线段SA，SD的中点，故EG綊AD，且BC綊AD，所以EG綊BC，故EB綊GC，因此直线BE，DF所成的角即为GC，DF所成的角；不妨设BC＝1，则SC＝SD＝2，DC＝，易知cos∠SDC＝，在△CDG中，CG2＝CD2＋GD2－2CD·GD·cos∠SDC＝2，故CG＝，故GH＝FH＝，HC＝HD＝，所以cos∠GHD＝＝＝.故选A.
12．(2019·四川南充)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)，f (x)＝若关于x的方程f (x)－ax＝0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得函数f (x)是以4为周期的周期函数，作出函数y＝f (x)与函数y＝ax的图象，由图象可得方程y＝－(x－4)2＋1＝ax，即x2＋(a－8)x＋15＝0在(3,5)上有2个实数根，由解得01，a>.综上可得
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·凉山三模)直线y＝x＋b是曲线y＝ln x的一条切线，则实数b的值为________．
答案 ln 2－1
解析 设切点为P(m，n)，则n＝ln m，n＝m＋b，y＝ln x的导数为y′＝，即有＝，
解得m＝2，n＝ln 2，b＝ln 2－1.
14．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
答案
解析 由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
15．(2019·开封一模)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是________．
答案
解析 由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，
由∠DFE＝，∴∠AFC＝π－＝；
∴△DEF的面积为S△DEF＝·2a·2a·sin＝a2，
△AFC的面积为S△AFC＝·a·3a·sin＝a2，
∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P＝＝.
16．(2019·陕西第二次质检)已知集合M＝{(x，y)|y＝f (x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}；②M＝；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝log2x}．
其中是“垂直对点集”的序号是________．
答案 ①③
解析 对于①，x1x2＋(sinx1＋1)(sinx2＋1)＝0，即＝－，f (x1)＝与f (x2)＝－的值域均为(－∞，＋∞)，故正确；对于②，若满足x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋＝0，(x1x2)2＋1＝0，在实数范围内无解，故不正确；对于③，M＝{(x，y)|y＝ex－2}，画出y＝ex－2的图象，如图，
直角AOB始终存在，即对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，故正确；对于④，M＝{(x，y)|y＝log2x}，取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”，故不正确．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·长沙一模)已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a2n－1，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求使b1＋b2＋…＋bn＞2018成立的最小正整数n的值．
解 (1)根据题意，数列{an}满足an－2an＋1＋an＋2＝0，即an＋an＋2＝2an＋1，
则数列{an}为等差数列，又由a1＝3，a3＝7，则数列{an}的公差d＝＝2，
则an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1；
bn＝a2n－1＝2n＋1.
(2)根据题意，设Sn＝b1＋b2＋…＋bn，
由(1)的结论，bn＝a2n－1＝2n＋1，
则Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(21＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n＋1)＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋n＝2n＋1＋n－2，
若b1＋b2＋…＋bn＞2018，则2n＋1＋n＞2020，
且n∈N*，则n≥10，即使b1＋b2＋…＋bn＞2018成立的最小正整数n的值为10.
18．(本小题满分12分)(2019·宜宾三模)某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为.商家认为一年以内(含一年)更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：
时间间
隔(月)
[3,6]
(6,9]
(9,12]
(12,15]
(15,18]
(18,21]
(21,24]
男性
x
8
9
18
12
8
4
女性
y
2
5
13
11
7
2
(1)计算表格中x，y的值；
(2)若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3～6个月(含3个月和6个月)的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；
(3)请根据频率分布表填写2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”．
频繁更换手机
未频繁更换手机
合计
男性顾客
女性顾客
合计
附表及公式：
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
K2＝
解 (1)由题知男性顾客共有350×＝210人，女性顾客共有350×＝140人，
按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客105×＝63人，女性顾客105×＝42人；所以x＝63－(8＋9＋18＋12＋8＋4)＝4，y＝42－(2＋5＋13＋11＋7＋2)＝2.
(2)记“随机从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3～6个月(含3个月和6个月)的顾客中，抽取2人”为事件A，设男性分别为a，b，c，d，女性分别为e，f，
则事件A共包含(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，15种可能结果，
其中2人均为男性有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，6种可能结果，
所以2人均为男性的概率为P(A)＝＝.
(3)由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有21人，女性顾客中频繁更换手机的有9人，据此可得2×2列联表：
频繁更换手机
未频繁更换手机
合计
男性顾客
21
42
63
女性顾客
9
33
42
合计
30
75
105
所以K2＝＝1.75；
因为1.75＜2.706，
所以没有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”．
19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
解 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，
所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，
故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，
故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.
20．(本小题满分12分)(2019·广东茂名综合测试)设抛物线C：x2＝2py(0＜p＜8)的焦点为F，点P是C上一点，且PF的中点坐标为.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)动直线l过点A(0,2)，且与抛物线C交于M，N两点，点Q与点M关于y轴对称(点Q与点N不重合)，求证：直线QN恒过定点．
解 (1)依题意得F，设P(x0，y0)，由PF的中点坐标为，得
0＋x0＝2×2且＋y0＝2×，∴x0＝4，y0＝5－.
∵P(x0，y0)在抛物线x2＝2py上，∴16＝2p，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8(舍去)．
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)证法一：依题意直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Q(－x1，y1)，
联立消去y得x2－4kx－8＝0，显然Δ＞0，由根与系数的关系得
∵kQN＝＝＝，
∴直线QN的方程为y－y1＝(x＋x1)，
即y＝y1＋(x＋x1)＝x＋＋＝x＋，
∵x1x2＝－8，
∴直线QN的方程为y＝x－2，
即直线QN的方程恒过定点(0，－2)．
证法二：依题意知直线QN的斜率存在且不为0，设直线QN的方程为y＝kx＋b，Q(x1，y1)，N(x2，y2)，则M(－x1，y1)
联立消去y得x2－4kx－4b＝0.∵Q，N是抛物线C上不同两点，∴必有Δ＞0，由根与系数的关系得
∵M，A，N三点共线，＝(－x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)，
∴－x1(y2－2)－x2(y1－2)＝0.
∴－x1(kx2＋b－2)－x2(kx1＋b－2)＝0，
∴2kx1x2＋(b－2)(x1＋x2)＝0，即2k·(－4b)＋(b－2)·4k＝0，化简得：kb＋2k＝0，
∵k≠0，∴b＝－2.
∴直线QN的方程为y＝kx－2，
∴直线QN恒过定点(0，－2)．
21．(本小题满分12分)(2019·泉州质检)已知函数f (x)＝xex－x2－ax.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当x≥－1时，f (x)＋x2－a＋1≥0，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝ex＋xex－ax－a＝(ex－a)(x＋1)．
①当a≤0时，
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f (x)
极小值
所以f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在上单调递增．
②当a＞0时，f′(x)＝0的根为x＝ln a或x＝－1.
若ln a＞－1，即a＞，
x
(－∞，－1)
－1
(－1，ln a)
ln a
(ln a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
极大值
极小值
所以f (x)在(－∞，－1)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(－1，ln a)上单调递减．
若ln a＝－1，即a＝，
f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无减区间．
若ln a＜－1，即0＜a＜，
x
(－∞，ln a)
ln a
(ln a，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f (x)在(－∞，ln a)，(－1，＋∞)上单调递增，在(ln a，－1)上单调递减．
综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜时，f (x)在(－∞，ln a)，(－1，＋∞)上单调递增，在(ln a，－1)上单调递减；
当a＝时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无减区间；
当a＞时，f (x)在(－∞，－1)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(－1，ln a)上单调递减．
(2)解法一：因为xex－ax－a＋1≥0，所以a(x＋1)≤xex＋1.
当x＝－1时，0≤－＋1恒成立．
当x＞－1时，a≤.
令g(x)＝，g′(x)＝，
设h(x)＝ex(x2＋x＋1)－1，
因为h′(x)＝ex(x＋1)(x＋2)＞0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，
即h(x)＝ex(x2＋x＋1)－1在x∈(－1，＋∞)上单调递增．
又因为h(0)＝0，所以g(x)＝在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
则g(x)min＝g(0)＝1，所以a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
解法二：令g(x)＝f (x)＋x2－a＋1＝xex－ax－a＋1，
所以g′(x)＝ex＋xex－a＝ex(x＋1)－a，
当a≤0时，g′(x)≥0，则g(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(－1)＝－＋1＞0，满足题意．
当0＜a≤1时，
令h(x)＝ex＋xex－a，
因为h′(x)＝2ex＋xex＞0，即h(x)＝ex＋xex－a在[－1，＋∞)上单调递增．
又因为h(－1)＝－a＜0，h(0)＝1－a≥0，
所以h(x)＝ex＋xex－a＝0在[－1,0]上有唯一的解，记为x0，
x
(－1，x0)
x0
(x0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
↘
极小值
↗
g(x)min＝g(x0)＝x0e－ax0－a＋1＝x0e－(e＋x0e)x0－(e＋x0e)＋1＝－e＋1≥－e＋1≥0，满足题意．
当a＞1时，g(0)＝－a＋1＜0，不满足题意．
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·衡阳一模)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为(m>0，t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与x轴交于点P，与曲线C交于点A，B，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．
解 (1)直线的参数方程(m＞0，t为参数)，
消去参数可得x＝y＋m.
由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即x2＋y2－2x＝0.
(2)把(m＞0，t为参数)代入x2＋y2－2x＝0得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0.
由Δ＞0，解得－1＜m＜3，
∴t1t2＝m2－2m，
∵|PA|·|PB|＝1＝|t1t2|，∴m2－2m＝±1，
解得m＝1±或m＝1.又满足Δ＞0，m＞0，
∴实数m＝1＋或m＝1.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·广州一模)已知函数f (x)＝|x＋2|－|ax－2|.
(1)当a＝2时，求不等式f (x)≥2x＋1的解集；
(2)若不等式f (x)＞x－2对x∈(0,2)恒成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f (x)＝|x＋2|－|2x－2|＝
当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；
当－2＜x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈∅；
当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1.
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．
(2)因为x∈(0,2)，
所以f (x)＞x－2等价于|ax－2|＜4，
即等价于－＜a＜，
所以由题设得－＜a＜在x∈(0,2)上恒成立，
又由x∈(0,2)，可知－＜－1，＞3，
所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1,3]．
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·山西吕梁二模)集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x∈Z|2x－3＜0}，则A∩B的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 A＝{x|－2≤x≤3}，B＝，所以A∩B＝{－2，－1,0,1}．故选B.
2．(2019·大庆三模)若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1＋i，则＝( )
A．i B．－i C．1 D．－1
答案 B
解析 ∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1＋i，∴z2＝－1＋i，∴＝＝＝＝－i.故选B.
3．(2019·佛山二模)如图是1990～2017年我国劳动年龄(15～64岁)人口数量及其占总人口比重情况，则以下选项错误的是( )
A．2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大
B．2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势
C．2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值
D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%
答案 B
解析 从题图中可以看出，2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大，A正确；2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，B错误；从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C正确；我国劳动年龄人口占总人口比重最大的为2011年，约为74%，最小的为1992年，约为67%，故极差超过6%，D正确．
4．(2019·咸阳一模)在等比数列{an}中，a2·a6＝，则sin＝( )
A．－ B. C. D．－
答案 C
解析 在等比数列{an}中，a2·a6＝，可得a＝a2·a6＝，则sin＝sin＝，故选C.
5．(2019·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为( )
A．2 B．3 C．5 D．6
答案 C
解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．
∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当y＝4x＋z过点A(－1，1)时，z取得最大值，zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.
6．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判断k<3，k＝2；第二次循环：s＝2，判断k<3，k＝3；第三次循环：s＝2，判断k＝3，故输出2.故选B.
7．(2019·张掖二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E为下底面半圆弧上一点(异于点B，C)，则关于该几何体的说法正确的是( )
A．BE⊥AC B．DE⊥AE
C．CE⊥平面ABE D．BD⊥平面ACE
答案 C
解析 若BE⊥AC，因为BE⊥AB，AB∩AC＝A，所以BE⊥平面ABC，又因为BC⊂平面ABC，所以BE⊥BC，矛盾，故BE⊥AC不成立，故A不正确；
因为DE2＋AE2＝22＋CE2＋22＋BE2＝8＋AD2，因此∠AED≠90°，即DE与AE不垂直，故B不正确；因为BC为半圆的直径，所以BE⊥CE，又因为CE⊥AB，AB∩BE＝B，所以CE⊥平面ABE，故C正确；假设BD⊥平面ACE，则BD⊥CE，又CE⊥DC，BD∩DC＝D，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥BC，与∠CEB＝90°矛盾，故D不正确．故选C.
8．(2019·山东师大附中二模)已知函数f (x)＝，则y＝f (x)的图象大致为( )
答案 A
解析 令g(x)＝x－ln x－1，则g′(x)＝1－＝，由g′(x)＞0得x＞1，即函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增；由g′(x)＜0得0＜x＜1，即函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以当x＝1时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(1)＝0，于是对任意的x∈(0,1)∪(1，＋∞)，有g(x)≥0，故排除B，D；因函数g(x)在(0,1)上单调递减，则函数f (x)在(0,1)上单调递增，故排除C.故选A.
9．(2019·天津高考)已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A．－2 B．－ C. D．2
答案 C
解析 因为f (x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f (0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g(x)＝Asin，且g(x)最小正周期为2π，所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，所以g＝Asin＝A＝，所以A＝2.所以f (x)＝2sin2x，所以f＝.故选C.
10．(2019·咸宁模拟)已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1F2P＝( )
A. B. C. D．－
答案 D
解析 由题意可知，a＝4，b＝3，∴c＝5，设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2a＝8，故|PF1|＝16，|PF2|＝8，又|F1F2|＝10，∴利用余弦定理可得cos∠F1F2P＝＝－.故选D.
11．(2019·山西晋城一模)在四棱锥S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，△SAD为等边三角形，四边形ABCD为直角梯形，其中AD＝2AB＝2BC，∠CBA＝∠BAD＝90°，若E，F分别是线段SA与线段SC的中点，则直线BE和DF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 作出图形如图所示，取SD的中点G，连接EG，CG，且CG交FD于H；
因为E，G分别是线段SA，SD的中点，故EG綊AD，且BC綊AD，所以EG綊BC，故EB綊GC，因此直线BE，DF所成的角即为GC，DF所成的角；不妨设BC＝1，则SC＝SD＝2，DC＝，易知cos∠SDC＝，在△CDG中，CG2＝CD2＋GD2－2CD·GD·cos∠SDC＝2，故CG＝，故GH＝FH＝，HC＝HD＝，所以cos∠GHD＝＝＝.故选A.
12．(2019·四川南充)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)，f (x)＝若关于x的方程f (x)－ax＝0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意可得函数f (x)是以4为周期的周期函数，作出函数y＝f (x)与函数y＝ax的图象，由图象可得方程y＝－(x－4)2＋1＝ax，即x2＋(a－8)x＋15＝0在(3,5)上有2个实数根，由解得0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·凉山三模)直线y＝x＋b是曲线y＝ln x的一条切线，则实数b的值为________．
答案 ln 2－1
解析 设切点为P(m，n)，则n＝ln m，n＝m＋b，y＝ln x的导数为y′＝，即有＝，
解得m＝2，n＝ln 2，b＝ln 2－1.
14．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
答案
解析 由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
15．(2019·开封一模)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是________．
答案
解析 由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，
由∠DFE＝，∴∠AFC＝π－＝；
∴△DEF的面积为S△DEF＝·2a·2a·sin＝a2，
△AFC的面积为S△AFC＝·a·3a·sin＝a2，
∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P＝＝.
16．(2019·陕西第二次质检)已知集合M＝{(x，y)|y＝f (x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}；②M＝；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝log2x}．
其中是“垂直对点集”的序号是________．
答案 ①③
解析 对于①，x1x2＋(sinx1＋1)(sinx2＋1)＝0，即＝－，f (x1)＝与f (x2)＝－的值域均为(－∞，＋∞)，故正确；对于②，若满足x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋＝0，(x1x2)2＋1＝0，在实数范围内无解，故不正确；对于③，M＝{(x，y)|y＝ex－2}，画出y＝ex－2的图象，如图，
直角AOB始终存在，即对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，故正确；对于④，M＝{(x，y)|y＝log2x}，取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”，故不正确．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·长沙一模)已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a2n－1，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求使b1＋b2＋…＋bn＞2018成立的最小正整数n的值．
解 (1)根据题意，数列{an}满足an－2an＋1＋an＋2＝0，即an＋an＋2＝2an＋1，
则数列{an}为等差数列，又由a1＝3，a3＝7，则数列{an}的公差d＝＝2，
则an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1；
bn＝a2n－1＝2n＋1.
(2)根据题意，设Sn＝b1＋b2＋…＋bn，
由(1)的结论，bn＝a2n－1＝2n＋1，
则Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(21＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n＋1)＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋n＝2n＋1＋n－2，
若b1＋b2＋…＋bn＞2018，则2n＋1＋n＞2020，
且n∈N*，则n≥10，即使b1＋b2＋…＋bn＞2018成立的最小正整数n的值为10.
18．(本小题满分12分)(2019·宜宾三模)某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为.商家认为一年以内(含一年)更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：
时间间
隔(月)
[3,6]
(6,9]
(9,12]
(12,15]
(15,18]
(18,21]
(21,24]
男性
x
8
9
18
12
8
4
女性
y
2
5
13
11
7
2
(1)计算表格中x，y的值；
(2)若以频率作为概率，从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3～6个月(含3个月和6个月)的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；
(3)请根据频率分布表填写2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”．
频繁更换手机
未频繁更换手机
合计
男性顾客
女性顾客
合计
附表及公式：
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
K2＝
解 (1)由题知男性顾客共有350×＝210人，女性顾客共有350×＝140人，
按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客105×＝63人，女性顾客105×＝42人；所以x＝63－(8＋9＋18＋12＋8＋4)＝4，y＝42－(2＋5＋13＋11＋7＋2)＝2.
(2)记“随机从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3～6个月(含3个月和6个月)的顾客中，抽取2人”为事件A，设男性分别为a，b，c，d，女性分别为e，f，
则事件A共包含(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，15种可能结果，
其中2人均为男性有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，6种可能结果，
所以2人均为男性的概率为P(A)＝＝.
(3)由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有21人，女性顾客中频繁更换手机的有9人，据此可得2×2列联表：
频繁更换手机
未频繁更换手机
合计
男性顾客
21
42
63
女性顾客
9
33
42
合计
30
75
105
所以K2＝＝1.75；
因为1.75＜2.706，
所以没有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”．
19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
解 (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，
所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，
故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，
故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.
20．(本小题满分12分)(2019·广东茂名综合测试)设抛物线C：x2＝2py(0＜p＜8)的焦点为F，点P是C上一点，且PF的中点坐标为.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)动直线l过点A(0,2)，且与抛物线C交于M，N两点，点Q与点M关于y轴对称(点Q与点N不重合)，求证：直线QN恒过定点．
解 (1)依题意得F，设P(x0，y0)，由PF的中点坐标为，得
0＋x0＝2×2且＋y0＝2×，∴x0＝4，y0＝5－.
∵P(x0，y0)在抛物线x2＝2py上，∴16＝2p，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8(舍去)．
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)证法一：依题意直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Q(－x1，y1)，
联立消去y得x2－4kx－8＝0，显然Δ＞0，由根与系数的关系得
∵kQN＝＝＝，
∴直线QN的方程为y－y1＝(x＋x1)，
即y＝y1＋(x＋x1)＝x＋＋＝x＋，
∵x1x2＝－8，
∴直线QN的方程为y＝x－2，
即直线QN的方程恒过定点(0，－2)．
证法二：依题意知直线QN的斜率存在且不为0，设直线QN的方程为y＝kx＋b，Q(x1，y1)，N(x2，y2)，则M(－x1，y1)
联立消去y得x2－4kx－4b＝0.∵Q，N是抛物线C上不同两点，∴必有Δ＞0，由根与系数的关系得
∵M，A，N三点共线，＝(－x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)，
∴－x1(y2－2)－x2(y1－2)＝0.
∴－x1(kx2＋b－2)－x2(kx1＋b－2)＝0，
∴2kx1x2＋(b－2)(x1＋x2)＝0，即2k·(－4b)＋(b－2)·4k＝0，化简得：kb＋2k＝0，
∵k≠0，∴b＝－2.
∴直线QN的方程为y＝kx－2，
∴直线QN恒过定点(0，－2)．
21．(本小题满分12分)(2019·泉州质检)已知函数f (x)＝xex－x2－ax.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当x≥－1时，f (x)＋x2－a＋1≥0，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝ex＋xex－ax－a＝(ex－a)(x＋1)．
①当a≤0时，
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f (x)
极小值
所以f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在上单调递增．
②当a＞0时，f′(x)＝0的根为x＝ln a或x＝－1.
若ln a＞－1，即a＞，
x
(－∞，－1)
－1
(－1，ln a)
ln a
(ln a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
极大值
极小值
所以f (x)在(－∞，－1)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(－1，ln a)上单调递减．
若ln a＝－1，即a＝，
f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无减区间．
若ln a＜－1，即0＜a＜，
x
(－∞，ln a)
ln a
(ln a，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f (x)在(－∞，ln a)，(－1，＋∞)上单调递增，在(ln a，－1)上单调递减．
综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜时，f (x)在(－∞，ln a)，(－1，＋∞)上单调递增，在(ln a，－1)上单调递减；
当a＝时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无减区间；
当a＞时，f (x)在(－∞，－1)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(－1，ln a)上单调递减．
(2)解法一：因为xex－ax－a＋1≥0，所以a(x＋1)≤xex＋1.
当x＝－1时，0≤－＋1恒成立．
当x＞－1时，a≤.
令g(x)＝，g′(x)＝，
设h(x)＝ex(x2＋x＋1)－1，
因为h′(x)＝ex(x＋1)(x＋2)＞0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，
即h(x)＝ex(x2＋x＋1)－1在x∈(－1，＋∞)上单调递增．
又因为h(0)＝0，所以g(x)＝在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
则g(x)min＝g(0)＝1，所以a≤1.
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
解法二：令g(x)＝f (x)＋x2－a＋1＝xex－ax－a＋1，
所以g′(x)＝ex＋xex－a＝ex(x＋1)－a，
当a≤0时，g′(x)≥0，则g(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(－1)＝－＋1＞0，满足题意．
当0＜a≤1时，
令h(x)＝ex＋xex－a，
因为h′(x)＝2ex＋xex＞0，即h(x)＝ex＋xex－a在[－1，＋∞)上单调递增．
又因为h(－1)＝－a＜0，h(0)＝1－a≥0，
所以h(x)＝ex＋xex－a＝0在[－1,0]上有唯一的解，记为x0，
x
(－1，x0)
x0
(x0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
↘
极小值
↗
g(x)min＝g(x0)＝x0e－ax0－a＋1＝x0e－(e＋x0e)x0－(e＋x0e)＋1＝－e＋1≥－e＋1≥0，满足题意．
当a＞1时，g(0)＝－a＋1＜0，不满足题意．
综上，a的取值范围为(－∞，1]．
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·衡阳一模)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为(m>0，t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与x轴交于点P，与曲线C交于点A，B，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．
解 (1)直线的参数方程(m＞0，t为参数)，
消去参数可得x＝y＋m.
由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即x2＋y2－2x＝0.
(2)把(m＞0，t为参数)代入x2＋y2－2x＝0得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0.
由Δ＞0，解得－1＜m＜3，
∴t1t2＝m2－2m，
∵|PA|·|PB|＝1＝|t1t2|，∴m2－2m＝±1，
解得m＝1±或m＝1.又满足Δ＞0，m＞0，
∴实数m＝1＋或m＝1.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·广州一模)已知函数f (x)＝|x＋2|－|ax－2|.
(1)当a＝2时，求不等式f (x)≥2x＋1的解集；
(2)若不等式f (x)＞x－2对x∈(0,2)恒成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f (x)＝|x＋2|－|2x－2|＝
当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；
当－2＜x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈∅；
当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1.
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．
(2)因为x∈(0,2)，
所以f (x)＞x－2等价于|ax－2|＜4，
即等价于－＜a＜，
所以由题设得－＜a＜在x∈(0,2)上恒成立，
又由x∈(0,2)，可知－＜－1，＞3，
所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1,3]．
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