2019届二轮复习平面向量平面向量的概念及线性运算学案（全国通用）
展开2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试
30 平面向量 平面向量的概念及线性运算
【考点讲解】
一、具本目标：
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景.
（2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.
（3）理解向量的几何表示.
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.学 ]
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.
备考情况：1.以考查向量的线性运算、共线为主，主要是在理解含义的基础上，进一步解题，比如利用向量的线性运算求参数.
2.单独考查平面向量的实际背景及基本概念的题目极少.
3.备考重点：
(1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键；
(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.
二、知识概述：
1．向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．平面向量的线性运算
一．向量的线性运算
向量运算 | 定义 | 法则(或几何意义) | 运算律 |
加法 | 求两个向量和的运算 | 三角形法则 平行四边形法则 | 交换律： 结合律： 学 ] |
减法 | 求与的相反向量 -的和的运算叫做与的差 | 三角形法则 |
|
二．向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λ，它的长度与方向规定如下：
①|λ|＝|λ |；
②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①；②；③.
3.向量共线定理：
如果有一个实数，使，那么与是共线向量；
反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使.
4.三点共线的性质定理：
(1)若平面上三点共线，则＝.
(2)若平面上三点共线，为不同于的任意一点，则＝＋，且＝1.
【温馨提示】
(1)如果两个向量起点相同，终点相同，那么这两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．
(3)两个重要的结论：
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
【真题分析】
1.【2018年全国理Ⅰ】在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】本题考点是向量的和及向量的线性运算，由题意可知：，.
所以有=.
【答案】A
2.【2015四川文2】设向量)共线，则实数x＝( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】本题考点是向量的坐标表示以及向量共线的性质的应用，因为两向量平行，所以有，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B. 学
【答案】B
3.【2014课标全国Ⅰ，文6】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则( )．
A． B． C． D．
【答案】A
4.【2017四川七中三诊】设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO中： ，故选A.
【答案】A
5.【2017·安徽六校联考】在平行四边形ABCD中，，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
6.【2015高考新课标1】设为所在平面内一点，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】本题考点是向量的线性运算，
由题意可知=，故选A.
【答案】A 学
7.【2014福建,文10】设M为□ABCD对角线的交点，O为□ABCD所在平面内任意一点，
则等于 （ ）
A. B. C. D.
【解析】本题的考点是平面向量的线性运算，相反向量的和向量是零向量.
由已知得，
而所以.
【答案】D
8.【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）
（A） (B)
（C） (D)
【答案】A
9.【2016广西联考】直线过的两条对角线与的交点，与边交于点,与的延长线交于点.又知＝ ，＝，则= .
【解析】据题意,点为的中点.
＝ ，＝
又三点共线，
由平面内三点共线的向量式定理可得： .【答案】2
【模拟考场】
1..已知为所在平面内一点且满足：，则与的面积之比为 ( ) A．1 B. C. D．2
【错解】 据题意为的重心，
从而
∴与的面积之比为1，选A．
【正解】∵,
令
所以，则O为的重心，
从而：,
∴, ,
∴的面积与的面积之比为3：2．
【答案】B
2.设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
3.如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么＝( )
A. B. C. D.
【解析】在中，，点是的中点，有，又因为点是的一个三等分点，所以有， 学 ]
所以有.学
【答案】D
4.已知向量与不共线，且，，则点A，B，C三点共线应满足 ( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1
【答案】D
5.在中，点，满足，．若，
则 ； ．
【解析】法一：在三角形ABC中有，在三角形CMN中，有，并且有，，所以有，
所以有
【答案】 学 ]
法二：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，
，则，
.
【答案】
6.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
7.设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
【答案】
8.如图，经过的重心的直线与分别交于点，设＝，＝，，则＋的值为 ．
消去得＋＝3.
9.已知是不共线的三点，且＝＋()．
(1)若＝1，求证：三点共线； (2)若三点共线，求证：＝1.
证明 (1)若＝1，则＝＋()＝＋(－)，
∴－＝(－)，
即＝，∴与共线．
又∵与有公共点，则三点共线．
(2)若三点共线，则存在实数，使＝，
∴－＝(－)．
又＝＋.
故有＋(－1)＝－，
即()＋()＝.
∵不共线，∴，不共线，
∴∴＝1. .
10.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点 (是大于0的常数).
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上的一点，且过点的直线与轴交于点，若，求直线的斜率．
（2）设，直线的方程为，则点，由已知得三点共线，
且 ，∴．
当时，由于，，
由定比分点坐标公式，得
又在椭圆上，有，解得；
