2019届二轮复习函数与方程思想学案（全国通用）

【典例分析】

【支点一】利用函数方程的性质解决问题

【例1】（2018苏启东高三期末）已知为奇函数，是偶函数，且，则=　　．

【分析】利用函数的性质结合方程的思想利用方程组求解。| |k ]

【答案】3

【规律总结】

命题揭秘：用函数的思想研究方程问题，关键是合理构造函数，充分利用函数的图象，体现了数形结合的思想。有些题目需要简单的变形才能够观察出需要的函数；有些比较复杂的题目，从题目中看不出函数的影子，通过移项、分组、配凑等多重变形手段，多次尝试构造新函数，这类题目的构造的函数玩玩能够使人耳目一新，提高运算效率。

夺分宝典：本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的求值，灵活运用函数的奇偶性是解题关键．利用函数、的奇偶性可把已知等式化为关于，的方程组，消掉即可求得．

【变式1】（2018•天津一模）已知函数，若f（）+f（a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（　　）

A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）

【答案】C

【解析】根据题意，函数，

令g（x）=f（x）﹣2=，

对于g（x），有g（﹣x）= =﹣g（x），为奇函数，

分析易得：g（x）为减函数，

若f（）+f（a﹣2）＞4，则有f（）﹣2＞﹣[f（a﹣2）﹣2]，

即g（）＞﹣g（a﹣2）；分析可得：g（）＞﹣g（a﹣2）⇔g（）＞g（2﹣a）⇔＜2﹣a⇔ +a﹣2＜0，解可得：﹣2＜a＜1，即a的取值范围为（﹣2，1）；故选：C．学  

【支点二】构造函数解决不等式问题

【例2】（2017•银川二模）设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f（x）sinx﹣f'（x）cosx＜0，，则（　　）

A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b

【分析】令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，即可判断出结论．

【答案】

命题揭秘：

这类题目需要构造出一个函数（可以通过移向，使得右边为0，将移向后的左式设为函数，并且利用导数判断出所设函数的单调性，再利用函数的单调性的定义，证明要证明的不等式）

夺分宝典：由题意构造函数g（x）=f（x）cosx，再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，利用单调性比较大小。

【变式2】（2018•广西模拟）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，f′（x）为其导函数．当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，且f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）

A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

【答案】C 学   ]

【解析】设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=f（x）+xf′（x）＞0恒成立，∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，

∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，

∴函数g（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，

∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0；  即g（﹣1）=0，g（1）=0

∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，

当x＞0时，不等式f（x）＞0等价于g（x）＞0，即g（x）＞g（1），即x＞1；

当x＜0时，不等式f（x）＞0等价于g（x）＜0，即g（x）＜g（﹣1），即x＜﹣1．故所求的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C。学  

【支点三】构造方程解决函数问题

已知函数f（x）=．

（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；

（2）当a=﹣1，若不等式f（k﹣t2）+f（|2t﹣1|）＜0对于任意的t∈[﹣3，2]恒成立，求实数k的取值范围；

（3）当a≠0时，存在区间[m，n]，使得函数f（x）在[m，n]的值域为[2m，2n]，求a的取值范围．

【分析】（1）由题意，f（﹣x）=﹣f（x），化简可得a=1；

（2）a=﹣1时，f（x）在R上是增函数，且为奇函数．不等式化为f（|2t﹣1|）＜f（t2﹣k），可得|2t﹣1|）＜t2﹣k，所以k＜t2﹣|2t﹣1|对于任意的t∈[﹣3，2]恒成立，求最值，即可得出结论；

（3）当a≠0时，分类讨论，根据存在区间[m，n]（m＜n），使得函数f（x）在[m，n]的值域为[2m，2n]，即可求实数a的取值范围．

（2）a=﹣1时，f（x）=在R上是增函数，且f（﹣x）=，函数为奇函数．不等式f（k﹣t2）+f（|2t﹣1|）＜0可化为f（|2t﹣1|）＜f（t2﹣k），

所以|2t﹣1|）＜t2﹣k，

所以k＜t2﹣|2t﹣1|对于任意的t∈[﹣3，2]恒成立，

t∈[﹣3，]，t2﹣|2t﹣1|=t2+2t﹣1=（t+1）2﹣2∈[﹣2，2]，

t∈[，2]，t2﹣|2t﹣1|=t2﹣2t+1=（t﹣1）2∈[0，1]，

所以k＜﹣2；

【规律总结】

命题揭秘：通过分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。尤其是对于一些从形式上看是以非方程的问题出现的，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决。 学      

夺分宝典：根据题意把问题转化为由题意可得m，n是方程1+=2x的两个不等的实根，利用根与系数的关系转化为不等式组求的。

【变式3】已知函数，

（1）若在上恒成立，求a的取值范围；

（2）若f（x）在[m，n]上的值域也是，求a的取值范围。

【解析】（1）由，因为，所以时，

，所以，所以学  

核心素养拓展拓展提升

【素养概述】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题. 方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的. 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0并通过方程进行研究

【素养拓展】方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。尤其是对于一些从形式上看是以非方程的问题出现的，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决。

运用函数观点解决问题主要从下面四个方面着手：一是根据方程与函数的密切关系，可将二元方程转化为函数来解决；二是根据不等式与函数的密切关系，常将不等式问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质进行处理；三是在解决实际问题中，常涉及到最值问题，通常是通过建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决；四是中学数学中的某些数学模型涉及求参数范围(如数列的通项或前n项和、含有一个未知量二项式定理、解析几何中有关量的范围等)可转化为函数问题，利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决.

运用方程观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是把问题中对立的已知与未知通过建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，符合某些方程的性质和特征(如利用根与系数的关系构造方程等)，通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是在中学数学中常见数学模型(如函数、曲线等)，经常转化为方程（结合待定系数法）问题去解决.

【夺分宝典】函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着十分广泛的应用。复习时应从一下三方面着手。

1、注重基础，熟练掌握基本知识、基本方法。函数与方程思想更多涉及到函数性质与图象、不等式、数列、解析几何与立体几何等知识，所以首先要对这些内容所涉及到的相应基本知识要熟练掌握，比如一些公式、定理和性质等。另外一些特殊方法，如配方法、换元法、待定系数法、参数法等也应熟练掌握和应用。

2、注重知识的综合应用，提高解决综合问题的能力。在复习中，要注重各知识之间的交汇问题，比如导数与解析几何中的切线、最值等密切相关，这样才能更大限度地体现函数思想与方程思想的应用

核心试题精练

【思维挑战】

1.已知函数f（x）=log2（a-2x）+x-2，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（　　）   . ]

A、（-∞，-4]∪[4，+∞） B、[1，+∞） C、[2，+∞） D、[4，+∞）

【答案】D

2.若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为     。

【答案】[1，）；

【解析】令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，则f（x）=sin2x+cos2x

=．

∵x∈[0，]，∴，

∴，

函数f（x）=在[0，]内的图象如图所示：

∴要使方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，   ]

则函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围为[1，）．

故答案为：[1，）．学  

3.设，且，

则a＋b的值为         .

【答案】2

4. 已知实数分别是函数与的零点，则的值为         .

【答案】4.2

【解析】根据函数零点的定义即函数值等于零的根，

令y=0分别化为

作出函数的图像，

如图所示函数的图像关于直线y=x对称，由，

解得x=1，由中点坐标公式可得=2.