人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件练习题

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件练习题，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


C [由A∩B＝A可知A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.]


2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )


A．充分而不必要条件


B．必要而不充分条件


C.充分必要条件


D．既不充分也不必要条件


A [当a＝3时，A＝{1,3}，所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；


反之当A⊆B时，a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3.


故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选A.]


3.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


B [因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A⊆B，所以a≥4，故选B.]


4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )


A．ab＝0 B．ab＞0


C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0


D [a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.]


5.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分又不必要条件


[答案] A


二、填空题


6．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件．


充要 [因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，


所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]


7．若p：x－3<0是q：2x－3

{m|m＞3} [由x－3<0得x<3，由2x－3

由p是q的充分不必要条件知


{x|x<3}eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,2)m＋3))))，


所以eq \f(1,2)(m＋3)＞3，解得m＞3.]


8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．





乙 [对于图甲，开关S1闭合灯亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，


∴A是B的充分不必要条件．


对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合，


∴A是B的充要条件．


对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合，


∴A是B的必要不充分条件．


对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系，


∴A是B的既不充分也不必要条件．]


三、解答题


9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．


[解] ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；


②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；


若方程有两个负的实根，


则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)＜0，,Δ＝1－4a≥0))⇒0＜a≤eq \f(1,4).


综上，若方程至少有一个负实根，则a≤eq \f(1,4).


反之，若a≤eq \f(1,4)，则方程至少有一个负实根．


10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.


[证明] 充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)


∵ac<0，


∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，


∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝eq \f(c,a)<0，


∴方程的两根异号．


即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．


必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，


∵方程有一正根和一负根，设为x1，x2，


则由根与系数的关系得x1x2＝eq \f(c,a)<0，


即ac<0.


综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.


[等级过关练]


1.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )


A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件


B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件


C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件


D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件


B [由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈CD/⇒x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]


2．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝maxeq \f(a,b)，eq \f(b,c)，eq \f(c,a)·mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )


A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，


∴l＝maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝1×1＝1.


∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．


∵a≤b≤c，∴maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq \f(c,a).


又∵l＝1，∴mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq \f(a,c)，即eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)或eq \f(b,c)＝eq \f(a,c)，


得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．


∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]


3．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.


3或4 [x＝eq \f(4±\r(16－4m),2)＝2±eq \r(4－m)，因为x是整数，即2±eq \r(4－m)为整数，所以eq \r(4－m)为整数，且m≤4.又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．]


4．设p：eq \f(1,2)≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) [因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))解得0≤a≤eq \f(1,2).]


5．已知a，b，c∈R，a≠0，判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．


[解] “a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：


当a，b，c∈R，a≠0时，


若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，


故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，


若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，


故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，


综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.