2020届二轮复习函数的奇偶性学案（全国通用）

2020届二轮复习    函数的奇偶性  学案

一．知识点

1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。

如果函数是奇函数或偶函数，则称函数y=具有奇偶性。

2.性质：

①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，

②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，

④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，

⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和

⑥奇±奇=奇  偶±偶=偶   奇×奇=偶   偶×偶=偶   奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]

⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数

若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

⑧奇函数在定义域内若有零：则f（0）=0

3．奇偶性的判断

1.定义①看定义域是否关于原点对称，　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系。

2.看图形的对称性。

二．应用举例

关于从定义出发

例1．（或书例2）判断下列函数的奇偶性、

①          非奇非偶函数

②               偶函数

③         奇函数

④       既是奇函数又是偶函数

⑤     a=0时偶函数，a≠0时非奇非偶函数

例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0

①求证：f(0)=1　　　　　　　②求证：y=f(x)是偶函数

证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0)  ∵f(0)≠0  ∴f(0)=1

②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)　　　　∴f(-y)=f(y)    ∴y=f(x)是偶函数

变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。

解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0)   ∴f(0)=0

令x1=x   x2= -x则f(0)=f(x)+f(-x)    ∴f(-x)= - f(x)  ∴y=f(x)是奇函数

关于数形结合和性质

例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1

①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。

②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。

答案：①可确定，

②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x2-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。

变式一：书例1

变式二：已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。

分析：用f(-x)=-f(x) (x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，再验证

综合提高与应用。

P17书例3

练习：已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数a的取值范围。

简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在上为减函数，∴由有：　　　解得a≤-1或a≥2.

三．小结

１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件；

２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（轴）对称

３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性

４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则

５．函数奇偶性的判断与应用。

四．作业　优化设计

备例1．已知g(x)是奇函数，，求f(3)

简解： 相加得：

备例2．f(x)是定义在上的奇函数，且f(x)在上的的单调递减

　①判断f(x)在上的单调性，并用定义证明，

②若a>0且a≠1，有，求x的取值范围。

解答见书

备例3：书P17例4