2020届辽宁省大连市高三上学期第三次模拟考试数学（文）试题（解析版）
展开2019-2020学年辽宁省大连市高三（上）第三次模拟
数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题）
- 已知集合，，则
A. B. C. D.
- 设函数，则的值为
A. B. C. D. 18
- 给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
- 设等比数列的公比，前n项和为，则
A. 2 B. 4 C. D.
- 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
- 函数的最小值和最大值分别为
A. ，1 B. ，2 C. ， D. ，
- 下列程序运行结果是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
|
- 如图是由一个圆，一个三角形和一个长方形组合而成的图形，现用红，蓝两种颜色为其涂色，则三个图形颜色不全相同的概率为
A. B. C. D.
- 已知扇形OAB的半径为2，圆心角为，点C是弧AB的中点，，则的值为
A. 3 B. 4 C. D.
- 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，则函数“”和“”仍为通常的乘法和减法的最大值等于
A. B. 1 C. 6 D. 12
- 数列中，，，且，则
A. B. C. 100 D.
- 已知抛物线的焦点为F，以点为圆心，为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M，N两点，则等于
A. 8 B. 18 C. D. 4
二、填空题（本大题共4小题）
- 设变量x，y满足条件，则的最小值为______．
- 已知数据，，，，的平均数为3，标准差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为______．
- 已知数列的前项n和为，且满足，则______．
- 已知函数，c为常数，当时，函数取得极值，若函数只有一个零点，则实数c的取值范围为______．
三、解答题（本大题共7小题）
- 已知函数．
当时，求的单调递增区间；
当，且时，的值域是，求a，b的值． - 如图，已知矩形ABCD中，，，将矩形沿对角线BD把折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ求三棱锥的体积．
- 已知函数．
若1，2，，1，2，，求方程恰有两个不相等的实根的概率；
若，，求方程没有实根的概率． - 已知函数．
是否存在实数a，使得在上为单调减函数，若存在求出a的值，若不存在，请说明理由．
若函数的图象在处的切线平行于x轴，对任意的，都有成立，求的取值范围． - 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线的焦点．若过点的直线斜率不等于零与椭圆交于不同的两点E、在B、F之间，
求椭圆的标准方程；
求直线l斜率的取值范围；
若与面积之比为，求的取值范围． - 以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M点为圆心，4为半径．
求直线l和圆C的极坐标方程；
直线l与x轴y轴分别交于A，B两点，Q为圆C上一动点，求面积的最小值． - 已知关于x的不等式．
当时，求此不等式的解集；
若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合，
，
，
，
，
故选C．
由题意，，解出M和N，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数求值，根据定义域选择合适的解析式，由内而外逐层求解．
由题意得，当时，；当时，，故本题先求的值，再根据所得值代入相应的解析式求值．
【解答】
解：当时，，则，
，
当时，，
．
故选A．
3.【答案】C
【解析】解：
本小题主要考查四种命题的真假．易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．
答案：C
因为原命题和其逆否命题同真假，所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可．
本题考查四种命题及其真假关系，注意原命题和其逆否命题同真假．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，属于基础题．
根据等比数列的性质，借助公比q表示出和之间的关系，易得与间的关系，然后二者相除进而求得答案．
【解答】
解：由于，
；
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：几何体是一个组合体，下部底面半径为1，高为2的圆柱；
上部是圆锥，其底面半径为1，母线为．
该几何体的体积：
故选C．
由三视图推知，几何体是下部是圆柱，上部是圆锥组成，根据数据求体积即可．
本题考查三视图、组合体的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：，
当时，，
当时，．
故选：C．
用二倍角公式把二倍角变为一倍角，得到关于sinx的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，解题时注意正弦的取值范围．
三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的范围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可
7.【答案】B
【解析】解：模拟程序的运行，可得
，，
满足条件，执行循环体，，，
满足条件，执行循环体，，，
满足条件，执行循环体，，，
满足条件，执行循环体，，，
满足条件，执行循环体，，，
此时，不满足条件，退出循环，输出j的值为5．
故选：B．
根据已知中的伪代码可知，该程序的功能是利用直到型循环计算s，i，j并输出满足条件的j的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
本题考查的知识点是循环结构和伪代码，当程序的运行次数不多时，我们多采用模拟程序运行结果的办法进行解答．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，用红、蓝两种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共种情况；
其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色和蓝色，
则三个形状颜色不全相同的有种情况；
故其概率为；
故选：A．
首先用分步计数原理分析用两种颜色为3个图形涂色的情况数目，根据题意，分析可得“颜色不全相同”与“颜色全同”为对立事件；易得颜色全同的情况数目，即可得颜色不全相同的情况数目，由古典概型的公式计算可得答案．
本题考查等可能事件的概率，注意题意中对“颜色不全相同”的理解，即与“颜色全同”为对立事件．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接CO，点C是弧AB的中点，
，且，，，
．
故选：C．
可以画出图形，连接OC，从而据题意得出，然后可得出，进行数量积的运算即可．
本题考查了向量垂直的充要条件，连接弧的中点和圆心的连线与弧所对应的弦垂直，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：当时，
在中，1相当于a，x相当于b，
，
符合时的运算公式，
．
，
，
，
当时，
，
，
，
此函数当时有最大值6．
故选C．
首先认真分析找出规律，可以先分别求得和，再求的表达式．然后求出其最大值即可．
此题主要考查了二次函数最值问题，解决此类问题时，主要运用等量代换思想，即要看准用哪一个数字代替哪一个字母．
11.【答案】D
【解析】解：由，，且，
得，即．
，．
则，
，
，
，
把以上个等式累乘得：
，
，
则．
故选：D．
由向量垂直的坐标表示得到数列递推式，变形后利用类乘法求解数列的通项公式，则可求．
本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了数列的递推式，考查了类乘法求数列的通项公式，是中档题．
12.【答案】A
【解析】解：设，
根据抛物线方程可知，焦点坐标
圆的方程为与抛物线方程联立消去y得，
根据抛物线性质可知
故选：A．
设，根据抛物线方程可求得准线方程和焦点坐标，进而求得PF的长得到圆的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得的值，再根据抛物线性质可知求得答案．
本题主要考查了抛物线的性质和抛物线与圆的关系．解题的关键是灵活利用抛物线关于抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离的性质．
13.【答案】
【解析】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，
令，
显然当平行直线过点时，
z取得最小值为；
故答案为．
本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．
在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．
14.【答案】14，400
【解析】解：由题意知，原数据的平均数
方差
另一组数据的平均数
；
方差，
故答案为：14，400．
根据标准差的概念计算．先表示出数据、、、、的平均数，方差；然后表示新数据的平均数和方差，通过代数式的变形即可求得新数据的平均数和方差．
本题考查的是标准差的计算．计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：计算数据的平均数；计算偏差，即每个数据与平均数的差；计算偏差的平方和；偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标差和方差一样都是非负数．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，数列满足，
当时，有，
当时，有，不符合，
故；
故答案为：．
根据题意，由数列的前n项和公式可得时，有，当时，有，综合两种情况即可得答案．
本题考查数列的前n项和与通项公式的关系，涉及数列通项公式的求法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
，
当时，函数取得极值，
，即，
，
当，时，，函数单调递增，当2，时，，函数单调递减，
若函数只有一个零点，则或，
或
故实数c的取值范围为．
故而答案为：．
由题意可得可求b，代入后结合导数与单调性的关系即可求解．
查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
17.【答案】解：当时，．
由得：，
所以的单调递增区间为；
因为，，
，
所以，，又的值域是，
所以，．
【解析】当时，利用三角恒等变换辅助角公式可得，再利用正弦函数的单调性即可求得的单调递增区间；
，利用正弦函数的单调性质即可求得，又的值域是，从而可求得a与b的值．
本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查转化思想．
18.【答案】证明：Ⅰ在平面BCD上的射影O在CD上，
平面BCD，又平面BCD，，
又，，
平面，又平面，，
Ⅱ为矩形，
由Ⅰ知，，
平面，又平面，
平面平面．
Ⅲ解：平面，
，
，，
，
．
【解析】Ⅰ证明，结合，推出平面，得到，
Ⅱ说明由Ⅰ知，推出平面，然后证明平面平面．
Ⅲ利用转化求解即可．
本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
19.【答案】解：若1，2，，1，2，，
共有如下16种情况：，，
，，，，，，，，，，，
，
方程恰有两个不相等的实根，，，可得且
满足的有，，，共4种，
所以方程恰有两个不相等的实根的概率；
若，，方程没有实根，，符合几何概型，
所以方程没有实根的概率．
【解析】先把基本事件列出来，再找出符合条件的个数即可求解；
根据条件画出总区域以及符合条件的区域，根据其面积比即可求解．
几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据求解．
20.【答案】解：使得上为单调减函数，
则上恒成立
可得 ，
函数在递减，所以当时最大值等于，所以，
函数的图象在处的切线平行于x轴，
所以，，
因为所以，
即设，，
，
单调递增，
，单调递减；
所以在上的最大值为，
所以，．
【解析】使得上为单调减函数，转化为上恒成立，推出，求出函数的最大值即可．
函数的图象在处的切线平行于x轴，，求出a，化为，即设，，利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
21.【答案】解：设椭圆的方程为，则 ，
抛物线的焦点为
由解得，椭圆的标准方程为；
如图，由题意知l的斜率存在且不为0，
设l 方程为，
将代入 整理得：
，由 得，
；
设，，则 令，则，
由此可得 ，，且，
，，
，即，
，
，解得 又，
，
与面积之比的取值范围是．
【解析】由题意离心率和椭圆的短轴上的顶点坐标，及a，b，c之间的关系可得椭圆的标准方程；
设直线方程与椭圆联立，用判别式大于零得有两个交点时的斜率的范围；
面积之比高相同既是BE，BF的比，用横坐标的关系得出的取值范围．
考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：点P的直角坐标为，直线l过点P，且倾斜角为，
直线l的直角坐标方程为，即，
直线l的极坐标方程为：．
点M的极坐标为，的直角坐标为，
圆C以M点为圆心，4为半径，
圆C的直角坐标方程为，即，
圆C的极坐标方程为：，即．
直线l与x轴交与，直线l与y轴交于，，
圆心到直线l的距离为，
面积的最小值为：
．
【解析】先求出直线l的直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程，先求出圆C的直角坐标方程，由此能求出圆C的极坐标方程．
直线l与x轴交与，直线l与y轴交于，，圆心到直线l的距离为，由此能求出面积的最小值．
本题考查极坐标方程、三角形面积的最小值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】解：当时，得，即，解得：或，
不等式的解集为．
不等式
原不等式解集为R等价于，
解得：或
，
．
故得实数a的取值范围为．
【解析】把带入取绝对值可得不等式的解集；
利用绝对值不等式的性质即可求解；
本题考查了绝对值不等式的解法．属于基础题．
