2020届全国高考提分教程检测仿真模拟卷一 理科数学(解析版)
展开仿真模拟卷一
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )
A.A∪B={x|x>1} B.A∪B=R
C.A∩B={x|x<0} D.A∩B=∅
答案 C
解析 集合B={x|3x<1},即B={x|x<0},而A={x|x<1},所以A∪B={x|x<1},A∩B={x|x<0}.
2.记复数z的共轭复数为,若(1-i)=2i(i为虚数单位),则|z|=( )
A. B.1 C.2 D.2
答案 A
解析 由(1-i)=2i,可得===-1+i,所以z=-1-i,|z|=.
3.设a=ln,b=20.3,c=2,则( )
A.a
解析 由对数函数的性质可知a=ln<0,由指数函数的性质可知b=20.3>1,又0
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由<可得0<θ<,所以由“<”可得“sinθ<”,但由“sin<”推不出“<”所以“<”是“sinθ<”的充分不必要条件.
5.在如图所示的计算1+5+9+…+2021的程序框图中,判断框内应填入的条件是( )
A.i≤2021? B.i<2021?
C.i<2017? D.i≤2025?
答案 A
解析 由题意结合流程图可知当i=2021时,程序应执行S=S+i,i=i+4=2025,再次进入判断框时应该跳出循环,输出S的值;结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是i≤2021?.
6.已知二项式n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为( )
A.14 B.-14 C.240 D.-240
答案 C
解析 二项展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=C(2x)n-r·r,由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,可得C∶C=2∶5.即=,解得n=6.所以Tr+1=C26-r(-1)rx ,令6-r=3,解得r=2,所以x3的系数为C26-2(-1)2=240.
7.在△ABC中,+=2,+=0,若=x+y,则( )
A.y=3x B.x=3y
C.y=-3x D.x=-3y
答案 D
解析 因为+=2,所以点D是BC的中点,又因为+=0,所以点E是AD的中点,所以有=+=-+=-+×(+)=-+,因此=-.所以x=,y=-,即x=-3y.
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则使f(a+x)-f(a-x)=0成立的a的最小正值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由图象易知,A=2,f(0)=1,即2sinφ=1,且|φ|<,即φ=,由图可知,f=0,所以sin=0,所以·ω+=2kπ,k∈Z,即ω=,k∈Z,又由图可知,周期T>⇒>,得ω<,且ω>0,所以k=1,ω=2,所以函数f(x)=2sin,因为f(a+x)-f(a-x)=0,所以函数f(x)的图象关于x=a对称,即有2a+=kπ+,k∈Z,所以可得a=+,k∈Z,所以a的最小正值为.
9.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,f=1,当x<0时,f(x)=log2(-x)+m,则实数m=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,f=1,且x<0时,f(x)=log2(-x)+m,∴f=log2+m=-2+m=-1,∴m=1.
10.在等差数列{an}中,a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,则数列{an}的前11项和等于( )
A.66 B.132 C.-66 D.-132
答案 D
解析 因为a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,所以a3+a9=-24,又a3+a9=-24=2a6,所以a6=-12,S11===-132.
11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,P为双曲线左支上一点,△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为a,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知等腰△ABP中,|AB|=|AP|=2a,设∠ABP=∠APB=θ,F1为双曲线的左焦点,
则∠F1AP=2θ,其中θ必为锐角.
∵△ABP外接圆的半径为a,∴2a=,
∴sinθ=,cosθ=,
∴sin2θ=2××=,
cos2θ=2×2-1=.
设点P的坐标为(x,y),
则x=-a-|AP|cos2θ=-,y=|AP|sin2θ=,
故点P的坐标为.
由点P在双曲线上,得-=1,
整理得=,∴e== =.
12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”:y=f(x)=其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命题:
①f[f(x)]=0;②函数f(x)是偶函数;③任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立;④存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 当x为有理数时,f(x)=1;当x为无理数时,f(x)=0.∴当x为有理数时,f[f(x)]=f(1)=1;当x为无理数时,f[f(x)]=f(0)=1,∴无论x是有理数还是无理数,均有f[f(x)]=1,故①不正确;∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,
∴对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),故②正确;当T∈Q时,若x是有理数,则x+T也是有理数;若x是无理数,则x+T也是无理数,∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立,故③正确;取x1=,x2=0,x3=-,f(x1)=0,f(x2)=1,f(x3)=0,∴A,B(0,1),C,△ABC恰好为等边三角形,故④正确,故选C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知x,y满足约束条件x,y∈R,则x2+y2的最大值为________.
答案 8
解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点距离的平方.
由图形可得,可行域内的点A或点B到原点的距离最大,且A(2,-2),B(2,2),又|OA|=|OB|=2,∴(x2+y2)max=8.
14.设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在同一个球面上,且球的表面积是40π,AB=AC=AA1,∠BAC=120°,则此直三棱柱的高是________.
答案 2
解析 设AB=AC=AA1=x,在△ABC中,∠BAC=120°,则由余弦定理可得BC=x.
由正弦定理,可得△ABC外接圆的半径为r=x,
又∵球的表面积是40π,∴球的半径为R=.
设△ABC外接圆的圆心为O′,球心为O,在Rt△OBO′中,有2+x2=10,解得x=2,即AA1=2.∴直三棱柱的高是2.
15.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图,在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是________.
答案
解析 由七巧板的构造可知,△BIC≌△GOH,故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等,而S梯形EFOH=S△DOF=×S正方形ABDF=S正方形ABDF,
∴所求的概率为P==.
16.在数列{an}中,a1=1,an+1=Sn+3n(n∈N*,n≥1),则数列{Sn}的通项公式为________.
答案 Sn=3n-2n
解析 ∵an+1=Sn+3n=Sn+1-Sn,
∴Sn+1=2Sn+3n,
∴=·+,∴-1=,
又-1=-1=-,
∴数列是首项为-,公比为的等比数列,
∴-1=-×n-1=-n,
∴Sn=3n-2n.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且bcosA=sinA(acosC+ccosA).
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
解 (1)∵bcosA=sinA(acosC+ccosA),
∴由正弦定理可得,
sinBcosA=sinA(sinAcosC+sinCcosA)
=sinAsin(A+C)=sinAsinB,
即sinBcosA=sinAsinB,∵sinB≠0,∴tanA=,
∵A∈(0,π),∴A=.
(2)∵A=,a=2,△ABC的面积为,
∴bcsinA=bc=,∴bc=5,
∴由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA,
即12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-15,
解得b+c=3,
∴△ABC的周长为a+b+c=2+3=5.
18.(本小题满分12分)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
(3)若二面角E-BD-F的余弦值为,求线段CF的长.
解 依题意,可以建立以A为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),
B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),
E(0,0,2).设CF=h(h>0),
则F(1,2,h).
(1)证明:依题意,=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又=(0,2,h),可得·=0,又因为直线BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE.
(2)依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).
设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则
即不妨令z=1,
可得n=(2,2,1).
因此有cos〈,n〉==-.
所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
(3)设m=(x′,y′,z′)为平面BDF的法向量,
则即
不妨令y=1,可得m=.
由题意,有|cos〈m,n〉|===,
解得h=.经检验,符合题意.
所以线段CF的长为.
19.(本小题满分12分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程;
(2)求的最小值及此时点G的坐标.
解 (1)由题意得=1,即p=2.
所以抛物线的准线方程为x=-1.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,2t≠0,则xA=t2.
由于直线AB过F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,
故2tyB=-4,即yB=-,所以B.
又由于xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-+yC=0,得
C,G.
所以直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),
得Q(t2-1,0).
由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而
=
=
==2-.
令m=t2-2,则m>0,
=2-=2-
≥2-=1+.
当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).
20.(本小题满分12分)设函数f(x)=mex-x2+3,其中m∈R.
(1)当f(x)为偶函数时,求函数h(x)=xf(x)的极值;
(2)若函数f(x)在区间[-2,4]上有两个零点,求m的取值范围.
解 (1)由函数f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
即me-x-(-x)2+3=mex-x2+3对于任意实数x都成立,所以m=0.
此时h(x)=xf(x)=-x3+3x,则h′(x)=-3x2+3.
由h′(x)=0,解得x=±1.
当x变化时,h′(x)与h(x)的变化情况如下表所示:
所以h(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增.
所以h(x)有极小值h(-1)=-2,极大值h(1)=2.
(2)由f(x)=mex-x2+3=0,得m=.
所以“f(x)在区间[-2,4]上有两个零点”等价于“直线y=m与曲线g(x)=,x∈[-2,4]有且只有两个公共点”.
对函数g(x)求导,得g′(x)=.
由g′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.
当x变化时,g′(x)与g(x)的变化情况如下表所示:
所以g(x)在(-2,-1),(3,4)上单调递减,在(-1,3)上单调递增.
又因为g(-2)=e2,g(-1)=-2e,g(3)=
所以当-2e
(1)若某盒芯片中有9片合格,3片不合格,求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率?
(2)若每片芯片售价10元,每片芯片检验费用1元,次品到达组装工厂被发现后,每片须由代工厂退赔10元,并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为p(0 ①若某盒12片芯片中恰有3片次品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;
②若以①中的p0作为p的值,由于质检员操作疏忽,有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂,试确定这盒芯片的最终利润X(单位:元)的期望.
解 (1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A,则P(A)==.
答:该盒芯片可出厂的概率为.
(2)①某盒12片芯片中恰有3片次品的概率
f(p)=Cp3(1-p)9
当且仅当3p=1-p,即p=时取“=”号,
故f(p)的最大值点p0=.
②由题设知,p=p0=.设这盒芯片不合格品个数为n,
则n~B,故E(n)=12×=3,
则E(X)=120-12-30-3×2=72.
∴这盒芯片的最终利润X的期望是72元.
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x2+y2=4,直线l的参数方程为(t为参数),若将曲线C1上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的,得曲线C2.
(1)写出曲线C2的参数方程;
(2)设点P(-2,3),直线l与曲线C2的两个交点分别为A,B,求+的值.
解 (1)若将曲线C1上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的,则得到曲线C2的直角坐标方程为x2+2=4,整理,得+=1,
∴曲线C2的参数方程为(θ为参数).
(2)将直线l的参数方程化为标准形式为
(t′为参数),
将参数方程代入+=1,得
+=1,
整理,得(t′)2+18t′+36=0.
∴|PA|+|PB|=|t1′+t2′|=,
|PA|·|PB|=t1′t2′=,
∴+===.
23.(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+3|+|x-1|的最小值为m.
(1)求m的值以及此时x的取值范围;
(2)若实数p,q,r满足:p2+2q2+r2=m,
证明:q(p+r)≤2.
解 (1)依题意,得f(x)=|x+3|+|x-1|≥|x+3-x+1|=4,故m的值为4.
当且仅当(x+3)(x-1)≤0,即-3≤x≤1时等号成立,即x的取值范围为[-3,1].
(2)证明:因为p2+2q2+r2=m,
故(p2+q2)+(q2+r2)=4.
因为p2+q2≥2pq,当且仅当p=q时等号成立;
q2+r2≥2qr,当且仅当q=r时等号成立,
所以(p2+q2)+(q2+r2)=4≥2pq+2qr,
故q(p+r)≤2,当且仅当p=q=r时等号成立.