2020届二轮复习集合、复数、常用逻辑用语课时作业（全国通用） 练习

第2讲　集合、复数、常用逻辑用语

一、选择题

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　　)

A．(－∞，1)   B．(－2，1)

C．(－3，－1)  D．(3，＋∞)

解析：选A．A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．

故选A．

2．命题“∀x>0，ln x≥1－”的否定是(　　)

A．∃x0≤0，ln x0≥1－

B．∃x0≤0，ln x0<1－

C．∃x0>0，ln x0≥1－

D．∃x0>0，ln x0<1－

解析：选D．若命题为∀x∈M，p(x)，则其否定为∃x0∈M，﹁p(x0)．所以“∀x>0，ln x≥1－”的否定是∃x0>0，ln x0<1－，故选D．

3．(2019·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝(　　)

A．{x|x≤－3或x≥1}

B．{x|x<－1或x≥3}

C．{x|x≤3}

D．{x|x≤－3}

解析：选D．因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|x>－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D．

4. (2019·沈阳市质量监测(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则如图所示阴影区域表示的集合为(　　)

A．{3}  B．{7}

C．{3，7}  D．{1，3，5}

解析：选B．由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是∁U(A∪B)＝{7}，故选B．

5．若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　　)

A．－  B．

C．i  D．－i

解析：选B．因为＝＝＋i，所以其实部为，虚部为，实部与虚部之积为.故选B．

6．已知(1＋i)·z＝i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选A．因为(1＋i)·z＝i，所以z＝＝＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．

7．(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C．因为f(x)＝cos x＋bsin x为偶函数，所以对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，

即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，

所以2bsin x＝0.由x的任意性，得b＝0.

故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．

反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数．充分性成立．

所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．

8．下列命题错误的是(　　)

A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件

B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”

C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件

D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件

解析：选C．若<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．

9．(2019·贵阳市第一学期监测)命题p：若x>y，则x2>y2，命题q：若x<y，则－x>－y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∨(﹁q)；④(﹁p)∧q中，真命题是(　　)

A．①③  B．①④

C．②③  D．②④

解析：选D．命题p：当x＝0，y＝－2时，x2<y2，所以为假命题；命题q为真命题，所以①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∨(﹁q)为假命题；④(﹁p)∧q为真命题，所以真命题是②④.

10．(2019·福州模拟)给出下列命题：

①“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件；

②定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30；

③命题“∃x0∈R，x0＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋>2”．其中正确命题的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C．由x＝，得tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，所以命题①是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则，则，则f(x)＝x2＋5在[－5，5]上的最大值为30，所以命题②是正确的；命题“∃x0∈R，x0＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋<2”，所以命题③是错误的．故正确命题的个数为2，故选C．

11．已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)  B．[0，4]

C．[4，＋∞)  D．(0，4)

解析：选D．因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D．

12．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是(　　)

A．  B．(0，1]

C．  D．[2，＋∞)

解析：选A．由题意，命题p对应的是菱形及其内部，当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x＋＝1，即2x＋y－2＝0，由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心到直线2x＋y－2＝0的距离d＝＝≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是，故选A．

二、填空题

13．已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．

解析：因为z＝－＝，所以|z|＝.

答案：

14．以下四个说法中，正确的是________(填序号)．

①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；

②命题p：∀x>0，x3>0，那么﹁p：∃x0>0，x≤0；

③已知x，y∈R，若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；

④△ABC中，若AB>AC，则sin C>sin B．

解析：①是正确的；对于②，命题p：∀x>0，x3>0，﹁p：∃x0>0，x≤0，所以②是正确的；对于③，若x，y同时为0，则x2＋y2＝0，与已知矛盾，故x，y不全为0；③正确；对于④，在△ABC中，大边对大角，所以④正确．

答案：①②③④

15．(一题多解)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．

解析：法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.故P*Q＝，该集合中共有3个元素．

法二(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：

由上表可知P*Q＝，显然该集合中共有3个元素．

答案：3

16．已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥2x；命题q：∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0.若命题“p∨q”是真命题，“﹁p∧q”是假命题，则实数a的取值范围为________．

解析：命题p为真，则a≥2x(x∈[0，1])恒成立，

因为y＝2x在[0，1]上单调递增，所以2x≤21＝2，

故a≥2，即命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|a≥2}．

若命题q为真，则方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4.

故命题q为真时，实数a的取值集合为Q＝{a|a≤4}．

若命题“p∨q”是真命题，则命题p，q至少有一个是真命题；

由“﹁p∧q”是假命题，可得﹁p与q至少有一个是假命题．

①若p为真命题，则﹁p为假命题，q可真可假，

此时实数a的取值范围为[2，＋∞)；

②若p为假命题，则q必为真命题，此时，“﹁p∧q”为真命题，不合题意．

综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)．

答案：[2，＋∞)