陕西省安康中学2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题
展开2020届安康中学高三第三次模拟考试卷
文 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则集合不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是虚数单位，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是（ ）
A． B． C． D．
5．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．2 B． C．9 D．
6．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的表达式可以是（ ）
A． B．
C． D．
7．设是中任意两个不同的数，那么复数恰好是纯虚数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，
则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
9．阅读如图的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在所在的平面内有一点P，如果，那么的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
11．已知四面体的外接球的球心在上，且平面，，若四面体的体积为，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在R上奇函数满足①对任意x，都有成立；②当时，，则在上根的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2．2 | 3．8 | 5．5 | 6．5 | 7．0 |
若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为，其中已知，请估计使用年限为20年时，维修费用约为_________．
14．设，满足约束条件，若目标函数的最大值是12，则的最小值为________．
15．已知数列的前项和为，且，，则 ．
16．已知双曲线的左右焦点是，设是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则双曲线的离心率是 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）设函数．直线与函数图象相邻两交点的距离为．
（1）求的值；
（2）在中，角所对的边分别是．若点是函数图象的
一个对称中心，且，求外接圆的面积．
18．（12分）为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，
本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理，制成下表：
成绩 | ||||||
频数 | 2 | 3 | 14 | 15 | 14 | 4 |
（1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图；
（2）若从成绩在中选一名学生，从成绩在中选出2名学生，共3名学生召开座谈会，求组中学生A1和组中学生B1同时被选中的概率？
19．（12分）如图，是边长为4的正方形，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．
20．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，离心率，在x轴负半轴上有一点B，且．
（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点p（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数．
（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（2）设，存在两个零点m，n且，证明：
函数处的切线不可能平行于x轴．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：极坐标与参数方程】
在极坐标系中，已知点到直线的距离为3．
（1）求实数的值；
（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】∵，∴，选项C中，，故不满足．
2．【答案】D
【解析】．
3．【答案】D
【解析】设垂直于直线的直线方程为，
又直线过点，∴，解得，
故所求直线的方程为．
4．【答案】C
【解析】由题意知函数在上是减函数，故选C．
5．【答案】C
【解析】∵，又．
6．【答案】B
【解析】∵将函数的图象向右平移个单位得
，
∴．
7．【答案】A
【解析】有题意知本题是一个古典概型，
实验发生包含的事件是从6个数字中任取2个数字，共有种结果，
满足条件的事件是复数恰好是纯虚数，即实部是0，这样虚部有5中结果，
∴复数恰好是纯虚数的概率为．
8．【答案】A
【解析】三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，
然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形，
圆锥的底面半径为1，母线长为2，
该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的2倍的和，
圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，高为，
．
9．【答案】B
【解析】时，；
时，，；
时，，；
时，，；
时，；
∴．
10．【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴点P在边AC上，且，∴，
设的AC边上的高为，∴．
11．【答案】D
【解析】由题意，O为AB的中点，为直角三角形，
设，由于，∴，．
又，O为球心，∴，
，∴，
．
12．【答案】B
【解析】由①知函数的最小正周期是3，
由②得，
画出函数及的图像即得．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】24．68
【解析】∵，
∴当时，，
故答案为24．68．
14．【答案】
【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线过直线与直线的交点时，
目标函数取得最大12，
即，即，
则，
故答案为．
15．【答案】
【解析】∵数列满足，，
∴，解得，
当时，，
∴数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．
则
，
故答案为．
16．【答案】
【解析】∵上的摄影的大小恰好为，∴，
又因为它们的夹角为，∴，
∴在中，，∴，，
根据双曲线的定义，∴，
所以，故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）
，
因为的最大值为，依题意，函数的最小正周期为，
由，得．
（2）因为，依题意，
，
∵，，∴，，
由正弦定理，，∴，
外接圆的面积为．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）各组频率分别为0．04，0．06，0．28，0．30，0．24，0．08，
所以，图中各组的纵坐标分别为0．004，0．006，0．028，0．03，0．024，0．008．
（2）记中的学生为A1，A2；中的学生为B1，B2，B3，B4，
由题意可得，基本事件为AlBlB2，A1B1B3，AlBlB4，A1B2B3，A1B2B4，AlB3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4共l2个，
满足A1B1同时被选中的事件为A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4共3个，
∴学生A1和B1同时被选中的概率为．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）是的一个四等分点，证明见解析．
【解析】（1）证明：因为，所以．
因为是正方形，所以，
因为，从而平面．
（2）当是的一个四等分点，即时，，
取上的四等分点，使，连结，，
则，且，
因为，且，所以，且，
故四边形是平行四边形，所以，
因为，，所以．
20．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）由题意，得，所以，
又，由于，所以为线段的中点，
所以，
所以的外接圆圆心为，半径，
又过三点的圆与直线相切，
所以，解得，
，，
所求椭圆方程为．
（2）有（1）知设的方程为，
将直线方程与椭圆方程联立，
整理得，
设交点为，，
因为，则，，
若存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，
由于菱形对角线垂直，所以，
又，
，
，
，
，
由已知条件知，
，，
故存在满足题意的点且m的取值范围是．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），，
由已知，得对一切恒成立，
，即对一切恒成立，
，，
的取值范围为．
（2），
由已知得，．
，即．
假设结论不成立，即，则，．
又，
，
．
令，则有．
令．
．
在上是增函数，
∴当时，，即．
∴当时，不可能成立，
∴假设不成立，
在处的切线不平行于轴．
22．【答案】（1）；（2），点的轨迹是以为圆心，
为半径的圆．
【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，
则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，
由点到直线的距离为，∴．
（2）由（1）得直线的方程为，
设，，则，①
因为点在直线上，所以，②
将①代入②，得．
则点的轨迹方程为，
化为直角坐标方程为，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，不等式化为，
则可得或或，
可得或或，
则不等式解集为．
（2）当时，恒成立，
则恒成立，
化为在上恒成立，
而在上为增函数，则，
，等号成立时，
所以的取值范围为．
